Vektorgeometri för gymnasister

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Vektorgeometri för gymnasister"

Transkript

1 Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

2 Innehåll Repetition: Egenvärden och egenvektorer ON-baser av egenvektorer Spektralsatsen Beräkning av matrispotenser 2(24)

3 Repetition: Egenvärden och egenvektorer Definition (Egenvärden och egenvektorer) Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Om det finns en vektor v 0 och ett reellt tal λ så att F (v) = λv, så kallas v för en egenvektor till F med egenvärdet λ. Definition (Diagonaliserbar avbildning) Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Om det finns en bas i vilken avbildningsmatrisen för F är en diagonalmatris, så säges F vara diagonaliserbar. För att F ska vara diagonaliserbar, krävs det att det finns en bas för rummet (planet), som enbart består av egenvektorer till F. När man tar itu med att hitta en sådan bas, brukar man säga att man försöker diagonalisera F. 3(24)

4 Om F är en linjär avbildning av rummet, så får vi egenvärdena till F genom att lösa sekularekvationen det(a λe) = 0, där A är avbildningsmatrisen för F i den bas som är given. För vart och av egenvärdena λ till F kan vi sedan bestämma motsvarande egenvektorer genom att lösa ekvationssystemet AX = λx, X O. Om vi bland alla dessa egenvektorer kan hitta tre stycken som bildar en bas för rummet, så kommer F i denna bas att ha avbildningsmatrisen λ D = 0 λ 2 0, 0 0 λ 3 där λ 1, λ 2, λ 3 är de olika egenvärdena till F. Vidare gäller D = T 1 AT, där T är transformationsmatrisen för basbytet (kolonnerna i T utgörs av koordinaterna för de egenvektorer som ska ingå i basen). 4(24)

5 ON-baser av egenvektorer Antag att F är en diagonaliserbar avbildning. Det finns då en bas för rummet, i vilken F representeras av en diagonalmatris D, och denna bas består av egenvektorer till F. Vi har vid ett flertal tillfällen sett att ON-baser är att föredra. Därför frågar vi oss om det finns någon speciell egenskap hos F som gör att det bland egenvektorerna till F går att hitta en ON-bas? Sats Antag att F är en diagonaliserbar linjär avbildning av rummet, och att det finns en ON-bas u = (u 1, u 2, u 3 ), bestående av egenvektorer till F. Låt e = (e 1, e 2, e 3 ) vara en godtycklig ON-bas. Om F i denna bas har A som avbildningsmatris, så är A symmetrisk, d.v.s. A T = A. Med andra ord: Om det finns ON-bas av egenvektorer till F, så kommer avbildningsmatrisen för F i vilken annan ON-bas som helst att vara en symmetrisk matris. 5(24)

6 Bevis av satsen. Antag att F i den godtyckligt valda ON-basen e representeras av matrisen A. Låt D vara matrisen för F i den ON-bas u, som består av egenvektorer till F. Då är D en diagonalmatris, och en sådan är alltid symmetrisk; D T = D. Vi ska bevisa att även A är symmetrisk! Om T är den transformationsmatris, som beskriver basbytet från basen e till egenvektorbasen u, så är D = T 1 AT, vilket vi också kan skriva som A = TDT 1. Men eftersom vi byter från en ON-bas till en annan, så är T ortogonal, d.v.s. T 1 = T T. I själva verket har vi alltså A = TDT T. Räknelagarna för transponering av matriser ger nu d.v.s. A är symmetrisk. A T = (TDT T ) T = (T T ) T D T T T = TDT T = A, Definition (Symmetrisk avbildning) En linjär avbildning F kallas symmetrisk, om den i någon ON-bas (och därmed i alla ON-baser) har en symmetrisk avbildningsmatris. 6(24)

7 Exempel Om vi studerar tidigare exempel på linjära avbildningar, så ser vi avbildningsmatriserna för speglingar i ett plan alltid har varit symmetriska matriser. En spegling i ett plan är ett exempel på en symmetrisk avbildning. Vi ser även från tidigare exempel, att de avbildningsmatriser vi bestämt för ortogonala projektioner på ett plan (eller en rät linje) har varit symmetriska. Ortogonala projektioner är ännu ett exempel på symmetriska avbildningar. Däremot är sneda projektioner inte symmetriska (avbildningsmatrisen för en sådan kan inte vara symmetrisk). Enligt den sats vi nyligen bevisade, så har vi: Om det finns en ON-bas av egenvektorer till en linjär avbildning, så är denna avbildning symmetrisk. Det omvända förhållandet visar sig också gälla, d.v.s. om vi startar med en linjär avbildning F, som i en given ON-bas har en symmetrisk avbildningsmatris (d.v.s. F är symmetrisk), så finns det en ON-bas som enbart består av egenvektorer till F, d.v.s. F är diagonaliserbar. Detta resultat brukar man referera till som spektralsatsen. 7(24)

8 Spektralsatsen Sats (Spektralsatsen) Låt F vara en symmetrisk linjär avbildning. Då är F diagonaliserbar. Vidare finns det en ON-bas som enbart består av egenvektorer till F. När man letar efter en ON-bas av egenvektorer till en symmetrisk linjär avbildning, så kan följande sats vara matnyttig: Sats Låt u och v vara egenvektorer till en symmetrisk linjär avbildning F, med motsvarande egenvärden λ respektive µ. Antag att λ µ. Då är u och v ortogonala, d.v.s. u v = 0. För att bevisa denna sats, behövs en hjälpsats (ett s.k. lemma ). Lemma Låt F vara en symmetrisk linjär avbildning av rummets (planets) vektorer. Då gäller F (x) y = x F (y), för alla vektorer x och y i rummet (planet). 8(24)

9 Bevis av lemmat. Om x = (x 1, x 2, x 3 ) och y = (y 1, y 2, y 3 ) i en ON-bas, så kan ju som bekant skalärprodukten av dessa vektorer beräknas genom x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Om X och Y är motsvarande kolonnvektorer, kan vi se högerledet ovan som en matrisprodukt: x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = ( ) y 1 x 1 x 2 x 3 = X T Y. Ifall A nu är avbildningsmatrisen för F i den givna basen, så motsvaras F (x) och F (y) av AX respektive AY. Med ovanstående tolkning av skalärprodukt, svarar skalärprodukterna F (x) y och x F (y) mot matrisprodukterna (AX ) T Y respektive X T (AY ), så att bevisa att F (x) y = x F (y) blir därmed samma sak som att bevisa att (AX ) T Y = X T (AY ). Detta följer av räknereglerna för transponering av matriser samt av att vi vet att A är symmetrisk: y 2 y 3 (AX ) T Y = (X T A T )Y = (X T A)Y = X T (AY ). 9(24)

10 Bevis av satsen. Vi ska visa att om u och v är egenvektorer till en symmetrisk linjär avbildning F, sådana att motsvarande egenvärden λ och µ är olika, så är u v = 0. Att u och v är egenvektorer till F med egenvärdena λ respektive µ, betyder att F (u) = λu och F (v) = µv. Eftersom F är symmetrisk, vet vi från föregående lemma att F (u) v = u F (v). Med F (u) = λu och F (v) = µv blir alltså (λu) v = u (µv). Räknereglerna för skalärprodukt ger att λ(u v) = µ(u v) (λ µ)(u v) = 0. Men vi vet att λ µ och därmed att λ µ 0. För att (λ µ)(u v) ska kunna vara noll måste därför u v = 0, vilket skulle bevisas. 10(24)

11 Exempel Låt F vara en linjär avbildning med A = som avbildningsmatris i den bas vi har given (vilken i vanlig ordning förutsätts vara ortonormerad). Eftersom A är symmetrisk är F en symmetrisk avbildning. Alltså är F diagonaliserbar, och det finns en ON-bas för rummet som består av egenvektorer till F, enligt spektralsatsen. Vi ska nu bestämma en sådan bas. 11(24)

12 Vi börjar i vanlig ordning med att lösa sekularekvationen 1 λ λ λ = 0. Determinanten i vänsterledet blir (10 λ) ( (1 λ)( 6 λ) ( 12) 2) = (10 λ)(λ 2 + 5λ 150), så antingen är 10 λ = 0 eller λ 2 + 5λ 150 = 0. Andragradsekvationen har lösningarna λ = 5 2 ± (5 2 ) = 5 2 ± 25 2, d.v.s. λ = 5/2 25/2 = 15 eller λ = 5/2 + 25/2 = (24)

13 Vi har alltså hittat två egenvärden λ 1 = 15 och λ 2 = 10, och bestämmer nu motsvarande egenvektorer, genom att lösa ekvationssystemet AX = λx för dessa två värden på λ: λ = 15: Ekvationssystemet att lösa är här AX = 15X, d.v.s. x 1 12x 3 = 15x 1 10x 2 = 15x 2 12x 1 6x 3 = 15x 3 16x 1 12x 3 = 0 25x 2 = 0 12x 1 + 9x 3 = 0. Enligt den andra ekvationen måste x 2 = 0. De två övriga ekvationerna är båda ekvivalenta med 4x 1 3x 3 = 0. Om vi sätter x 3 = 4t så blir därmed x 1 = 3t. Egenvektorerna som hör till egenvärdet λ = 15 ges alltså av alla (x 1, x 2, x 3 ) = t(3, 0, 4), där t 0. Vi är ju ute efter en ON-bas. Därför väljer vi t så att vi får en egenvektor av längd 1. Med t = 1/5 får vi en sådan vektor, nämligen v 1 = (3/5, 0, 4/5). 13(24)

14 λ = 10: Ekvationssystemet som ska lösas är här AX = 10X, d.v.s. x 1 12x 3 = 10x 1 10x 2 = 10x 2 12x 1 6x 3 = 10x 3. Den andra ekvationen säger här att x 2 kan anta ett godtyckligt värde, säg x 2 = t. För de övriga två variablerna får vi ekvationssystemet { 9x1 12x 3 = 0 12x 1 16x 3 = 0. Båda ekvationerna är ekvivalenta med 3x 1 + 4x 3 = 0, så om vi sätter x 3 = 3s, blir x 1 = 4s. Det ursprungliga ekvationssystemet har därmed den tvåparametriga lösningen x 1 = 4s x 2 = t x 3 = 3s. Lösningen kan vi tolka som det plan som går genom origo och spänns upp av vektorerna ( 4, 0, 3) och (0, 1, 0). Samtliga vektorer som ligger i detta plan är alltså egenvektorer till F med egenvärdet λ = (24)

15 Bland alla vektorer som ligger i detta plan söker vi två vektorer av längd 1 som är ortogonala mot varandra. I detta fall har vi litet tur, ty de två vektorer ( 4, 0, 3) och (0, 1, 0) som vi fann spänner upp detta plan är ortogonala, så för att vi ska få en ON-bas, behöver vi bara normera dem: v 2 = ( 4/5, 0, 3/5) och v 3 = (0, 1, 0). Den egenvektor v 1 = (3/5, 0, 4/5) vi tidigare fann för egenvärdet λ = 15 kommer automatiskt att vara ortogonal mot både v 2 och v 3, ty v 1 hör ju till ett annat egenvärde än v 2 och v 3, och egenvektorer som hör till olika egenvärden till en symmetrisk avbildning är alltid ortogonala, enligt den sats vi formulerade och bevisade innan exemplet (och som vi återger här): Sats Låt u och v vara egenvektorer till en symmetrisk linjär avbildning F, med motsvarande egenvärden λ respektive µ. Antag att λ µ. Då är u och v ortogonala, d.v.s. u v = 0. 15(24)

16 Sammanfattningsvis: Vektorerna v 1 = (3/5, 0, 4/5), v 2 = ( 4/5, 0, 3/5) och v 3 = (0, 1, 0) utgör en ON-bas av egenvektorer till F. I denna bas har F avbildningsmatrisen D = , och sambandet mellan D och den ursprungliga avbildningsmatrisen A ges av D = T T AT, där 3/5 4/5 0 T = = /5 3/ Transformationsmatrisen T är här ortogonal (T 1 = T T ) eftersom det rör sig om ett basbyte från en ON-bas till en annan. 16(24)

17 Beräkning av matrispotenser Exempel Låt a n beteckna antalet individer i en bakteriekultur efter n timmar. En ansats till en matematisk modell, för att beskriva hur antalet bakterier i kulturen förändras med tiden, skulle kunna vara: a n = 7a n 1 10a n 2, n = 2, 3, 4,... (1) Till timme n kommer antalet individer som fanns efter n 1 timmar att sjufaldigas (därav 7a n 1 ), men det kommer även dö tio gånger så många som antalet bakterier efter n 2 timmar (därav 10a n 2 ). Om vi vet att a 0 = 3 och a 1 = 7, hur många bakterier finns det då i kulturen efter ett dygn, d.v.s. vad är a 24 lika med? Vi skulle kunna beräkna detta genom upprepat användande av (1): a 2 = 7a 1 10a 0 = = = 19 a 3 = 7a 2 10a 1 = = = 63 a 4 = 7a 3 10a 2 = = = 251, o.s.v... Boring! Finns det inget effektivare sätt? 17(24)

18 Bilda matrisen Då är ( ) a1 A a 0 ( ) a2 A a 1 ( ) a3 A a 2 Man kan bevisa att A = ( ) ( ) ( ) ( ) 7 10 a1 7a1 10a = = 0 = 1 0 a 0 a 1 ( ) ( ) ( ) 7 10 a2 7a2 10a = = 1 = 1 0 a 1 a 2 ( ) ( ) ( ) 7 10 a3 7a3 10a = = 2 = 1 0 a 2 a 3. ( ) ( ) an an+1 A =, a n 1 a n gäller för alla n, d.v.s. multiplikation av ( an a n 1 ( a2 a 1 ) ( a3 a 2 ( a4 ) a 3 ) ) med A (från vänster) gör att index för a n räknas upp med 1. 18(24)

19 ( ) a1 Om vi alltså startar med a 0 och multiplicerar denna vektor 23 gånger från vänster med A, så kommer index för a n räknas upp med 1 varje gång, vilket ger att (a24) a 23 = A 23 ( a1 a 0 ). En möjlig väg att komma åt a 24 är alltså att beräkna A 23. Hur då? Antag att det finns en inverterbar matris T sådan att D = T 1 AT är en diagonalmatris (d.v.s. att A är diagonaliserbar). Då är A = TDT 1, vilket ger att A 2 = (TDT 1 ) 2 = TDT 1 TDT 1 = TDEDT 1 = TD 2 T 1 A 3 = (TDT 1 ) 3 = TDT 1 TDT 1 TDT 1 = TD 3 T 1,. Allmänt får vi för varje heltal n 1 att A n = TD n T 1. 19(24)

20 Att med hjälp av formeln A n = TD n T 1 bestämma A 23 blir nu enkelt, eftersom D n lätt att beräkna, i och med att ( ) ( ) λ1 0 D = = D n λ n = λ 2 0 λ n, 2 där λ 1 och λ 2 är egenvärdena till A. Sekularekvationen 7 λ 10 1 λ = 0 visar sig ha rötterna λ 1 = 2 och λ 2 = 5. Genom att lösa ekvationerna AX = 2X och AX = 5X får vi motsvarande egenvektorer, som vi kan välja till v 1 = (2, 1) respektive v 2 = (5, 1) (övning!). Detta betyder alltså att A = TDT 1, där ( ) 2 5 T = och D = 1 1 Vi har här att (övning!) T 1 = 1 3 ( ) ( ) (24)

