Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna"

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera en spännande samling vektorer till en bas, att komplettera en oberoende samling vektorer till en bas, att bestämma komponenterna av en vektor med avseende på en godtycklig bas, att bestämma standardmatrisen för en linjär avbildning Speciellt i fallen då avbildningen är en rotation, projektion eller spegling Det är även dags att påbörja tentamensförberedelserna genom att lösa problem på gamla tentor Glöm inte att studera lösningarna till kryssproblemen Reella vektorrum Vi inskränker oss till de geometriska vektorerna i planet (som kan identifieras med R ) och rummet (som kan identifieras med R 3 ) samt rummen R m, m > 3, bestående av alla kolonnmatriser (ibland radmatriser) med m element Dessutom betraktar vi alla delrum till dessa vektorrum Delrum En icke-tom delmängd W av R m sägs vara ett delrum till R m om det för alla u, v W och varje λ R gäller att u + v W λu W W är slutet under vektoraddition W är slutet under multiplikation med skalärer Om L och W är delrum till R m och dessutom L W så säger vi att L är ett delrum till W Eftersom W inte är tomt innehåller det en vektor u Av ovanstående definition följer att då innehåller W även alla multipler λu Väljer vi speciellt λ fås λu Varje delrum till R m måste alltså innehålla nollvektorn Mängden M { }, bestående av enbart nollvektorn, är ett delrum till R m ty + M λ M M är det minsta delrummet till R m Det största delrummet till R m är R m självt Linjärkombinationer Låt a,, a n vara vektorer i R m Summan x a + + x n a n a x + + a n x n är en linjärkombination av a,, a n med koefficienterna x,, x n

2 Mängden av alla linjärkombinationer av a,, a n kallas för det linjära höljet av vektorerna a,, a n och betecknas som [a,, a n ] Om A (a,, a n ) är m n-matrisen med a,, a n som kolonner och x (x,, x n ) T R n så gäller att Ax (a,, a n ) x x n a x + + a n x n x a + + x n a n Det betyder att [a,, a n ] {Ax x R n } Linjära höljen är delrum Låt W [a,, a n ] Då är W ett delrum till R m Bevis Två godtyckliga vektorer u, v W kan skrivas Av följer att W är ett delrum u Ax, v Az, (där A (a,, a n ) och x, z R n ) u + v Ax + Az A(x + z) W λu λax A(λx) W Nollrummet till en matris Låt A (a,, a n ) vara en m n-matris Mängden N(A) {x R n Ax } kallas för nollrummet till A N(A) är ett delrum till R n Bevis Låt x, z vara två godtyckliga vektorer i N(A) Av följer att N(A) är ett delrum A(x + z) Ax + Az + A(λx) λax λ Linjärt beroende och oberoende Vektorerna a,, a n R m sägs vara linjärt oberoende om det homogena ekvationssystemet Ax bara har lösningen x Eftersom Ax (a,, a n ) x x n a x + + a n x n x a + + x n a n kan detta uttryckas som att a,, a n R m är linjärt oberoende om och endast om det enda sättet att skriva nollvektorn som en linjärkombination av a,, a n är att ta samtliga koefficienter lika med noll Vektorerna a,, a n R m sägs vara linjärt beroende om de inte är linjärt oberoende Alltså är a,, a n R m linjärt beroende om och endast om det homogena ekvationssystemet Ax har en lösning x

3 Vi har tidigare sett att varje matris A är radekvivalent med en unik reducerad trappmatris C Ekvationssystemen Ax och Cx har samma lösningar Systemet Cx har den entydiga lösningen x om och endast om samtliga kolonner i C är pivotkolonner I detta fall måste C ha formen In C O där, om m > n, O är en matris med enbart nollor Speciellt gäller att om a,, a n R m är linjärt oberoende så måste m n I fallet då m n så är a,, a n R n linjärt oberoende om och endast om matrisen A (a,, a n ) är radekvivalent med enhetsmatrisen I n Detta är, som vi tidigare sett, ekvivalent med att A är inverterbar Baser Låt W vara ett delrum till R m Vi säger att b (b,, b r ) är en bas i W om b,, b r W och b,, b r är linjärt oberoende, b,, b r spänner upp W, dvs W [b,, b r ] Detta innebär att för varje w W är ekvationssystemet (b,, b r w) entydigt lösbart och när vi löser systemet får vi Ir h (b,, b r w) O En viktig detalj är här att om b,, b r är linjärt oberoende och så måste H ha minst r nollskilda rader (b,, b r ) H Sats Antag att a,, a n, b,, b r är vektorer i delrummet W, sådana att W spänns upp av a,, a n och b,, b r är linjärt oberoende Då gäller n r och n r om och endast om både a (a,, a r ) och b (b,, b r ) är baser i W Bevis Av förutsättningarna följer att matrisekvationen (a,, a n b,, b r ) (A B) är lösbar Alltså har vi C H (A B) ( ) O O där matrisen till höger är en reducerad trappmatris (O:na står för nollmatriser och alla raderna i C är nollskilda) Eftersom H har minst r nollskilda rader, C har minst lika många nollskilda rader som H och C har högst n nollskilda rader följer att n r C har lika många pivotkolonner som den har rader Alltså har C (och därmed A) minst r pivotkolonner Om n r är därför alla kolonner i C pivotkolonner, vilket innebär att a,, a r är linjärt oberoende och därmed en bas i W I den situationen gäller att C I r och H är en inverterbar r r-matris Genom att starta med (B A) och göra exakt samma följd av radoperationer som vi gjorde i ( ) och sedan avsluta med den följd av radoperationer som man gör vid beräkningen av H får vi ( H Ir Ir H (B A) ) O O O O 3

4 Detta visar att varje vektor i basen a är en linjärkombination av b,, b r Alltså spänner b,, b r upp W och följaktligen är b (b,, b r ) en bas i W Om slutligen både a (a,, a n ) och b (b,, b r ) är baser i W så får vi, som ovan, att n r Eftersom b spänner upp W och a är linjärt oberoende måste vi även ha r n Två baser i ett delrum W måste alltså innehålla samma antal vektorer Detta antal sägs vara W:s dimension och betecknas med dimw Eftersom ingen bas får innehålla nollvektorn tvingas vi definiera dim{ } Satsen säger också att om n dim W och a,, a n är linjärt oberoende vektorer i W så är a (a,, a r ) en bas i W I R m är e (e,, e m ), där e e e m en bas som kallas för standardbasen Det innebär att dimr m m Av ovanstående följer att varje äkta delrum till R m har lägre dimension än m Sats Om a,, a n är linjärt oberoende vektorer i R m och a / [a,, a n ] så är a,, a n, a linjärt oberoende Bevis Antag att Om λ så gäller λ a + + λ n a n λa a λ λ a + + λ n λ a n, vilket strider mot förutsättningen att a / [a,, a n ] Alltså måste λ Men då har vi λ a + + λ n a n, vilket, eftersom a,, a n är linjärt oberoende, medför att λ λ n Detta innebär att den enda lösningen till vektorekvationen ( ) är Alltså är a,, a n, a linjärt oberoende λ λ n λ Komplettering till en bas Om a,, a r är linjärt oberoende vektorer i W och [a,, a r ] W så finns det vektorer a r+,, a n i W, sådana att a (a,, a n ) är en bas i W Bevis Eftersom [a,, a r ] W måste det finnas en vektor a r+ W sådan att a r+ / [a,, a r ] Av föregående sats följer att a,, a r, a r+ är linjärt oberoende Om nu [a,, a r, a r+ ] W så är (a,, a r+ ) en bas i W Om inte så får förfarandet upprepas Eftersom R m inte innehåller fler än m linjärt oberoende vektorer måste vi få en bas i W efter högst m r steg ( ) 4

5 Ovanstående visar att det finns baser i varje delrum W { } till R m Reducering till en bas Antag att a,, a n är vektorer i delrummet W till R m och att [a,, a n ] W dvs a,, a n spänner upp W (vilket även kan uttryckas som att a,, a n är en spännande samling av vektorer) Då kan man bland vektorerna a,, a n plocka ut en bas a (a j,, a jr ) i W Standardmetoden för att göra detta har vi redan använt många gånger: Vi bildar m n- matrisen A (a, a,, a n ) med vektorerna som kolonner Därefter gör vi radoperationer tills vi får en reducerad trappmatris C: A (c, c,, c n ) C Om c j,, c jr är pivotkolonnerna i C så är a (a j,, a jr ) en bas i W Basen består alltså av pivotkolonnerna i A, alltså av de kolonner i A som inte kan skrivas som linjärkombinationer av kolonnerna i A som ligger till vänster om kolonnen i fråga Som vi vet gäller även att de homogena ekvationssystemen Ax och Cx har samma lösningar Lösningarna kan skrivas x x k v k + + x ks v ks där x k,, x ks är de fria obekanta (svarande mot icke-pivotkolonnerna), r + s n och v k,, v ks (vektorer i R n ) är de lösningar som fås då en av de fria obekanta sätts till medan resten av de fria obekanta sätts till Vektorerna v k,, v ks blir automatiskt linjärt oberoende och ( ) betyder att de spänner upp N(A) Alltså är v (v k,, v ks ) en bas i N(A) Exempel Låt W {(x, y, z) T R 3 x + y z } Visa att W är ett delrum till R 3 Bestäm en bas i W bestående av sinsemellan vinkelräta vektorer Lösning Eftersom W N(A), där A (,, ), följer direkt att W är ett delrum till R 3 För vektorerna i W gäller att x y + z, där y, z är godtyckliga Sätter vi y, z får vi vektorn b (,, ) T W Vi ska nu hitta en vektor b (x, y, z) T W som är vinkelrät mot b Det betyder att x y + z samtidigt som b b x y y x y + z x y z Enklast är här att välja x y z, vilket ger oss b (,, ) T Då W är ett äkta delrum till R följer att antalet basvektorer i W är högst två Å andra sidan har vi redan funnit två linjärt oberoende vektorer b och b i W så antalet basvektorer i W är minst två Det betyder att b (b, b ) är en bas i W bestående av sinsemellan vinkelräta vektorer ( ) Exempel Låt A

6 Ett delrum W, till R 6, spänns upp av kolonnerna a, a,, a 8, i A Bestäm en bas a i W bland vektorerna a, a,, a 8 Bestäm även en bas v i A:s nollrum N(A) Utvidga a till en bas i R 6 och v till en bas i R 8 genom att tillfoga standardbasvektorer Lösning Genom att göra en följd radoperationer får vi A C 6 Pivotkolonnerna i C är c, c, c 5, c 7 En bas i W är därför a (a, a, a 5, a 7 ) Vi ska nu komplettera a med två standardbasvektorer till en bas i R 6 För att slippa jobba så mycket chansar vi på att två av e, e, e 3 duger och sätter upp matrisen (a, a, a 5, a 7 e, e, e 3 ) 3 5 Efter ett antal radoperationer får vi trappmatrisen (ej reducerad) De sex första kolonnerna är pivotkolonner Av detta följer att vi kan komplettera a (a, a, a 5, a 7 ) med e, e till en bas b (a, a, a 5, a 7, e, e ) i R 6 Nollrummet N(A) utgörs av lösningarna till Cx, alltså x x 3 + 3x 4 + x 6 + 4x 8 x + x 3 + 4x 4 x 6 + 3x 8 x 5 + 6x 6 + x 8 x 7 + x 8 där vi underlåtit att skriva upp två triviala ekvationer (av typ ) Här ser vi att de bundna obekanta är x, x, x 5, x 7 och att dessa kan uttryckas i de fria obekanta x 3, x 4, x 6, x 8 enligt x x 3 3x 4 x 6 4x 8 x x 3 4x 4 + x 6 3x 8 x 5 6x 6 x 8 x 7 x 8 6

7 Lösningarna till det homogena ekvationssystemet Ax kan därför skrivas x x 3 3x 4 x 6 4x 8 x x 3 4x 4 + x 6 3x 8 x 3 x 3 + x 4 + x 6 + x 8 x x 4 x 5 x 3 + x 4 + x 6 + x 8 x 3 + x 4 6x 6 x 8 x 6 x 3 + x 4 + x 6 + x 8 x 7 x 3 + x 4 + x 6 x 8 x 8 x 3 + x 4 + x 6 + x 8 x 3 + x x x x 3 v 3 + x 4 v 4 + x 6 v 6 + x 8 v 8, där x 3, x 4, x 6, x 8 kan väljas fritt (det är därför de kallas för fria) Det följer att en bas i N(A) är v (v 3, v 4, v 6, v 8 ) Vi kan komplettera dessa fyra vektorer med standardbasvektorerna e, e, e 5, e 7 till en bas c (e, e, v 3, v 4, e 5, v 6, e 7, v 8 ) i R 8 Att detta verkligen är en bas i R 8 framgår direkt av att matrisen med kolonnerna e, e, v 3, v 4, e 5, v 6, e 7, v 8, är uppåt triangulär, med ettor i diagonalen, och därför inverterbar Komponenter Antag att a (a,, a n ) är en bas i delrummet W till R m För varje w W finns det då entydiga tal λ,, λ n sådana att a λ + + a n λ n w Talen λ,, λ n kallas för w:s komponenter (eller koordinater) i basen a och kolonnvektorn λ λ n w a w a (w) a (w) a sägs vara w:s komponentvektor (eller koordinatvektor) i basen a För räkning med komponentvektorer gäller 7

8 (u + v) a u a + v a (λu) a λu a För att i praktiken bestämma komponentvektorn w a löser man ekvationssystemet med matrisformen (a,, a n w) och får där O som vanligt står för en nollmatris In w (a,, a n w) a O Exempel Låt W vara delrummet till R 6 i föregående exempel Visa att vektorn w (,, 4,,, 6) T tillhör W och bestäm komponentvektorn för w i basen a (a, a, a 5, a 7 ) Lösning Vi sätter upp ekvationssystemet (a, a, a 5, a 7 w): (a, a, a 5, a 7 w) och får med några radoperationer Det följer att w W och w a (,,, ) T Exempel Låt W vara delrummet till R 4 som spänns upp av a (, 4,, 4) T, a (, 5,, 3) T, a 3 (3, 9,, 7) T, a 4 (, 3,, 5) T och a 5 (3, 5,, ) T Bestäm en bas i W bland dessa vektorer och utvidga denna bas till en bas i R 4, med hjälp av vektorer ur standardbasen i R 4 Lösning Vi bildar matrisen (A I 4 ) (a,, a 5 e,, e 4 )

9 vilken, med några radoperationer, transformeras till (C H) Av denna reducerade trappmatris ser vi att a, a och a 5 bildar en bas i W Ytterligare ser vi att om denna bas i W kompletteras med en (men bara en) av vektorerna e, e 3 eller e 4 så får vi en bas i R 4 Däremot kan vi inte komplettera med e, ty e a + a a 5 (vilket direkt framgår av andra kolonnen i matrisen H) Linjära avbildningar En funktion (avbildning, transformation, operator) f : R n R m sägs vara linjär om det finns en matris A R m n sådan att f (x) Ax för alla x R n A sägs vara f :s matris (eller standardmatris) Matrisen för f brukar betecknas som [ f ] Att f : R n R m är linjär är ekvivalent med att f (u + v) f (u) + f (v) och f (λu) λ f (u) för alla u, v R n, λ R För matrisen A gäller att A ( f (e ),, f (e n )), där e (e,, e n ) är standardbasen i R n Ofta kan man visa att en avbildning f : R n R m är linjär genom att direkt visa att f (v) Av för alla v R n, där A R m n Se nedan och, till exempel, redovisningsuppgift till lektion Exempel För avbildningen f : R 3 R gäller att f (x) x x + x 3 3 x + x + 3x 3 x x x x 3 R 3 Visa att f är linjär och bestäm f :s standardmatris Lösning Eftersom f (x) 3 ( 3 ) följer direkt att f är linjär med standardmatrisen A x x x 3 Ax Rotation i planet Avbildningen f som utför jobbet att rotera (vrida) en godtycklig vektor moturs vinkeln α har matrisen cos α sin α [ f ] sin α cos α För att inse detta tar vi en godtycklig vektor v (v, v ) T och sätter w cos α sin α v v cos α v w f (v) sin α sin α cos α v sin α + v cos α w 9 v

10 Vi har då w w + w v (cos α + sin α) + v (sin α + cos α) v + v v Varje vektor avbildas alltså på en en vektor med samma längd Alltså gäller v w v cos α v v sin α + v v sin α + v cos α (v + v ) cos α v w cos α cos α v w v w Vinkeln mellan v och w f (v) är därför alltid α Slutligen gäller det(v, w) v v cos α v sin α v v sin α + v cos α v v sin α v sin α v sin α > v för < α < π Det innebär att w fås genom att rotera v moturs vinkeln α Projektionen längs en vektor Vi har tidigare visat att projektionen w n av en vektor w längs en vektor n ges av w n n n (nnt )w Qw, där Q n n nnt Enligt ovan är det klart att funktionen g som ges av g(w) Qw är linjär med matrisen Q I planet har vi n (a, b) T, vilket ger n n a + b och Q ( a a + b b ) (a b) ( a a + b ab ab b I rummet har vi n (a, b, c) T, vilket ger n n a + b + c och Q a + b + c a b c (a b c) a + b + c ) a ab ac ab b bc ac bc c Projektion på en linje i planet Linjen L, som går genom origo och är vinkelrät mot n (a, b) T, har ekvationen ax + by Låt w vara en godtycklig vektor i R och låt v Qw vara projektionen av w längs n Enligt definitionen av projektionen av en vektor längs en vektor är då vektorn u w v vinkelrät mot n och därför parallell med L Vektorn u sägs vara projektionen av w på L Funktionen f, som avbildar w på u, är linjär ty f (w) u w v w Qw Iw Qw (I Q)w, w R

11 Det framgår också att matrisen för f är P I Q Alltså har vi P I Q a + b a + b ( a + b a + b b ab ab a ) ( a ab a + b ab b ) Projektion på ett plan i rummet På samma sätt får vi att den ortogonala projektionen f på planet ax + by + cz är linjär med matrisen P I Q n a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c b + c ab ac ab a + c bc ac bc a + b n a ab ac ab b bc ac bc c där n a + b + c Vid dessa beräkningar behöver man bara memorera formeln för Q och att P I Q För matriserna P och Q gäller att P + Q I, PQ QP O, P P T P och Q Q T Q Speglingen i en linje i planet eller i ett plan i rummet Denna linjära funktion h definieras (både i planet och rummet) av att dess matris är S [h], där S I Q För S gäller att S S T och S (I Q) I 4Q + 4Q I 4Q + 4Q I S är alltså inverterbar med sig själv som invers Speglingen i en linje i rummet Det går även att definiera speglingen r i en linje L, genom origo, i rummet Antag att L är parallell med vektorn n (a, b, c) T Speglingen r definieras som den linjära operatorn på R 3 som har matrisen där P, Q och S är som ovan R [r] I P I (I Q) Q I S,

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4. Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 16.33. Låt F : V W vara en linjär avbildning. 1. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V, vilkas bild

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra II, 5 hp ES, KandFy, Q, X -8- Kryssproblem (redovisningsuppgifter. Till var och en av de åtta lektionerna hör tre problem som du skall

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017 SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Slappdefinition. Räkning med vektorer. Bas och koordinater. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

Slappdefinition. Räkning med vektorer. Bas och koordinater. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a

Läs mer

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0. TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess 29 november, 2016, Föreläsning 21 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess Minsta-kvadratmetoden - exempel 1. Uppgift. Tentamen 19/1-15, uppgift

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma:

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om

Läs mer

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter

Läs mer

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra

Läs mer

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV42 Linjär algebra Z Tentan

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet

Läs mer

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet 1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1 ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer