Linjär algebra HT 2016, kurskoder 5MA160 och 6MA036

Transkript

1 Sid 1 (7) Linjär algebra HT 2016, kurskoder 5MA160 och 6MA036 Kurslitteratur Anton H., Rorres, C., Elementary Linear Algebra with Supplemental Applications. 11th ed. Wiley & Sons (2014) ISBN Lärare (kursansvarig, lektioner grupp 1) berit.bengtson@umu.se Victor Falgas Ravry (lektioner grupp 2) victor.falgas-ravry@umu.se Peter Fransson (lektioner grupp 3, laboration lärare) peter.fransson@umu.se Schema med planering se TimeEdit Föreläsningar: Lektioner: Datorlaboration: , datum, salar och preliminär planering enligt schema i TimeEdit , datum och salar enligt schema i TimeEdit Datorsalar bokade för handledning enligt schema i TimeEdit, OBS beror på kurskod Gruppindelning, lektioner respektive datorlaboration Lektionsgrupp 1: ID Lektionsgrupp 2: TDV + DV + Statistiker Lektionsgrupp 3: Lärare + övriga/fristående Lab.grupp A: Kurskod 5MA160, ID + Statistiker Lab.grupp B: Kurskod 5MA160, resten Lab.grupp lärare: Kurskod 6MA036 Examinationsregler Moment 1, teori och problemlösning Examinationen på detta moment består av dugga (frivillig bonusgivande) och tentamen. Dugga: Torsdag 22 september 9:00 12:00, ÖP. Omfattar kapitel 1 3 i boken. Inga hjälpmedel. Tentamen: Torsdag 27 oktober 9:00 15:00, ÖP. Omfattar kapitel 1 7 i boken. Grafritande räknare tillåten. Duggan kan ge maximalt 3 bonuspoäng till tentan. Tentan är på 24 poäng (dvs. sammanlagda maxpoängen är 27). För att bli godkänd på detta moment måste man uppnå sammanlagt minst 12 poäng från dugga och tentamen. Betygsgränser (bonuspoäng + tentamenspoäng) för respektive kurskod följer nedan. Kurskod 5MA160: Betyg 3, 12 poäng. Betyg 4, 17 poäng. Betyg 5, 22 poäng. Kurskod 6MA036: Betyg G, 12 poäng. Betyg VG, 19 poäng. OBS: Bonuspoängen från duggan gäller endast vid ordinarie tentamen 27 oktober. Första tillfälle till omtentamen är lördag 10 december 9:00 15:00. Därefter finns möjlighet att tentera nästa gång kursen ges, men då enligt de examinationsregler som gäller vid det kurstillfället. Moment 2, datorlaboration OBS beror på kurskod För att bli godkänd på detta moment krävs en godkänd laborationsrapport, enligt de instruktioner som ges i uppgiftsbeskrivningen för laborationen. Observera att det är två olika laborationer, en för kurskod 6MA036 (blivande lärare) och en för kurskod 5MA160 (övriga). Rapporten ska lämnas in via Cambro senast fredag 21 oktober kl 17:00. Om det krävs komplettering på den ska en ny rapport lämnas in senast fredag 25 november kl 17:00. För den som efter kompletteringen ännu inte fått godkänd rapport blir nästa inlämningstillfälle fredag 13 januari kl. 17:00. Därefter finns möjlighet att examineras på laborationsmomentet nästa gång kursen ges, men då enligt de instruktioner som gäller vid det kurstillfället. Betyg på hel kurs För att bli godkänd på hela kursen krävs att man är godkänd på båda momenten ovan. Betyget blir då det betyg man fick på moment 1.

2 Sid 2 (7) Instuderingspunkter Instuderingspunkterna är tänkta som ett stöd för dina studier, inte som en fullständig förteckning över vad du behöver kunna. Viktiga begrepp visar vilka definitioner och koncept du bör titta särskilt noga på i respektive avsnitt, och via satserna som anges i Viktiga satser får du en beskrivning av hur dessa begrepp hör samman. Både begreppen och satserna är centrala för att förstå innehållet i denna kurs. I slutet listas några satser där det är särskilt viktigt att titta extra på beviset inför tentan. Det kan t.ex. vara så att satsen i sig är väldigt viktig, eller att beviset innehåller ett trick som kan vara svårt att komma på själv. Notera dock att det på tentan kan förekomma även andra visa att -uppgifter, där tanken är att du själv ska kunna härleda beviset utifrån definitionerna. Det kan vara både sådant som står som en sats i boken och andra samband. Du förväntas också studera the Equivalence Theorem ingående. Det är den sats som vi bygger upp successivt under kursen gång och som innehåller utsagor ekvivalenta till matrisen A är inverterbar. Den sista versionen vi går igenom står som sats (sida 300). Kap 1, Linjära ekvationssystem och matriser 1.1 Introduktion Linjära ekvationer med tre obekanta kan tolkas som ekvationer för plan i rummet. Att söka lösningar till ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta kan därför tolkas som att vi söker gemensamma punkter till planen. Viktiga begrepp: Linjärt ekvationssystem, lösbart / icke lösbart, utökad matris (totalmatris), elementär radoperation 1.2 Gausseliminering Lösning av ekvationssystem genom reducering av matriser till trappstegsform / reducerad trappstegsform. Kom ihåg att den reducerade trappstegsformen är unik, men inte trappstegsformen. Viktiga begrepp: Homogent/inhomogent ekvationssystem, parameter, trivial lösning, icke-trivial lösning, trappstegsform, reducerad trappstegsform Viktiga satser: Matrisoperationer Viktiga begrepp: Rad, kolonn (kolumn), matrismultiplikation, transponerad matris, multiplikation med skalär, linjärkombination, koefficientmatris, utökad matris 1.4 Regler för matrisräkning och matrisinvers Matrismultiplikation är inte kommutativ, dvs. i allmänhet gäller det att AB BA. Vidare kan AB = 0 gälla utan att varken A eller B är nollmatrisen. Viktiga begrepp: Nollmatris, identitetsmatris (enhetsmatris), invers, inverterbar matris Viktiga satser: 1.4.4, (utan bevis), 1.4.6, 1.4.7, 1.4.8, Elementära matriser och en metod för att hitta matrisinverser Lär dig hur man avgör om en matris är inverterbar samt hur man tar fram inversen. Här börjar vi även visa kursens återkommande sats, the Equivalence Theorem. Viktiga begrepp: Elementär matris, radekvivalenta matriser Viktiga satser: 1.5.2, 1.5.3

3 Sid 3 (7) 1.6 Ekvationssystem och inverterbarhet När är ekvationssystem lösbara? Hur många lösningar finns det? Viktiga satser: 1.6.1, Diagonal-/triangulära/symmetriska matriser Vissa speciella former av matriser gör räkningarna enklare, lär dig hur. Viktiga begrepp: Diagonalmatris, triangulär matris, symmetrisk matris Viktiga satser: 1.7.3, Kap 2, Determinanter 2.1 Determinanter genom utveckling i kofaktorer Vi introducerar kofaktorer och determinanter. Du behöver kunna hur determinanten beräknas genom utveckling i kofaktorer. Viktiga begrepp: Kofaktor, determinant, minor (underdeterminant) Viktiga satser: (utan bevis) 2.2 Determinanter genom radreduktion Hur förändras determinanten när vi utför radoperationer? Lär dig använda denna metod för att bestämma determinanter. Viktiga satser: 2.2.3, Egenskaper för determinanter och Cramers regel Flera viktiga egenskaper för determinanter gås igenom. Cramers regel är ett sätt att skriva ned lösningen till linjära ekvationssystem, du bör förstå innebörden men behöver inte studera beviset av satsen (2.3.7). Viktiga satser: 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5, (utan bevis), Kap 3, Euklidiska vektorrum 3.1 Vektorer i R ' Förstå vad en vektor i R ' är, samt hur man räknar med sådana. Viktiga begrepp: Vektor, komponent, linjärkombination 3.2 Norm, skalärprodukt och avstånd Definition av avstånd i R ', vektorers norm, skalärprodukt (Euklidisk inre produkt) mellan två vektorer mm. Viktiga begrepp: Norm, avstånd, skalärprodukt, vinkel mellan vektorer Viktiga satser: 3.2.1, (utan bevis), (utan bevis), 3.2.4, Ortogonalitet Begreppet ortogonalitet och tillämpningar på det, t.ex. punkt-normal-form för linjer/plan samt ortogonal projektion. Viktiga begrepp: Ortogonala vektorer, punkt-normal-form, ortogonal projektion Viktiga satser: 3.3.1, 3.3.2

4 Sid 4 (7) 3.4 Linjära system och geometri Linjens och planets ekvation i R ', på vektorform respektive parameterform. Relationen mellan lösningarna till ett inhomogent ekvationssystem och motsvarande homogena system. Viktiga satser: Kryssprodukt Du behöver kunna räkna med kryssprodukten, bestämma arean/volymen av parallellogram/parallellepiped samt förstå hur vektorn u v är riktad. Viktiga begrepp: Kryssprodukt, parallellogram, parallellepiped, högerhandsregeln, enhetsvektorerna i, j, k Viktiga satser: 3.5.1, 3.5.2, (utan bevis), (utan bevis) Kap 4, Allmänna vektorrum 4.1 Vektorrum Vektorrum generaliserar de Euklidiska rummen från kapitel 3. Du bör förvissa dig om att rummen från kapitel 3 verkligen blir vektorrum i den nya meningen, samt kunna ge exempel på andra vektorrum. Lär dig behärska definitionen av ett vektorrum. Viktiga begrepp: Vektorrum, nollvektor, negativa vektorn, addition, multiplikation med skalär Viktiga satser: (utan bevis) 4.2 Underrum Läs exemplen och fundera över deras betydelse. Viktiga begrepp: Underrum, linjärkombination, span (linjära höljet) Viktiga satser: 4.2.1, 4.2.3, 4.2.4, (utan bevis) 4.3 Linjärt oberoende Förvissa dig om att du förstår definitionen och dess implikationer. Studera exemplen. För er som skall läsa flervariabelanalys/differentialekvationer och fysik senare är Wronskian ett viktigt begrepp. Viktiga begrepp: Linjärt oberoende, linjärt beroende Viktiga satser: 4.3.1, 4.3.2, Koordinater och baser Studera hur olika koordinatsystem/baser kan användas för att beskriva samma sak. Läs och försök förstå exemplen. Viktiga begrepp: Bas, koordinater med avseende på en bas Viktiga satser: Dimension Vi ger en matematisk definition av begreppet dimension. Sätt dig in i resonemanget kring satserna även om du inte lär dig bevisen i detalj. Viktiga begrepp: Dimension Viktiga satser: (utan bevis), (utan bevis), (utan bevis)

5 Sid 5 (7) 4.6 Basbyte Vi studerar hur basbyten kan utföras. Lär dig hur man tar fram matrisen som överför koordinaterna från den gamla basen till den nya. Viktiga begrepp: Basbytematris (överföringsmatris) Viktiga satser: Radrum, kolonnrum och nollrum Vi inför ord för några olika vektorrum relaterade till en matris. Viktiga begrepp: Radrum, kolonnrum, nollrum Viktiga satser: 4.7.1, 4.7.3, 4.7.4, 4.7.5, Rang och nollrummets dimension Vi inför ord för dimensionen av vektorrummen i kapitel 4.7 och definierar ortogonala komplementet i R ' (återkommer för allmännare vektorrum i kapitel 6). Läs också om över- och underbestämda system. Viktiga begrepp: Rang, nollrummets dimension (nullity/nullitet), ortogonalt komplement Viktiga satser: 4.8.1, 4.8.2, Matrisavbildningar Linjära avbildningar från R ' till R /, som kan uttryckas med hjälp av matrismultiplikation. Lär dig hur standarmatrisen för en sådan avbildning tas fram. Viktiga begrepp: Matrisavbildning, standardmatris 4.10 Egenskaper för matrisavbildningar Sammansättning av matrisavbildningar, vilket motsvaras av matrismultiplikation, och injektivitet hos en matrisavbildning. Viktiga begrepp: Sammansättning ( boll ), injektiv (1-1) Viktiga satser: Kap 5, Egenvärden och egenvektorer 5.1 Egenvärden och egenvektorer Lär dig definitionerna och hur vi tar fram egenvärden och egenvektorer till en matris. Viktiga begrepp: Egenvektor, egenvärde, egenrum, karaktäristisk ekvation Viktiga satser: 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.1.4, Diagonalisering Vi tar fram en algortim för att diagonalisera matriser, lär dig den. Viktiga begrepp: Similära matriser, diagonaliserbar matris Viktiga satser: 5.2.1, (utan bevis), Kap 6, Inre produkt-rum 6.1 Inre produkt Vi generaliserar skalärprodukten i R ' till begreppet inre produkt i ett allmänt vektorrum. Ett vektorrum tillsammans med en inre produkt kallas för ett inre produkt-rum (IPR). Studera exemplen. Viktiga begrepp: Inre produkt, norm, avstånd mellan vektorer

6 Sid 6 (7) Viktiga satser: 6.1.1, Ortogonalitet Vi definierar vinklar i allmänna vektorrum och begreppet ortogonalitet. Dessutom visar vi en viktig sats, Cauchy-Schwartz olikhet (som sen ger triangelolikheten). Viktiga begrepp: Ortogonala vektorer, ortogonalt komplement Viktiga satser: 6.2.1, 6.2.2, Gram-Schmidt-ortogonalisering, QR-dekomposition Vi går igenom hur man utifrån en given bas kan konstruera en ortogonal/ortonormal bas, lär dig den algoritmen (Gram-Schmidt). Avsnittet om QR-dekomposition är att betrakta som frivillig läsning. Viktiga begrepp: Ortogonal/ortonormal mängd respektive bas, ortogonal projektion Viktiga satser: 6.3.1, 6.3.2, (utan bevis), (utan bevis), (utan bevis) (6.4 Minsta kvadrat-metoden) Att hitta approximativa lösningar till linjära ekvationssystem som saknar exakt lösning är viktigt t.ex. eftersom sådana system lätt uppstår i samband med små mätfel. Det är dock inte centralt i denna kurs, så det räcker att du bekantar dig med problemet och idén/metoden med minsta kvadrat-lösningar. Kap 7, Diagonalisering och kvadratiska former 7.1 Ortogonala matriser Lär dig definitionen av ortogonal matris och vilka egenskaper sådana matriser har. Viktiga begrepp: Ortogonal matris Viktiga satser: 7.1.1, 7.1.2, (utan bevis), (utan bevis) 7.2 Ortogonal diagonalisering Vi tittar på diagonalisering (som diskuterades i kapitel 5.2) där den diagonaliserande matrisen är ortogonal. Lär dig vad spektraldekomposition av en matris innebär. Viktiga begrepp: Ortogonalt similära matriser, ortogonal diagonalisering, spektraldekomposition Viktiga satser: (utan bevis), (utan bevis) 7.3 Kvadratiska former Hur matrismetoder kan användas för att studera s.k. kvadratiska former, vilket kan ses som en tillämpning på ortogonal diagonalisering. Viktiga begrepp: Kvadratisk form, principalaxelsatsen, positivt/negativt definit, indefinit Viktiga satser: (utan bevis), (utan bevis), (utan bevis) Satser med bevis att studera särskilt noga inför tentamen (a)

7 Sid 7 (7) Rekommenderade övningsuppgifter Kap 1 Kap 2 Kap 3 Kap 4 Kap 5 Kap 6 Kap , 3, 6, 7, 11, , 17, 19, 31, 35, 38, 39, 44, , 59, 69, 73, , 90, 91, 99, 101, , 133, 135, 139, 141, 143, , 167, , 193, 199, 201, 202, 203, , 9, 12, 15, 19, 21, , 49, , 75, 77, 83, 87, , 2, 7, 9, 13, 19, 23, , 37, 39, 41, 43, 45, 47, 51, , 67, 71, 73, 75, 77, 81, 83, 89, , 113, 115, 119, 125, , 141, 145, 149, 151, 153, 155, 157, , 2, 4, 5, 7, 9, , 25, 26, 31, 32, 33, 34ab, , 47, 49, 51, , 67, 69, 72, 74, 75, , 85, 91, , 106, 108, 109, 110, , 134, 135, 136, , 148, 149, 151, 153, , 167, 169, 173, 179, 181, , 203, 204, 205, 207, , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, , 34, 35, 37, 41, 43, 46, 48, 49, , 2, 5, 7, 8, 17, , 35, 39, 41, 43, 45, , 69, 70, 73, 77, 79, 84, 85 (6.4 99, 101, 104, 106) 7.1 1, 3, 7, , 23, 27, , 43, 45, 47, 51, 53