21 Nu blir ( ) ( ) A 23 = TD 23 T = ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) Därmed är ( ) ( ) a24 = A 23 a1 = 1 ( ( ) ( ) 7 a 23 a ( )) 22 3 = 1 ( ) 7( ) + 30( ) 3 7( ) + 30( , ) där vi kan läsa av att a 24 = 1 3 (7( ) + 30( )) , d.v.s. nästan biljoner bakterier! (Modellen är alltså inte så realistisk, speciellt inte under en så lång tidsperiod som ett dygn... ). 21(24)

22 Sammanfattningsvis, om A är en kvadratisk matris, så kan matrispotensen A n, där n 2, beräknas på följande vis (förutsatt att A är diagonaliserbar): 1. Bestäm egenvärdena till A genom att lösa sekularekvationen det(a λe) = Bestäm motsvarande egenvektorer genom att för varje funnet egenvärde λ lösa ekvationssystemet AX = λx. 3. Välj en bas av egenvektorer och bilda matrisen T, vars kolonner utgörs av koordinaterna för just dessa egenvektorer. 4. Beräkna T Nu är D = T 1 AT en diagonalmatris, och elementen på huvuddiagonalen till D är egenvärdena till A. Därmed är A n = TD n T 1. 22(24)

23 Exempel I ett tidigare exempel på denna föreläsning, diagonaliserade vi den symmetriska linjära avbildning F, som hade avbildningsmatrisen A = och fann då att T 1 AT = D, där T = och D = Här är i själva verket T 1 = T T (ty vi byter ju bas från en ON-bas till en annan). 23(24)

24 Därmed är A n = TD n T 1 = TD n T T = ( 15) n n n = 1 3 ( 15) n ( 4) 10 n n ( 15) n 3 10 n = 1 9 ( 15) n n 0 12 ( 15) n n n ( 15) n n 0 16 ( 15) n n För t.ex. n = 5 får vi matrisen A 5 = (24)

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Linjär Algebra, Föreläsning 20 Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014 LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen 18 september 2014 Kursinformation Linjär Algebra för I1 och Ii1. Examinator: Kurslitteratur: Janfalk, Ulf: Linjär algebra, 2014 Examination: Efter

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor Seminarium 25 Dagens ämnen Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016.

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Vladimir Tkatjev Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. Kursperiod: 18 januari 18 maj Examinator och föreläsare: Vladimir Tkatjev: B-huset,

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

4.2. Vektorprodukt i koordinater

4.2. Vektorprodukt i koordinater 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e,

Läs mer

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Här följer kommentarer om sånt i boken som kan behövas förtydligas samt anvisningar om vad som ska läsas, eller snarare vilka delar

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Egenvektorer och egenvärden

Egenvektorer och egenvärden Egenvektorer och egenvärden Diagonalmatriser Tidigare (Sparr, kap.8) har vi bestämt avbildningsmatriser för givna linjära avbildningar. Ofta förekommer det omvända problemet (om än i diverse förklädnader):

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI Seriöst, de här e fan allting. DE HÄR ÄR ALLT SKIT DU BEHÖVER, SKIT I ALLT ANNAT. STÅR DE INTE HÄR ÄR DE ONÖDIGT Contents Räkneregler för Vektorer... 2 Multiplikation mellan skalär

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Dagens ämnen Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas Kvadratiska former a 1 x 1 + a x +

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö Problemsamling i Linjär Algebra II Erik Darpö ii Notation Inklusion Samma som A B Matriserna A och B är radekvivalenta I n Enhetsmatrisen av storlek n n R n Vektorrummet av alla kolonnvektorer av storlek

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer