Vektorgeometri för gymnasister

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Vektorgeometri för gymnasister"

Transkript

1 Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I

2 Innehåll En liten tillbakablick: Ortogonala projektioner Avbildningar Linjära avbildningar Några exempel på linjära avbildningar i planet Några exempel på linjära avbildningar i rummet Ett exempel på en icke-linjär avbildning 2(25)

3 En liten tillbakablick: Ortogonala projektioner Avsikten med denna föreläsning är att vi ska börja titta på så kallade linjära avbildningar. Med hjälp av linjära avbildningar kan man bilda nya vektorer utifrån gamla, genom att t.ex. rotera, spegla eller projicera dem. För att bl.a. kunna handskas med projektioner av vektorer, ska vi inleda med att härleda en formel, som man ibland kallar för projektionsformeln. Denna formel finns inte omnämnd vid detta namn i boken, men man kan ana den i exempel 7 i kapitel 4. Problemet är följande: Vi vill projicera en vektor x ortogonalt mot en annan vektor v 0. Resultatet y av projektionen kommer då att uppfylla y = λv för något tal λ, eftersom y och v är parallella. Frågan är hur vi räknar ut detta λ. Eftersom det rör sig om en ortogonal projektion, kommer vi (givetvis) förutsätta att vi använder oss av en ON-bas. x y v 3(25)

4 För att luska ut hur λ i formeln y = λv kan tänkas se ut, börjar vi med att sätta u = x y. Då är u den blå vektorn i figuren nedan. Denna vektor är ortogonal mot v, så med hjälp av räknelagarna för skalärprodukt får vi 0 = u v = (x y) v = x v y v y v = x v. Vi vet ju att y = λv, eftersom y och v är parallella. Om vi i vänsterledet till ekvationen y v = x v därför ersätter y med λv så får vi, med ytterligare lite hjälp av några räkneregler för skalärprodukt, att λv v = x v λ(v v) = x v λ = x v v 2. Vi har funnit ett uttryck för λ som enbart innehåller x och v (de två vektorer som är givna redan från början). x u = x y y v 4(25)

5 Sats (Projektionsformeln) Om y är den ortogonala projektionen av en vektor x på en annan vektor v 0, så är y = λv, där λ = x v v 2. Exempel Bestäm den ortogonala projektionen y av x = (1, 1, 2) på vektorn v = (1, 3, 1). Lösning. Eftersom λ = x v v ( 1) ( 1) = ( 1) 2 = 4, så ger projektionsformeln y = 4 v = ( 4, 12, 4 ). Lägg märke till att y och v pekar i motsatta riktningar (vilket beror på att vinkeln mellan x och v är trubbig). 5(25)

6 Avbildningar I dina tidigare matematikstudier har du säkert sysslat en hel del med funktioner. En funktion är en regel som talar om hur man ska räkna ut ett tal utifrån ett redan givet tal, ofta med hjälp av en formel. Exempel på funktioner är f 1 (x) = sin x, f 2 (x) = x och f 3 (x) = ln(x + 2). Här säger de olika reglerna (formlerna) att vi, för varje reellt tal x, ska f 1 : Beräkna sinus av x f 2 : Kvadrera x och addera sedan 1 till resultatet f 3 : Addera 2 till x och beräkna sedan (den naturliga) logaritmen av resultatet. Ett annat namn för funktioner är avbildningar, fast ibland betraktar man sådana som mer generella än vad funktioner är. Om man håller på med funktioner, är det nämligen ofta underförstått att man arbetar med tal; man matar in ett tal i funktionen, och funktionen svarar genom att mata ut ett tal. När det gäller avbildningar behöver det inte vara just tal som utgör in- och utdata; för vår del kommer det att vara vektorer i rummet eller i planet. 6(25)

