A = x
|
|
- Gunnar Svensson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(, 0, 0) + (0,, 0)) 2A(, 0, 0) + A(0,, 0) (, 2, ) + (2,, 2) (,, ). (b) Kolonnerna i avbildningens matris ges av bilden av basvektorerna. Alltså blir avbildningens matris A Nollrummet ges av de x (x, x 2, x ) i R sådana att A x 0 eller ekvivalent A x T 2 2 x x x 0 Detta ger ett homogent linjärt ekvationssystem med lösningsmängden Alltså nollrummet är span{(,, 5)}. (x, x 2, x ) t(,, 5) t reellt tal. (c) Vi vet att A:s bildrummet är lika med matrisen A:s kolonnrum. Då dimensionen av nollrummet plus dimensionen av kolonnrummet till en matris är lika med antalet kolonner så får vi att dimensionen av kolonnrummet är 2. Då kolonn och kolonn 2 i det 2-dimensionella kolonnrummet är linjärt oberoende så bildar de en bas för detta rum. Således är A:s bildrum lika med span{(, 2, ), (2,, 2)}. (d) Se nedan. (e) Den ovan givna matrisen A är matrisen e A e. Vi använder transitionsmatriser och Martins metod för att hitta de övriga. Martins metod ger lätt e A f : elem. radop Vi ser i tablån bilden av vektorerna f, f 2 och f är (4, 2, 4), (2, 0, 2) respektive (,, ). Därför blir matrisen e A f lika med 4 2 ea f et f 0 och f T e e T f
2 2 Vi får f A f f T e e A f 4 Vi får också f A e f T e e A e Låt A beteckna den linjära avbildning från R till R som består av först en spegling i planet x + x 2 2x 0 och därefter en projektion på planet 2x + x 2 + 2x 0. (a) Bestäm matrisen för denna linjära avbildning relativt standardbasen. Låt S beteckna speglingen och P projektionen och låt S respektive P beteckna dessa linjära avbildningars matriser relativt standardbasen. Den sökta matrisen blir då matrisen PS. Vi söker nu matrisen S. En normalvektor till spegeln är t ex n (,, 2) och två vektorer spegeln är t ex ū (,, 0) och v (2, 0, ). Vid spegling gäller S n n 0ch Sū ū och S v v. Martins metod ger / / 2/ 0 0 / 2/ 2/ 0 0 2/ 2/ / Matrisen S blir alltså S / / 2/ / 2/ 2/ 2/ 2/ / 0 0 2/ / 2/ 0 0 / 2/ 2/ 0 0 2/ 2/ / Projektionsplanets normal är n (2,, 2) och två vektorer paralella med planet är t ex ū (, 0, ) och v (, 2, 0). Det gäller att P n 0 och P ū ū och P v v. Martins metod ger då matrisen P /9 8/9 2/ /9 2/9 5/ /9 2/9 4/ /9 2/9 4/ /9 2/9 4/ /9 8/9 2/ /9 2/9 5/9
3 Svar: PS För spegling gäller att S S v v för alla vektorer v. Den vektor som speglas på projektionsplanets normal (2,, 2) är alltså 2/ / 2/ / 2/ 2/ 2 7/ 4/ 2/ 2/ / 2 4/ Vektorerna (, 0, ) och (, 2, 0) ligger i planet och projiceras på sig själva. Dessa är spegelbilder av vektorerna 2/ / 2/ 0 / 2/ 2/ 0 2/ 2/ / / resp 2/ / 2/ / 2/ 2/ 2/ 2/ / 2 0 4/ 5/ 2 Vi kan använda Martins metod för att bestämma P också men, för att visa på en annan metod ger vi först P :s matris relativt en ON-bas, där en av basvektorerna är en normal till planet. f (2,, 2) f2 (, 0, ) f (, 4, ). 2 8 Det gäller att P f 0 och P f 2 f 2 och P f f. Avbildningen P :s matris relativt denna bas blir då f P f För transitionsmatriserna som beskriver basbytet gäller et f Q Svaret ges nu tillslut av och f T e Q Q T. et f f P f f T e S T 2/ / 2/ / 2/ 2/ 2/ 2/ /? (b) Nollrummet består av de vektorer som speglas på vektorer vinkelräta mot planet, dvs för vilka S v (2,, 2). Vi obesrverar nu att speciellt vid spegling gäller att S S v v så de sökta vektorerna satisfierar v S(t(2,, 2)) t 2/ / 2/ / 2/ 2/ 2/ 2/ / 2 2 t 7/ 4/ 4/ Så nollrummet är span{(7, 4, 4)}. Bildrummet blir det plan på vilket vektorerna projiceras, dvs 2x + x 2 + 2x 0.
4 4. Vi använder Martins metod f A f f 2 A f 2 f A f Vi får elem. radop A ē ē A ē 2 ē 2 A ē ē Svar: Inversa avbildningens matris relativt standardbasen blir För varje linjär avbildning gäller att A 0 A0 v 0A v 0. För den givna avbildningen har vi A(0, 0, 0) (0, 0, ) (0, 0, 0) och alltså kan den inte vara linjär. 5. (a) Låt ē, ē 2, ē och ē 4 utgöra en bas för R 4 (vilken bas som helst, spelar ingen roll.) Definiera A genom och Då blir A en linjär avbildning och Aē 0, Aē 2 0, Aē ē, Aē 4 ē 2 A(λ ē λ 4 ē 4 ) λ Aē λ 4 Aē 4. A A(λ ē +...+λ 4 ē 4 ) A(λ Aē +...+λ 4 Aē 4 ) A(λ ē +λ 4 ē 2 ) λ Aē +λ 4 Aē 2 0. (b) Om A A 0 så gäller för varje x (x, x 2, x ) att A(A x T ) 0. Detta innebär att varje kolonn A x T tillhör A:s nollrum. Men mängden av alla kolonner A x T utgör bildrummet som har dimension 2, som alltså inte kan ligga i nollrummet eftersom detta har dimension. 6. Bestäm egenvärden och tillhörande egenvektorer för matriserna A , B , C Lösning 0 λ λ 2 2 λ λ 0 λ 2 9 λ 2 2 λ λ λ 2 2 λ λ λ λ λ( )((9 λ)(2 λ) 8) λ( )(λ 2 λ + 0)
5 5 Denna ekvation har rötterna 0, och 0. Vi Löser nu systemet λ 2 x 2 9 λ 2 x λ x 0 för dessa värden på λ. Vi får egenrummen E 0 span{(, 0, )}, E span{(2,, 2)} och E 0 span{(, 4, )}. Matrisen B har egenrummen E span{(, 0, )}, E 0 span{(,, )} och E span{(, 2, )} Matrisen C har egenrummen E 0 span{(0, 0, )}, E 0 span{(2,, 0)} och E 5 span{(, 2, 0)} 7. Gör en s.k. ortogonal diagonalisering av matrisen Lösning: 0 7 λ λ λ 7 λ λ 9 + λ λ (9 λ) 7 λ λ 4 8 (9 λ) 7 λ λ (9 λ)[(7 λ)( 7 λ) 2] (9 λ)[λ 2 8] ger egenvärdena λ 9 (dubbelrot) och λ 9. Tillhörande ortogonalbas av egenvektorer t ex till λ 9: e (, 2, 2) till λ 9: e 2 (2,, 2) och e (2, 2, ). Diagonaliseringen blir således T 8. Bestäm A n när ( 4 6 A ). Lösning Matrisen A har egenvärden och 2 med tillhörande egenvektorer (2, ) respektive (, ). Med ( ) ( ) 2 P och P 2 så får vi att ( ) 4 6 A P varur vi sluter att ( ) n A n 4 6 P ( ( ) n P P ) P, ( ) n P. OBSERVERA Eftersom matrisen inte är symmetrisk kan vi inte göra en s k ortogonal diagonalisering.
6 6 9. En symmetrisk -matris har egenvärdena, och. En egenvektor hörande till egenvärdet är (0,, ) T. Bestäm matrisen A. Lösning: Matrisens övriga egenvektorer bildar, eftersom matrisen är symmetrisk ett egenrum E som ligger ortogonalt mot vektorn (0,, ) eftersom matrisen förutsattes vara symmetrisk. (eller någon annan vektor parallell med (0,, ). Det gäller att varje multipel λ(0,, ) av (0,, ) också är en egenvektor hörande till egenvärdet.) Egenrummet E har dimension eftersom är ett enkelt nollställe till karaktersitiska ekvationen. Vektorerna (, 0, 0) och (0,, ) tillhör E (Vi kan ta vilka två icke parallella vektorer som helst som är ortogonala mot (0,, ). Istället för (, 0, 0) och (0,, ) hade vi t ex kunnat välja (,, ) och (2,, ).) Vi har nu att för den linjära avbildning som A representerar gäller A(, 0, 0) (, 0, 0), A(0,, ) (0,, ) A(0,, ) (0,, ). Detta ger, t ex med Martins metod, A(0, 2, 0) (0,, ) + (0,, ) (0, 0, 2) och A(0, 0, 2) (0,, ) (0,, ) (0, 2, 0). Alltså A(0,, 0) (0, 0, ) och A(0, 0, ) (0,, 0). Således SVAR: Alternativt har vi A som uträknat blir som svaret ovan Matrisen A har egenvektorerna (, 2, ), (2,, ) och (, 0, ) hörande till egenvärdena 2,, respektive. Bestäm A(4 ) T. Lösning: Vi skriver först vektorn (4,, ) som en linjärkombination av egenvektorerna: (4,, ) x (, 2, ) + x 2 (2,, ) + x (, 0, ) Man finner att x, x 2 och x. Dvs (4,, ) (, 2, ) + (2,, ) + (, 0, ) Vi applicerar nu matrisen A och får då: A 4 A 2 +A 2 +A Matrisen A är symmetrisk och har bl a egenvektorerna (,, ) och (, 2, ). Bestäm samtliga egenvektorer till matrisen A Lösning: Då matrisen är symmetrisk så är egenvektorer hörande till skilda egenvärden ortogonala mot varandra. Egenvektorerna (,, ) och (, 2, ) är inte ortogonala mot varandra och måste då höra till samma egenvärde och spänna upp ett egenrum av dimension 2. Matrisen är uppenbarligen av formatet och till den hör en ortogonalbas av egenvektorer. En tredje egenriktining ē ges av en vektor ortogonal mot de givna två vektorerna t ex ē (,, ) (, 2, ) (, 2, ). SVAR. span{(,, ), (, 2, )} resp span{(, 2, )}
Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merLösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merLösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15. 1. Undersök om vektorn (1,, 1, ) tillhör span{(1,, 3, 4), (1, 0, 1, 1),
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs mer3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t
SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
Läs merLösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merCrash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016
Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merFör ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merUppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra
Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merLÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2017-08-24 kl 14 19 1. Vi får ū = 1 2 + 1 2 + 0 2 = 2, v = 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 och ū v = 1 1+1 2+0 2 = 3. Om φ är vinkeln mellan ū och v
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merSF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merUppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra
Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av
Läs mer1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.
KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med
Läs merx + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.
1 Matematiska Institutionen KTH Exam for the course Linjär algebra, 5B1307, Januari 14, 008, 14:00-19:00 Kursexaminator: Sandra Di Rocco Minst 15 poäng ger betyg 3, minst poäng ger betyg 4 och mins 8 poäng
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merA = v 2 B = = (λ 1) 2 16 = λ 2 2λ 15 = (λ 5)(λ+3). E 5 = Span C =
KTH Matematik Lösningar till Kapitel 7 A a Karakteristiska polynomet av detλi A det A λ λ λ b Egenvdena av A nollställen till karakteristiska polynomet alltså har A egenvdet λ c Motsvarande egenrum E lösningsrummet
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merLÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merx + y + z + 2w = 0 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet y + z+ 2w = 0 (2p)
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merTentamen TMV140 Linjär algebra Z
Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merkvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 8 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 16 Institutionen för matematik KTH 5 december 2017 Modul 6 Veckans arbete 1. Idag: Ortonormalt, kap 7.1-7.2 a. Ortogonala och ortonormala baser b. Gram-Schmidts metod c. Ortogonala matriser
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 16.33. Låt F : V W vara en linjär avbildning. 1. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V, vilkas bild
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,
Läs mer29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess
29 november, 2016, Föreläsning 21 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess Minsta-kvadratmetoden - exempel 1. Uppgift. Tentamen 19/1-15, uppgift
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs mer2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1
ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merTMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs merMatematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift
Läs mern = v 1 v 2 = (4, 4, 2). 4 ( 1) + 4 ( 1) 2 ( 1) + d = 0 d = t = 4 + 2s 5 t = 6 + 4s 1 + t = 4 s
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 7-8-4 kl 4 9 a) Triangelns sidor ges av vektorerna v OP OP (,, ) och v OP 3 OP (,, 4) som även blir riktningsvektorer till planet En normal
Läs mer1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.
Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs mer(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 130313 kl 0830 1230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV142 Linjär algebra Z Tentan
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 3 6 kl. 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Tony Stillfjord,
Läs merLinjär algebra Föreläsning 10
Linjär algebra Föreläsning 10 IT-programmet, Chalmers 2006 Samuel Bengmark Repetition Handlade om kvadratiska matriser. Kvadratiska ekvationssystem har: Unik lösning omm Det(A) 0. Har oändligt antal lösningar
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merx 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merStöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja
Läs merAvsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0.
Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet
Läs mer