1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
|
|
- Jan-Erik Johansson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna -6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg krävs utöver godkänt resultat från -7 minst 5% ( poäng) från uppgift, för betyg 5 minst 75% ( poäng). För uppgifterna -7 (godkäntdelen) gäller att ni kan välja mellan att bara ge svar eller ge fullständig lösning. Korrekt svar ger poäng, om svaret är felaktigt finns det en möjlighet att en tillräckligt korrekt bifogad lösning ger poäng. För uppgift 8- ska fullständiga, tydliga och renskrivna lösningar redovisas (använd ett blad per uppgift). Följande uppgifter bedöms för betyg godkänt (). Om inget annat anges, ger uppgifterna i denna del en poäng.. (Dugga.) (a) Bestäm v (v u) om v = 7 and u = (p) Svar Kända egenskaper för en vektorprodukt ger att den är vinkelrät mot vektorerna i produkten. Kända egenskaper för en skalärprodukt ger att produkten av vinkelräta vektorer är noll. Men om en vektor är vinkelrät mot v är den också vinkelrät mot v. Alltså blir skalärprodukten i uppgiften noll. (b) Bestäm en ekvation på normalform för planet som går genom punkten och som är vinkelrät mot vektorn som går mellan punkterna och Svar För att få fram planets ekvation på normalform behöver vi en punkt i planet (vilket vi får direkt från uppgifetn) och en normal till planet. De sista måste vi beräkna, men det är enkelt eftersom vi får två punkter där vektorn mellan dem är vinkelrät mot planet, och alltså en normal. En normal är alltså n = = och planets ekvation på normalform blir alltså x = n ( y ) = x + y z ( + ) = x + y z, dvs z x + y z =, p. (Dugga.) (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet Svar Systemets totalmatris är x + y z w = x y + z + w = y z w = (p)
2 . Gauss-Jordanreducera denna så får vi Första och sista ekvationen i det reducerade systemet ger direkt att x = och w = medan andra ekvationen ger y z = z = y. Alltså har systemet lösningar x y z = s s, s R w (b) För vilka värden på det reella talet k är ekvationssystemet som har koefficientmatrisen och högerledet inte lösbart? Svar Ekvationssystemet har den utökade koefficientmatrisen följande radekvivanlenta matris k k k. k (p). Gaussreducering ger fort Om systemet är lösbart beror på värdet på k: sista ekvationen i det radekvivalenta systemet ger att vi inte har någon lösning om k = för då blir sista ekvationen den omöjliga ekvationen =. För alla andra värden på k är k och vi kan använda sista raden för att reducera bort tredje variabeln från de två första ekvationerna.. Andra ekvationen ger sedan direkt ett värde för andra variabeln, vilket bakåtsubstituerat i första ekvationen ger ett värde för första variabeln. I dessa fall har alltså systemet en lösning. Alltså: systemet är inte lösbart omm k =.
3 . (Dugga.) (a) Visa att span,, innehåller alla vektorer vars tredje koordinat är noll. a Svar En godtycklig sådan vektor kan skrivas b där a, b är reella tal. Enklast är nog helt enkelt att se att en sådan vektor kan skrivas som linjärkombinationen a b = +b +( a), vilket visar att alla sådana vektorer ligger i span, (b) Beräkna A T B om A = och B = (p) Svar En direkt beräkning ger att A T B = [ 5 (c) Visa att vektorerna,, ] och 5 = [ 5 Svar Man kan naturligtvis visa detta genom att skriva en av vektorerna som en linjärkombination av ] är linjärt beroende. de andra, men lättast är nog att helt enkelt konstatera att det rör sig om stycken vektorer i R så sats.8 i section. ger av vektorerna är linjärt beroende.. (p) (p),.. (Dugga.) (a) Beräkna inversen av. (p) Svar G-J-reducerar matrisen så att vi får en enhetsmatris i vänstra halvan: notera först att inget behöver göras med sista raden. Vi börjar med att byta ordning på raderna: (r r) (r r, r r) ( r, r)
4 . Därmed har vi att inversen är. (b) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen. Svar Radreducera matrisen så får vi (r r, r r). (p) 5. (Dugga.) Kolonnerna med pviotelement pekar ut basvektorerna bland kolonnerna i den ursprungliga matrisen. I det här fallet finns bara ett pivotelement, i kolonn, och alltså är en bas för kolonnrummet. (a) Är T : R R, definierad av x x + y y T z = y x en linjär avbildning? Motivera svaret väl. w w Svar Nej: En linjär avbildning T uppfyller alltid att T () =. För T given i uppgiften gäller att T () = + =. Alltså är avbildningen inte linjär. (b) Beräkna ett egenvärde och en egenvektor som hör till detta egenvärde för matrisen A =. Motivera svaren väl. (p) (p) Svar Genom att notera att första och fjärde raden i matrisen är linjärt beroende vet vi att determinanten för matrisen är noll, vilket enligt fundamentalsatsen är ekvivalent med att matrisen har ett egenvärde lika med noll. För detta egenvärde är det enkelt att hitta en egenvektor, den är lösningen till homogena ekvationssystemet med matrisen A som koefficientmattris. Rad två ger att andra x y koordinaten y i egenvektorn är noll, och första eller fjärde ekvationen ger samma värde för z w
5 w. Tredje ekvationen reduceras då till x + z = x = z så om z = t R så är x = t. En egenvektor blir då tex (med t = ). (Alternativt kan vi se att ett egenvärde för matrisen A är en lösning till den karaktäristiska ekvationen det(λi A). Denna ekvation blir = λ λ = ( ) + (λ ) λ λ λ λ, λ där den andra likheten fås från utveckling längs andra raden. Från detta ser vi direkt att ett egenvärde är λ =. Koefficientmatrisen för ekvationssystemet som ger motsvarande egenvektor är. Lösningen av denna ger lite mer räkningar.) 5
6 6. (Dugga.) (a) Beräkna determinanten för matrisen A = 5 (p) Svar Vi kan först notera att första och andra raden är identiska förutom ett element, samma gäller också första och tredje raden. Vi testar att radreducera för att se om vi får något som är enkelt att beräkna determinanten av, eftersom radreducering (med undantag för radbyte som ändrar tecken) inte påverkar determinantens värde: A = = = 8, 8 8 där den sista likheten gäller eftersom determinanten av en triangulär matris är produkten av diagonalelementen. (b) Bestäm en ortogonal bas för rummet R som uppfyller villkoret att två basvektorerna är parallella med vektorerna och. (p) Svar För att ha en ortogonal bas för R behöver vi en tredje vektor, ortogonal mot de två första som är ortogonala (ses tex genom att konstatera att skalärprodukten är + ( ) + = ). Enklaste sättet att få fram en sådan är antagligen att beräkna vektorprodukten av de två första vektorerna: = = v vilket fungerar som den eftersökta tredje vektorn i basen. Så de två vektorerna i uppgiften och v bildar en ortogonal bas. 7. Finn normalekvationen för det plan i R som är ett underrum till R och som innehåller punkterna u = 5 och v =. Bestäm också en bas till detta rum. (p) Svar Om planet ska vara ett underrum i R MÅSTE det innehålla nollvektorn = ortsvektorerna till punkterna givna i uppgiften vektorer i planet, och en normal n till planet är skalärprodukten av dessa ortsvektorer som är ickeparallella: 5 n =. = Normalekvationen till planet blir då = n ((x, y, z) ) = n (x, y, z) = 5x y z. En bas för rummet är (tex) de två ortsvektorerna som användes i skalärprodukten ovan. 5. Därmed blir 6
7 Följande uppgifter bedöms för betyg och (a) Finn ekvationen på normalform för ett plan P i R som är vinkelrät mot ett plan med normlavektorn och som innehåller linjen vars ekvation på vektorform är x = u + tv, t R, där u = och v = Svar Efterssom vi söker ett plan P vinkelrät mot planet med normalvektor vektor att vara parallell med planet. Linjen på parameterform ger sedan en andra vektor, v = som också är parallell med planet, och en punkt, u = som ligger i P. (5p) kommer denna I och med att vi har två vektorer parallella med planet P, kan vi beräkna normalvektorn till P som skalärprodukten av dessa vektorer: n = = Normalekvationen för planet blir därmed x = n ( y ) = 8x y + 5z 8 + = 8x y + 5z z (b) Bestäm avståndet mellan de två planen x + y + z = 5 och x + y + z = 8. Motivera svaren väl. (p) Svar Det första planet har normalvektor (utläses från ekvationen) (,, ) medan det andra planet har normalen (,, ) = (,, ). gånger den andra) vilket innebär att planen är parallella Dessa normaler är alltså parallella (den ena är en konstant Detta innebär att kortaste avståndet mellan en punkt i ena planet till det andra är detsamma, oavsett vilken punkt vi utgår från, och att avståndet är längden av en vektor, vinkelrät mot båda planen, med startpunkt i ena planet och slutpunkt i andra planet. Detta innebär att denna vektor är parallell med normalvektorn (,, ). Om vi tar en punkt i första planet, säg (,, ) kan en sådan vektor beskrivas som u = (,, ) + t(,, ) där t väljs så att u uppfyller ekvationen för det andra planet. Längden på t(,, ), t + + = t 6. u instoppat i andra planets ekvation (förenkla genom att dividera allt med ) ger att talet t måste uppfylla = x + y + z = ( + t) + ( + t) + ( + t) = 5 + 6t t = 5 6 Alltså blir avståndet mellan planen t 6 = 6 6 = 6 = 6. 7
8 9. (a) Bestäm för vilka värden på paramentern k ekvationssystemet som har totalmatrisen (eller alternativt uttryckt, den utökade koefficientmatrisen) k k k k k har lösning, och för vilka värden på k det inte har någon lösning. Bestäm alla lösningar till systemet för de värden på parametern k för vilka systemet är lösbart. Svar Först noterar vi att om k = blir första ekvationen alltid =, dvs den triviala ekvationen. I detta fall består ekvationssystemet bara av två ekvationer. I detta fall ger Gauss-Jordanreducerar av ekvationssystemet: [ ] (r r) [ ] (r+r, r) [ (6p) ]. Om vi låter (x, y, z, w) beteckna de obekanta variablerna i systemet ger denna reduktion att pivotelementen motsvarar x och y, och vi låter de två sista variablerna få parametervärden: z = s, w = t, s, t R. De reducerade ekvationerna ger då att x = z + = s + och y = w = t. Lösningen blir alltså x y z = + s + t, s, t R. w Vi antar nu att k och Gauss-Jordanreducerar ekvationssystemet i detta fall: k k k k k ( r, r r, r r) (r r, r r) k (r r). Sista ekvationen ger w =. Pivotelementen motsvarar variablerna x, y och w, så variabeln z = t, t R. De reducerade ekvationerna ger då att y = z = t och x = z + = t +. Lösningarna blir därmed i det här fallet x y z = + t, t R. w (b) Ge ett enkelt argument, utan att bestämma någon lösning, för varför systemet { x + y + z = har icketriviala lösning. x + y = Svar Systemet är homogent så det är lösbart, dock är bara den triviala nollösningen garanterad från detta argument. Men systemet har fler variabler än ekvationer. Alltså blir minst en variabel fri, och lösningen kommer att bero på minst en parameter. Genom att välja ett parametervärde som inte är noll, får vi en garanterat icketrivial lösning. (p) 8
9 (c) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen 5 6 A = (p) Svar Vi radreducerar matrisen, och får A = (r r, r r, r r) (r + r, r + r). 6 Pivotelementen i denna radreducerade matris pekar ut basvektorer för matrisens kolonnrum, men de måste tas från den ursprungliga matrisen A. Pivotelementen är i kolonn, och 5, och därmed blir en bas för kolonnrummet alltså motsvarande kolonner i A 5, 5 och 6 9 (d) Vilken dimension har nollrummet för matrisen A i (c). (p) svar Rangsatsen (sats.6) säger att summan av rangen och dimensionen av nollrummet för en matris är lika med antalet kolonner i matrisen. Rangen är dimensionen av rad- och kolonnrummen till matrisen, vilket vi i (c) konstaterade var (antalet basvektorer) och antalet kolonner i matrisen är 5. Alltså blir dimensionen av nollrummet 5-=.. (a) Beräkna determinanten av matrisprodukten A B där (p) A = och B = 6. Svar 9
10 Det går naturligtvis att multiplicera ihop matriserna och sedan beräkna determinanten av produkten, men det blir mycket jobb. Betydligt enklare är att konstatera att båda matriserna är triangulära, och därmed lätta att beräkna determinanten av, och att determinanten av en matrisprodukt med kvadratiska matriser är produkten av faktorernas determinanter. Determinanten av en triangulär matris är produkten av diagonalelementen i matrisen, enligt resultat i kursen. Alltså är A = = och B = =. Därmed har vi att A B = =. (b) Beräkna inversen för matrisprodukten A B i deluppgift a), eller motivera varför den inte är inverterbar. (p) Svar Samma resonemang kan egentligen göras för invertering som för beräkning av determinant: vi kan beräkna produkten först och sedan beräkna inversen av resultatet, men iom att vi har triangulära matriser ger det mindre arbete att invertera de triangulära matriserna och sedan använda formeln för invers av en matrisprodukt, eftersom triangulära matriser är lättare att invertera. Så vi beräknar inverserna av A och B och utnyttjar att (A B) = B A. A: (r r, r r, r r, r5 r) (r r, r r, r5 r) (r r, r5 r) (r5 r) ( r, r, r, ). Så A =. B: 6 6 (r r5, r r5) (r r, r r)
11 6 (r r, r r) ( r, r, r, ). Så B =. Slutligen: (A B) = B A = = (a) Beräkna ett egenvärde och en egenvektor som hör till detta egenvärde för matrisen A =. Motivera svaren väl. (p) Svar Matrisen innehåller två rader (i själva verket två par av två rader) som är linjärt beroende och har alltså determinant=. Ett resultat i kursen ger då direkt att matrisen har ett egenvärde=. Egenvärde noll ger att eegenvektorn är lösningen till det homogena ekvationssystem vars koefficientmatris är A =.. Radreducering och val av lämpliga parametrar i lösningsformlerna (eller direkt utnyttjande av gemensamma symmetrier i ekvationerna) ger att en egenvektor är (tex) v =. (b) En kvadratisk matris A av ordning är diagonaliserbar och har egenvärdena λ = λ =, λ =, λ =. Motivera varför alla element i matrispotenserna An kommer att närma sig noll när potensen n går mot oåndligheten. (p) Svar Eftersom A är diagonaliserbar kan den skrivas som A = P DP, där kolonnerna i P är matrisens egenvektorer och diagonalelementen i diagonalmatrisen D är matrisens egenvärden. Med standardresonemang ser vi att A n = P D n P. 6
12 Eftersom P är fixt, oberoende av n kommer beroendet av n att bero på D n vilket är diagonalmatrisen med egenvärdena upphöjt till n. Och eftersom alla egenvärden λ för A uppfyller < λ <, kommer diagonalelementen, och därmed alla element, i D n att närma sig noll när n går mot oändligheten. Eftersom varje eleemnt i A n är en ändlig linjärkombination av elementen i D n med max termer kommer alla elementen i A n att närma sig noll när n går mot oändligheten.. (a) Finn en bas för rummet av alla matriser av rang som är både symmetrisska och triangulära. Motivera att ditt svar är en bas för det aktuella rummet. (p) Svar En symmetrisk matris är auitomatiskt kvadratisk så de blir av typ. En matris som är triangulär har bara nollor antingen ovanför eller under diagonalen. Ska den också vara symmetrisk ska den ha samma värde i position (i, j) som i position (j, i), alltså blir det bara nollor både ovanför och under diagonalen. De enda element som kan ha godtyckliga värden är diagonalelementen, vilket är stycken i en matris av typ. Elementen på diagonalen har inga begränsningar, kan vara vilka värden som helst, alltså behövs basvektorer. Det mest naturliga är att ta basvektorerna (matriserna) E =, E =, E =, E =, även om det naturligtvis finns många andra alternativa baser. (b) Visa att mängden av alla -matriser som är av typen a b c d e f g h där a, b,..., h är godtyckliga reella tal, är ett linjärt vektorrum med matrisaddition som vektoraddition och multiplikation av matris med skalär som multiplikation av vektor med skalär. Vilken dimension har detta rum? Motivera svaren väl, (p) Svar Rummet av alla -matriser med de beskrivna räknereglerna är ett vektorrum. Så vad det handlar om är att visa att mängden beskriven i uppgiften är ett underrum till rummet av alla - matriser. Enligt sats 6. behöver vi bara visa att summan av två element i mängden fortfarande ligger i mängden, samt att multiplikationen av ett element i mängden med ett godtyckligt reellt tal fortfarande ligger i mängden. i) Summan av två matriser beräknas elementvis, så de positioner som har nollor i de ursprunliga matriserna kommer ockskå att ha nollor i summan. Alltså är a b c d + α β γ δ = a + α b + β c + γ d + δ, e f g h ɛ ε ζ η e + ɛ f + ε g + ζ h + η vilket också är ett element i denna mängd. Därmed är första kravet visat. ii) Multiplikation av en matris med ett tal sker också elemntvis, så nollor i matrisen bevaras av denna operation:
13 α a b c d e f g h = α a α b α c α d α e α f α g α h, vilket också är ett element i mängden. Alltså är också andra kravet i sats 6. visat. Sats 6. ger alltså att detta är ett underrum av rummet av alla -matriser med de beskrivna räknereglerna, så mängden är ett vektorrum, vilket skulle visas. v. January 5,
Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merx + y + z + 2w = 0 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet y + z+ 2w = 0 (2p)
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merand u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t
SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs meroch v = 1 och vektorn Svar 11x 7y + z 2 = 0 Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna 3x + 2y + 2z = 1 y z = 1 6x + 6y + 2z = 4
Kursen bedöms med betyg, 4, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merTentamen TMV140 Linjär algebra Z
Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E
Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV42 Linjär algebra Z Tentan
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs mer2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1
ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merLÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs mer15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: Våren 6 Övningstentamen Telefonvakt: Thomas Bäckdahl ankn 8 MVE Linjär algebra I Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merEn vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.
En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver
Läs merSlappdefinition. Räkning med vektorer. Bas och koordinater. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.
Slappdefinition En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver
Läs mer2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs mer3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs merkvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 3 6 kl. 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Tony Stillfjord,
Läs merx 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs mer14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merFacit/lösningsförslag
Facit/lösningsförslag 06-08- Låt l vara linjen med parameterform x, y, z 0 s, mellan planet x y z och planet z 0 och låt l vara skärningslinjen a) Skriv l på parameterform b) Beräkna avståndet mellan l
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs mer