7 Definition (Avbildning, Bild) Med en avbildning F av rummets vektorer, avser vi en regel som till varje vektor u ordnar en entydigt bestämd vektor F(u) i rummet. Vektorn F(u) kallas för bilden av vektorn u genom F. I definitionen ovan kan vi även ersätta rummet med planet, så alltså vi även kan tänka oss avbildningar av planets vektorer. Exempel på avbildningar av rummets vektorer skulle kunna vara Spegla varje vektor i rummet i ett givet plan Rotera varje vektor i rummet ett halvt varv runt en given rät linje Projicera varje vektor i rummet ortogonalt mot ett givet plan. Om vi har givet en avbildning F och känner koordinaterna för en vektor u (i en given bas), så vill vi smidigt kunna räkna ut vilka koordinater som bilden F(u) har. För s.k. linjära avbildningar visar det sig att sambandet mellan koordinaterna för u och F(u) kan uttryckas med hjälp av en matris. 7(25)

8 Om X är en kolonnmatris med tre element (d.v.s. en 3 1-matris), och om A är en 3 3-matris, så kommer Y, där Y = AX, att liksom X vara en kolonnmatris med tre element. Detta kan vi utnyttja, för att definiera en avbildning F av rummets vektorer, på följande vis: Låt x = (x 1, x 2, x 3 ) vara en vektor i rummet, och låt X vara motsvarande kolonnmatris. Vi definierar bilden F(x) som den vektor y = (y 1, y 2, y 3 ) som svarar mot kolonnmatrisen Y = AX, där A är en given 3 3-matris. 8(25)

9 Exempel Vi definierar en avbildning F av rummets vektorer med hjälp av matrisen A = Här ges bilden till vektorn x = (1, 2, 5) genom F av F(x) = (7, 6, 12), eftersom = Vektorn x = (3, 1, 2) har å sin sida bilden F(x) = (1, 9, 14) (verifiera detta!). 9(25)

10 Med anknytning till föregående exempel: Låt x 1 och x 2 vara två vektorer i rummet, och X 1, X 2 motsvarande kolonnmatriser. Då får vi F(x 1 + x 2 ) genom att beräkna matrisprodukten A(X 1 +X 2 ). Enligt en räknelag för matrisräkning gäller A(X 1 +X 2 ) = AX 1 +AX 2. Här är AX 1 och AX 2 de kolonnmatriser som svarar mot F(x 1 ) respektive F(x 2 ). Matrisekvationen ovan kan alltså även skrivas F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ). (1) Vidare: Om x är en vektor i rummet med motsvarande kolonnmatris X, och om λ är ett godtyckligt reellt tal, så fås F(λx) genom att beräkna matrisprodukten A(λX). Men A(λX) = λax, där högerledet kan tolkas som λf(x). Alltså har vi även att F(λx) = λf(x). (2) Avbildningar med egenskaperna (1) och (2) är av speciellt intresse... 10(25)

11 Linjära avbildningar Definition (Linjär avbildning) En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det (i) för alla vektorer x 1 och x 2 i rummet (planet) gäller F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ), (ii) för varje vektor x i rummet (planet) och varje reellt tal λ gäller F(λx) = λf(x). Varje linjär avbildning F uppfyller F(0) = 0. I boken visas detta genom att sätta λ = 0 i formeln F(λx) = λf(x), men vi kan också visa detta genom att sätta x 1 = x 2 = 0 i formeln F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ): F(0 + 0) = F(0) + F(0). Vänsterledet är här lika med F(0). Alltså är F(0) + F(0) = F(0) och nu följer F(0) = 0 genom att subtrahera båda leden med F(0). (25)

12 Några exempel på linjära avbildningar i planet Om inget annat sägs, utgår vi ifrån att det koordinatsystem (O, e 1, e 2 ) som används är ortonormerat. Exempel (Ortogonal projektion på en rät linje) Betrakta den räta linje L i planet som på normalform har ekvationen 2x 1 + 3x 2 = 0. (Lägg märke till att denna linje går genom origo O.) Låt P vara den avbildning av planets vektorer som projicerar varje vektor ortogonalt på O L. L P (x) = (y 1, y 2) Antag att x = (x 1, x 2 ) är en vektor i planet, och att P(x) = (y 1, y 2 ) är resultatet av att x projiceras ortogonalt på L. Vi letar efter ett samband mellan (y 1, y 2 ) och (x 1, x 2 ). x = (x 1, x 2) Ett sådant samband kan vi hitta genom att använda projektionsformeln som vi härledde inledningsvis; vi kan helt enkelt se P(x) som den ortogonala projektionen av x på en riktningsvektor till L. 12(25)

13 Vi behöver alltså en riktningsvektor till L för att komma vidare. En sådan är enkel att läsa av, om ekvationen för linjen är skriven på parameterform: Genom att i ekvationen 2x 1 + 3x 2 = 0 sätta t.ex. x 2 = 2t och sedan lösa ut x 1, får vi { x1 = 3t x 2 = 2t, så en riktningsvektor för L ges alltså av v = ( 3, 2). Projektionsformeln ger nu att P(x) = λv, där På koordinatform får vi därmed λ = x v v 2 = 3x 1 + 2x (y 1, y 2 ) = λ( 3, 2) = 3x 1 + 2x 2 ( 3, 2) = (9x 1 6x 2, 6x 1 + 4x 2 ). Vi får ett linjärt samband mellan (y 1, y 2 ) och (x 1, x 2 ) enligt { y1 = 9 13 x x ( ) 2 y1 y 2 = 6 13 x x = 1 ( ) ( ) 9 6 x1. 2 y x 2 Sambandet mellan x och P(x) kan alltså beskrivas med hjälp av en matris, så P är därmed en linjär avbildning. 13(25)

14 Exempel (Spegling i en rät linje) Låt L vara samma räta linje i planet, som i det förra exemplet, d.v.s. linjen 2x 1 + 3x 2 = 0. Låt S vara den avbildning av planets vektorer som speglar varje vektor i L. S(x) = (y 1, y 2) O 2u L u = P (x) x x = (x 1, x 2) I förra exemplet kom vi fram till att P(x), projektionen av x på L, kan skrivas med hjälp av projektionsformeln som P(x) = λv, där v är en riktningsvektor för linjen och λ = (x v)/ v 2. Sätt u = P(x) x. Då blir S(x) = x + 2u = x + 2(P(x) x) = 2λv x. Med samma riktningsvektor v = ( 3, 2) som tidigare, så blir detta på koordinatform (y 1, y 2 ) = 2λ( 3, 2) (x 1, x 2 ) = ( 6λ x 1, 4λ x 2 ), där, precis som i exemplet med projektionen, λ = 3x 1 + 2x (25)

15 Koordinaterna y 1 och y 2 blir därmed lika med respektive y 1 = 6λ x 1 = 6 3x 1 + 2x 2 x 1 13 = 1 13 ( 6( 3x 1 + 2x 2 ) 13x 1 ) = 1 13 (5x 1 12x 2 ) y 2 = 4λ x 2 = 4 3x 1 + 2x 2 x 2 13 = 1 13 (4( 3x 1 + 2x 2 ) 13x 2 ) = 1 13 ( 12x 1 5x 2 ). På matrisform kan vi skriva detta som ( ) y1 = 1 ( ) ( ) 5 12 x1, y x 2 så även denna avbildning är linjär. 15(25)

16 Exempel (Sned projektion på en rät linje) Låt som tidigare L vara den räta linjen 2x 1 + 3x 2 = 0, och låt a = (1, 2) vara en vektor i planet. Vi definierar P a som den avbildning som projicerar vektorerna i planet på L, längs med vektorn a. a = (1, 2) O P a(x) = (y 1, y 2) x = (x 1, x 2) Vi har här vad man ibland kallar för en sned projektion; projektionen är inte ortogonal. Därför kan vi inte använda projektionsformeln för att plocka fram koordinaterna för P a (x); den fungerar bara för ortogonala projektioner. I stället utnyttjar vi att (y 1, y 2 ) måste vara skärningspunkten mellan L och den räta linje som går genom punkten (x 1, x 2 ) och har a som riktningsvektor. En godtycklig punkt på denna linje har koordinaterna (x 1, x 2 ) + t(1, 2) = (x 1 + t, x 2 + 2t) för något värde på t, och vi söker t så att denna punkt också ligger på L, d.v.s. så att 2(x 1 + t) + 3(x 2 + 2t) = 0 t = 1 8 (2x 1 + 3x 2 ). 16(25)

17 Detta ger att och y 1 = x 1 + t = x (2x 1 + 3x 2 ) = 1 8 (6x 1 3x 2 ) y 2 = x 2 + 2t = x (2x 1 + 3x 2 ) = 1 8 ( 4x 1 + 2x 2 ). Även här är det alltså frågan om en linjär avbildning, eftersom sambandet mellan koordinaterna för P a (x) och x kan skrivas på matrisform ( ) y1 = 1 ( ) ( ) 6 3 x1. y x 2 17(25)

18 Några exempel på linjära avbildningar i rummet Vi kommer, liksom i fallet med avbildningar i planet, utgå från att vi använder ett ortonormerat koordinatsystem (O, e 1, e 2, e 3 ). Exempel (Ortogonal projektion på ett plan) Låt P vara den avbildning av rummets vektorer som projicerar varje vektor i rummet ortogonalt mot planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0. (Notera att origo O ligger i planet.) Vektorn u = x P(x) är parallell med planets normalvektor n, så u = λn för något tal λ, vilket ger P(x) = x u = x λn. Talet λ kan räknas ut med hjälp av projektionsformeln, eftersom u kan tolkas som den ortogonala projektionen av x på n. x n u = x P (x) = λn P (x) 18(25)

19 Av planets ekvation x 1 + 3x 2 x 3 = 0 framgår det att n = (1, 3, 1), så ekvationen P(x) = x λn blir på koordinatform (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ) λ(1, 3, 1) = (x 1 λ, x 2 3λ, x 3 + λ). Enligt projektionsformeln är λ = x n n 2 = x 1 + 3x 2 x 3, vilket ger y 1 = x 1 λ = x 1 x 1 + 3x 2 x 3 y 2 = x 2 3λ = x 2 3 x1 + 3x 2 x 3 y 3 = x 3 + λ = x 3 + x 1 + 3x 2 x 3 eller på matrisform y 1 y 2 = 1 y 3 Avbildningen är alltså linjär. = 1 (10x 1 3x 2 + x 3 ), = 1 ( 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 ) = 1 (x 1 + 3x x 3 ), x 1 x 2 x 3. 19(25)

20 Låt v 1 = (2, 4, 3), v 2 = (1, 3, 1) och v 3 = (2, 0, 2). Vad är då P(v 1 ), P(v 2 ) respektive P(v 3 ), d.v.s. hur ser den ortogonala projektionen på planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0 ut, för respektive vektor? Koordinaterna för P(v 1 ) får vi genom matrismultiplikationen = 1 1 = 1, så P(v 1 ) = (1, 1, 4). Denna vektor är alltså den skugga som v 1 kastar på planet, då detta belyses rakt uppifrån. När det gäller v 2 så noterar vi att v 2 = n är normalvektor till planet. Som sådan kan den inte någon skugga alls på planet, eftersom projektionen ju är ortogonal. Alltså P(v 2 ) bör vara nollvektorn. Detta bekräftas också av att = (25)

21 Slutligen beräknar vi P(v 3 ), där v 3 = (2, 0, 2), på samma sätt; vi får = = Vi noterar att P(v 3 ) = v 3, d.v.s. v 3 är lika med sin egen skugga. Hur kommer det sig? Förklaringen är att v 3 är parallell med planet, och därmed ortogonal mot den riktning som projektionen sker. 21(25)

22 Exempel (Spegling i ett plan) Vi ska här studera den avbildning S som speglar varje vektor i samma plan x 1 + 3x 2 x 3 = 0 som i föregående exempel. Om u är den ortogonala projektionen av x på normalvektorn n, så är S(x) + 2u = x, vilket ger S(x) = x 2λn, där n = (1, 3, 1) och λ = x 1 + 3x 2 x 3 (se föregående exempel). x = (x 1, x 2, x 3) n u = λn S(x) = (y 1, y 2, y 3) 22(25)

23 Ekvationen S(x) = x 2λn blir på koordinatform (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ) 2λ(1, 3, 1) = (x 1 2λ, x 2 6λ, x 3 + 2λ), och med uttrycket λ = (x 1 + 3x 2 x 3 )/ insatt får vi efter litet räkningar y 1 = x 1 2 x1 + 3x 2 x 3 y 2 = x 2 6 x1 + 3x 2 x 3 y 3 = x x1 + 3x 2 x 3 d.v.s. på matrisform y 1 y 2 = 1 y 3 = 1 (9x 1 6x 2 + 2x 3 ) = 1 ( 6x 1 7x 2 + 6x 3 ) = 1 (2x 1 + 6x 2 + 9x 3 ), x 1 x 2 x 3 Med andra ord har vi att göra med ännu en linjär avbildning.. 23(25)

24 Hur ser då spegelbilderna ut, av samma tre vektorer v 1 = (2, 4, 3), v 2 = (1, 3, 1) och v 3 = (2, 0, 2), som vi tidigare projicerade ortogonalt på samma plan? Vi har att S(v 1 ) = (0, 2, 5), eftersom = = Vi skulle kunna räkna ut S(v 2 ) och S(v 3 ) på samma sätt, men kan också föra ett geometriskt resonemang om vad resultatet måste bli. Vektorn v 2 är ju normalvektor till planet. Med detta i åtanke, hur bör dess spegelbild S(v 2 ) se ut? När vi beräknade projektionen av v 3 på planet, fann vi att v 3 var lika med sin egen skuggbild, eftersom v 3 är parallell med planet. Hur bör därför dess spegelbild S(v 3 ) i samma plan se ut? Verifiera slutsatserna genom att beräkna motsvarande matrismultiplikationer. 24(25)

25 Ett exempel på en icke-linjär avbildning De avbildningar vi hittills sett exempel på, har alla varit linjära, eftersom de har kunnat beskrivas med hjälp av matriser, såtillvida att y = F(x) motsvaras av Y = AX för någon matris A. Här kommer ett exempel på en avbildning som inte är linjär: Exempel (Translation av vektor) Låt a 0 vara en vektor i rummet (planet), och betrakta avbildningen T a, som för varje vektor x definieras av T a (x) = x + a. Avbildningen T a är en s.k. translation. T a(x) = x + a a x Om T a vore linjär, skulle den ha avbildat nollvektorn på sig själv, med det gör den inte: T a (0) = 0 + a = a 0. 25(25)

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Mer om geometriska transformationer

Mer om geometriska transformationer CTH/GU LABORATION 4 TMV141-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om geometriska transformationer Vi fortsätter med geometriska transformationer och ser på ortogonal (vinkelrät) projektion samt spegling.

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5 Lördagen 6 Nu vill vi fokusera på linjära avbildningar från vektorrum W Om T : R n R n är en linjär avbildning, och W R n ett vektorrum, då har vi en inducerad avbildning T W : W R m Och denna avbildning

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

Linjer och plan (lösningar)

Linjer och plan (lösningar) Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC

Läs mer

4.2. Vektorprodukt i koordinater

4.2. Vektorprodukt i koordinater 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e,

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb VEKTORGEOMETRI Christian Gottlieb Matematiska institutionen Stockholms universitet 2:a upplagan 2001 2014 Förord Detta kompendium har sedan några år använts i utbildningen av grundskolelärare i matematik

Läs mer

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0. 1. Punkt och Linjer När du läser denna text är det bra om du ritar bilder för att exemplifiera innehållet. Det är lite komplicerad med i.tex, och därför avstår jag från att lägga vid illustrationer även

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer