SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript

1 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p) Lösningsförslag a) Vi vet att vektorn n 3 är vinkelrät mot planet H Därmed vill 5 varje linje på formen {P + t n tal t} vara vinkelrät mot H, för varje vald punkt P Tex kan vi välja P som origo, och vi har att linjen 3t t (parameter t) är vinkelrät mot H 5t b) Vi väljer två punkt Q och R i planet, och bildar vektorn v R Q Då vill varje linje på formen {P + t v tal t} vara parallell med planet H Om vi sedan väljer punkten P att inte ligga i planet, har vi en linje som inte skär H Vi väljer punkterna Q och R, vilket ger v Och vi väljer P Detta ger oss linjen { t t tal t} t Svar

2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 Låt e, e, e 3 vara standardbasen för R 3 Betrakta den linjära avbildningen F : R 3 R som är definierad genom F ( e ), F ( e ) och F ( e 3 ) (a) Bestäm F ( v) där v 3 ( p) (b) Bestäm dimensionen av nollrummet Ker(F ), och bildrummet Im(F ) ( p) (c) Bestäm en bas för nollrummet Ker(F ) ( p) Lösningsförslag (a) Standardmatrisen för F är F ( v), så 3 (a) Standardmatrisen Gauss-reduceras till 3 A Man konstaterar att rangen av standardmatrisen är, vilket betyder att dim Im(F ) Enligt dimensionssatsen är dim R 3 dim Im(F ) + dim Ker(F ) och alltså är dim Ker(F ) (b) Eftersom dim Ker(F ) utgör varje enskild vektor v som uppfyller F ( v) en bas Från (a) följer att { 3 } är en bas

3 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen (a) Vad menas med begreppet egenvektor? ( p) (b) Avgör vilka vektorerna x, y, z och w 5 5 som är egenvektorer till matrisen A ( p) 5 (c) Bestäm egenvärden och tillhörande egenrum till matrisen A ( p) Lösningsförslag (a) Att x är en egenvektor till matrisen A betyder att x är nollskild och parallell med A x, dvs att det finns en skalär λ så att A x λ x (b) För att se vilka av vektorerna som är egenvektorer multiplicerar vi dem med matrisen och ser om resultatet är parallellt med vektorn Vi får A x som inte är parallell med x, ( ) A y som är parallell med y, A z och 5 A w ( ) ( ) + 5 ( ) 4 4 som är parallell med z som är inte parallell med y Alltså ser vi att y och z är egenvektorer, medan x och w inte är det (c) Från beräkningen i del (b) ser vi att y är en egenvektor med egenvärde och z är en egenvektor med egenvärde 6 Eftersom det högt kan finnas två olika egenvärden måste dessa vara samtliga och motsvarande egenrum ges av multiplerna av vektorerna y och z Svar (b) y och z är egenvektorer till A (a) Egenvärdena är med egenrum Span{ y} och 6 med egenrum Span{ z}

4 4 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL B 4 I R 4 har vi, för varje tal a, följande tre vektorer v, v a 3 och v 3 Vi låter V Span( v, v, v 3 ) vara deras linjära hölje (a) Bestäm för vilka värden a vektorrummet V har dimension tre ( p) (b) Låt a, och bestäm en bas till det ortogonala komplementet V ( p) Lösningsförslag a) Vektorrummet V har dimension tre om (och endast om) vektorerna v, v och v 3 är linjärt oberoende Detta är ekvivalent med att matrisen 4 a 3 3 A 4 a 3 3 har rang tre Matrisens rang bestämmer vi med hjälp av elementära radoperationer a a a Matrisen A har rang 3 om (och endast om) 6 3a dvs om a Därmed har V dimension 3 om a x b) Det ortogonala komplementet V består av alla vektorer u y z som är ortogonala mot w basvektorerna v, v 3 och v 3 Detta betyder att v u, v u och v 3 u Skriver vi ut detta erhåller vi det homogena ekvationssystemet x + y w x + y + z + 3w 4x + y + 3z + w

5 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Vi gör elementära radoperationer på totalmatrisen till systemet Vi betecknar w t och får z 5t, y och x t Alltså har vi att V {t 5 tal t} Härav följer att vektorn 5 är en bas till V Svar

6 6 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen (a) Definiera vad som menas med koordinatvektorn för en vektor med avseende på en bas ( p) (b) Betrakta följande vektorer i R : v och w Bestäm en bas B för R sådan att koordinatvektorn för v är w och koordinatvektorn för w är v (3 p) Lösningsförslag a) Låt β { e,, e n } vara en bas för vektorrummet V, och låt x vara en vektor Då kan x uttryckas som n x a i e i, för några skalärer a,, a n Den ordnade sekvensen av skalärer x i β a a a n kallas koordinatvektorn till x med avseende på basen β b) Låt { e, f} vara den sökta basen för R Kraven är att v e f och att w + f Dessa två krav kan vi skriva som v w e f Inverterar vi -matrisen, får vi sambandet att v e 3 w f Med andra ord har vi att e 3 v + 3 w och f 3 v + 3 w Svar

7 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen a c 6 Låt v och n vara två nollskilda vektorer i R b d, där ac + bd Låt L vara det linjära höljet till v (a) Varför är β { v, n} en bas för R? ( p) (b) Låt T : R R vara speglingen om linjen L Bestäm matrisrepresentationen B till T med avseende på basen β ( p) (c) Låt P vara basbytesmatrisen från standardbasen till β Bestäm P BP ( p) Lösningsförslag a) Två vektorer i ett tvådimensionellt vektorrum bildar en bas om och endast om de är linjärt oberoende Noll-skilda vektorerna v och n är ortogonala eftersom skalärprodukten v n ac + bd Detta medför att v och n är två linjärt oberoende vektorer och därmed bildar de en bas i R b) Vid speglingen i linjen L Span( v) avbildas v på v och n på n Från T ( v) v v + n och T ( n) n v n får vi att avbildningens matris i basen β { v, n} är B a c c) Matrisen Q är övergångsmatrisen från β till standardbasen Därmed är b d P Q d c övergångsmatrisen från standardbasen till β Härav ad bc ad bc b a a c P BP b d a c d c b d b a d c ad bc b a ad + bc ac bd bc ad ad bc Anmärkning: Om b och vi substituerar d ac/b, kan vi förenkla svaret till P a BP b ab a + b ab b a c ) Alternativt: Eftersom P BP är avbildningens matris i standardbasen kan vi beräkna x matrisprodukten genom att avbilda en godtyckligt vektor Låt u vara en vektor y i R Vi har att u proj L ( u) + ( u proj L ( u)) Detta ger att T ( u) proj L ( u) u Vi har att linjen L spänns upp av vektorn a v, och vi erhåller att b u v + by T ( u) v u ax v v a + b a b x y

8 8 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 a x+aby a +b x a b ab abx+b y a +b a +b x y ab b a y a +b a +b a +b Alltså är a b ab a +b a +b ab b a a +b a +b P BP avbildningens matris i standard basen och därmed är a b ab a +b a +b ab b a a +b a +b

9 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL C 7 Talföljden {f, f, f, f 3,, } satisfierar följande rekursiva formel f n+ f n+ + 8f n, för alla n De två första termerna i talföljden är kända, f a och f b Uttryck fn+ f n+ som en sluten formel i a och b (Tips: Beteckna F (n + ) och skriv f n ekvationen (*) på matrisform) (4 p) Lösningsförslag Vi har att F (n + ) AF (n), där 8 A Det följer då att F (n+) A n F () Om vi betraktar matrisen A som en linjär avbildning på R, så har vi att A P DP där P är övergångsmatrisen från en bas av egenvektorer till standardbasen, och där D är en diagonalmatris med egenvärden på diagonalen Specielt vill vi använda detta för att beräkna A n Det karakteristiska polynomet till A är c(λ) (λ )λ 8 Nollställerna är ( ) c(λ) λ λ + 9 (λ ) 9 Det vill säga, λ och λ 4 Vi bestämmer sedan de tillhörande egenrummen För λ ges egenrummet av ekvationen x + y En bas är e Egenrummet tillhörande egenvärdet λ 4 ges av ekvationen x 4y En bas är f 4 Detta ger övergångsmatriserna P 4 och P 6 4 Vi har att ( ) A n P D n n P P 4 n P n 4 ( ) n 4 6 n n ( )n 4 n 4 3 ( ) n+ n n 3 ( )n + 4 n ( ) n n ( ) n+ + n ( ) n 4 + n+

10 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 Vi har att F (n + ) A n F (), vilket ger att ( f n+ n (( )n + 4 n) b + ( ( ) n n) a) 3 n 3 (( )n + n+ )b + n+ 3 (( )n+ + n )a Svar

11 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Betrakta följande två figurer (Vid varje punkt anges dess koordinater i ett vanligt cartesiskt koordinatsystem) (/,3/) (3,3) (5,3) (3/,9/) (3/,9/) (,) (,) (3,) (4,) ( 3,) (a) Bestäm en linjär avbildning T : R R som transformerar den vänstra figuren till den högra Du ska ange matrisen för T ( p) (b) Bestäm arean för det inneslutna området i den högra figuren ( p) Lösningsförslag (a) Det gäller först att lista ut vilka punkter i den vänstra figuren som ska avbildas på vilka punkter i den högra figuren Låt oss ge namn åt tre (ortsvektorer till) punkter i den vänstra figuren: p :, q : och r : 3 Eftersom q r och T är linjär så måste T ( q) T ( r) Dom enda punkter i den 3 3 högra figuren som uppfyller denna relation är (4, ) och (6, 3) så vi måste ha T ( q) 4 och T ( r) 63 I den vänstra figuren är p granne till q, så vi vill att T ( p) ska vara granne till T ( q) och då måste T ( p) 3 Ekvationerna T ( ) 4 och T ( ) 3 ger tillsammans att matrisen för T måste vara A 4 3 En kontroll visar att A avbildar även dom andra punkterna korrekt: 3 3/ 5 / 4 3/ A, A, A 3 9/ 3 3/ 9/ (b) Om vi ritar in några hjälplinjer i den vänstra figuren blir det lätt att beräkna arean av dess inneslutna område (3,3) (5,3) (4,) (6,3) (,) (4,) (,) (3,)

12 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 Dom skuggade trianglarna har arean 3/ och, och den resterande arean är Alltså blir den totala arean av det vänstra området Determinanten av A är (/) (4 ( 3) ) 5/ så det högra området har arean /

13 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Om A, B, C och D är kvadratiska matriser av samma storlek kan vi bilda en större kvadratisk matris som blockmatrisen A B M C D Antag att A är inverterbar och att matriserna A och C kommuterar med varandra, dvs att AC CA Visa att (4 p) det(m) det(ad CB) (Du kan använda fritt att om B eller C är noll-matrisen, då gäller att det(m) det(ad)) Lösningsförslag Då matrisen A existerar kan vi konstruera matrisen I A, C I där I är identitetsmatrisen, och är noll-matrisen Båda av samma storlek som matriserna A, B, C och D Den konstruerade matrisen har uppenbarligen determinant Detta betyder att matrisen, som ges av produkten, I A C I A B C D har den sökta determinanten det(m) När vi beräknar produkten ovan erhåller vi matrisen A B A CA + C A CB + D Vi använder nu att CA AC Blocket längst ned till vänster blir då A CA + C A AC + C C + C Vi använder sedan att vi känner till determinanten för blockmatriser där ena blocket är noll, dvs att A B det( A ) det(a) det( A CB + D CB + D) Detta betyder att den sökta determinanten är det(m) det(a) det( A CB + D) Vi vet från kursen att determinanten bevarar produkt, så det(a) det( A CB + D) det(a( A CB + D)) det( CB + AD) Och då CB + AD AD CB har vi visat påståendet