SF1624 Algebra och geometri

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "SF1624 Algebra och geometri"

Jonas Magnusson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016

2 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig Idag ska vi se hur kursen funkar samt börja jobba. Första uppgiften i kursen: vektorer

3 Kursens upplägg Administrativt för : Info på Kurswebben i KTH Social Filmer i Scalable learning Registrera dig på kursen (nu!) Anmäl dig till tentamen (senare)

4 Kursens upplägg Läs på kurswebben för SF1624 i KTH Social: Kursregistrering Seminarier (hitta din resultatsida) Kurslitteratur och kursinnehåll Elektro Media Open

5 Kursens upplägg Så här jobbar ni med kursen: Före föreläsning: ni ser film och läser i boken På föreläsning: genomgångar och uppgifter Efter föreläsning: ni läser och löser uppgifter På övning: arbete med uppgifter ur boken Efter övning: ni läser och löser uppgifter Före seminarium: ni löser uppgifter På seminarium: inl./prov, problemlösning, presentation

6 Kursens upplägg Vad handlar den här kursen om? Linjär algebra: Vektorer, Matriser, Determinanter Geometri med linjer och plan Linjära ekvationssystem Linjära avbildningar mellan vektorrum Egenvärden och egenvektorer, diagonalisering

7 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Idag: Vektorer (kap ) Räkna med vektorer i R n Linjens ekvation på vektorform/parameterform Längden (normen) av en vektor Enhetsvektorer På onsdag: Skalärprodukt av vektorer (kap ) Definition och egenskaper Projektioner Planets ekvation Minsta avstånd På fredag: Kryssprodukt av vektorer Definition och egenskaper Volymer mm

8 Vektorer Vektorer i R 2, R 3, och R n. Räkning med vektorer addition subtraktion multiplikation med skalär Längden (normen) av en vektor, enhetsvektorer Linjens ekvation på vektorform/parameterform Standardbasen Linjärkombinationer av vektorer

9 Inledande exempel Vardagsexempel: 1. Artilia, Bertilia och Certilia drar i en kälke. A. Vad händer med kälken? B. Hur ska Certilia dra för att det ska bli jämvikt? 2. Dertil åker eclipse på Gröna Lund. Hur ska tyngdkraften beskrivas?

10 Vektorer i R 2 R 2 = {[ x1 x 2 ] } : x 1, x 2 R. Vektorbeteckning: x Vektorerna i R 2 kan adderas: [ ] [ ] [ ] x1 y1 x1 + y + = 1 x 2 + y 2 x 2 y 2 och multipliceras med reella tal (skalärer): t [ x1 x 2 ] [ ] tx1 = tx 2 Längden (normen) av en vektor ges av [ x1 x 2 ] = x1 2 + x 2 2

11 Liten övning Uppgift. Låt u = [ ] 3 och v = 4 [ ] 1 2 A. Beräkna u + v. Rita även figur! B. Beräkna u v. Rita även figur! C. Beräkna 2 u. Rita även figur! D. Beräkna v. Rita även figur! E. Beräkna u och bestäm en enhetsvektor parallell med u F. Beräkna v och bestäm en enhetsvektor parallell med v

12 Linjer i R 2 Vi kan beskriva linjer i planet med vektorer: [ x1 x 2 ] = [ ] 1 + t 3 [ ] 2, t R 4 är vektorformen/parameterformen för den linje som[ går ] genom 2 punkten P(1, 3) och är parallell med vektorn v =. Om 4 [ ] [ ] x1 1 x = och p = skriver vi också 3 x 2 x = p + t v, t R (I envarre hade vi skrivit x 2 = 2x 1 5 för denna linje)

13 Linjer Uppgifter. 1. Finn en ekvation på vektorform/parameterform för den räta linje som går [ genom ] punkten P(0, 1) och är parallell med 1 vektorn v =. Avgör om punkten Q(5, 9) ligger på linjen! 2 Rita figur! 2. Finn en ekvation på vektorform/parameterform för den räta linje som går genom punkterna P(3, 1) och Q( 1, 1). Rita figur!

14 Vektorer i R 3 x 1 R 3 = x 2 : x 1, x 2, x 3 R x 3 Vektorerna i R 3 kan adderas: x 1 y 1 x 1 + y 1 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 x 3 y 3 x 3 + y 3 och multipliceras med reella tal (skalärer): x 1 tx 1 t x 2 = tx 2 x 3 tx 3 Längden (normen) av vektorn x 2 ges av x 3 x 1 x x x 2 3

15 Liten övning Uppgift. 2 3 Låt u = 1 och v = A. Beräkna u + v och u v. Rita nån sorts figur! B. Beräkna v. Rita nån sorts figur! C. Beräkna u och bestäm en enhetsvektor parallell med u D. Beräkna v och bestäm en enhetsvektor parallell med v

16 Linjer i R 3 Vi kan beskriva linjer i rymden med vektorer: x x 2 = 3 + t 4, t R x är vektorformen/parameterformen för den linje som går genom 2 punkten P(1, 3, 2) och är parallell med vektorn v = 4. Om 1 x 1 1 x = x 2 och p = 3 skriver vi också x 3 2 x = p + t v, t R (x 3 = 2x 1 x 2 5 är INTE ekvationen för en linje! Vad är det?)

17 Linjer Uppgifter. 1. Finn en ekvation på vektorform/parameterform för den räta linje som går genom punkten P(0, 1, 3) och är parallell med 1 vektorn v = 2. Avgör om punkten Q(5, 8, 3) ligger på linjen! 0 2. Finn en ekvation på vektorform/parameterform för den räta linje som går genom punkterna P(3, 1, 0) och Q( 1, 1, 2). Rita figur! Kan man göra på mer än ett sätt?

18 Vektorer i R n x 1 R n x 2 =. : x 1,..., x n R x n Vektorerna i R 3 kan adderas och multipliceras med skalärer: x 1 y 1 x 1 + y 1 x 1 tx 1 x 2. + y 2. = x 2 + y 2. och t x 2. = tx 2. x n y n x n + y n x n tx n x 1 x 2 Normen av vektorn. är x1 2 + x x n 2 x n

19 Vektorrumsaxiomen Följande regler gäller för alla x, y R n och s, t R 1. x + y R n 2. x + y = y + x 3. ( x + y) + z = x + ( y + z) 4. x + 0 = x 5. x + ( x) = 0 6. t x R n 7. s(t x) = (st) x 8. (s + t) x = s x + t x 9. t( x + y) = t x + t y x = x Se sats 1 sid 15 i boken.

20 Delrum En icke-tom delmängd S av R n sägs vara ett delrum till R n om för alla vektorer x, y S och skalärer t R gäller 1. x + y S 2. t x S { 0} kallas det triviala delrummet.

21 Span En given mängd { v 1, v 2,..., v k } av vektorer i R n spänner upp ett delrum S till R n genom S = {t 1 v 1 + t 2 v t k v k : t 1,..., t k R} Dvs S är alla tänkbara linjärkombinationer av v 1, v 2,..., v k. Vi skriver S = Span{ v 1, v 2,..., v k }

22 Linjärt beroende/oberoende En given mängd { v 1, v 2,..., v k } av vektorer i R n sägs vara linjärt oberoende om ingen av dem kan skrivas som en linjärkombination av de övriga. Ett annat sätt att säga samma sak: Definition. En mängd { v 1, v 2,..., v k } av vektorer i R n sägs vara linjärt oberoende om ekvationen t 1 v 1 + t 2 v t k v k = 0 bara har den triviala lösningen t 1 = t 2 = = t k = 0. Finns det någon icke-trivial lösning till ekvationen sägs mängden vektorer vara linjärt beroende.

23 Bas för delrum Om en mängd { v 1, v 2,..., v k } av vektorer i R n spänner upp ett delrum S till R n och dessutom är linjärt oberoende så sägs { v 1, v 2,..., v k } vara en bas för S. Obs standardbasen för R n är { e 1, e 2,..., e n }

24 Linjer, plan och hyperplan Linje i R n. Om p, v R n med v 0 så sägs mängden av punkter x som uppfyller vektorekvationen x = p + t v, t R, vara en linje genom p. Plan i R n. Om p, v 1, v 2 R n med { v 1, v 2 } en linjärt oberoende mängd, så sägs mängden av punkter x som uppfyller vektorekvationen x = p + t 1 v 1 + t 2 v 2, t 1, t 2 R, vara ett plan genom p. Hyperplan i R n. Om p, v 1, v 2,..., v n 1 R n med { v 1, v 2,..., v n 1 } en linjärt oberoende mängd, så sägs mängden av punkter x som uppfyller vektorekvationen x = p + t 1 v 1 + t 2 v t n 1 v n 1, t 1,... t n 1 R, vara ett hyperplan genom p.

25 Läxa Liten läxa till nästa gång: 1. Se film om skalärprodukt på scalable 2. Titta på och tänk igenom figuren på sid 29 i boken 3. Träna på räkning med vektorer och linjer i R 2 och R 3 4. En båt som i stillastående vatten går med 6 m/s kommer in i en älv där vattnet rör sig med 2 m/s rakt söderut. A. Bestäm båtens hastighet om den styrs i rakt östlig riktning! B. Vilken kurs ska båten ges för att röra sig rakt österut?

Relevanta dokument

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med