Linjär Algebra, Föreläsning 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Linjär Algebra, Föreläsning 2"

Transkript

1 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet

2 Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt. Om vi i ett plan har två punkter P och Q, då låter vi den riktade sträckan från P till Q, ritad som en pil som startar i P och slutar i Q, betecknas PQ. Vi låter nu mängden av alla sådana riktade sträckor med samma storlek och riktning (det är alltså underförstått att vi kan mäta detta) betecknas [ PQ]. Detta tar vi som denition av vektorer i planet. Givetvis kan motsvarande också göras i ett tredimensionellt rum. (För de som vet vad en ekvivalensrelation är kan vi säga att ha samma storlek och riktning är en ekvivalensrelation, och en vektor är helt enkelt en ekvivalensklass av riktade sträckor).

3 Riktade sträckor och Geometriska vektorer Notera att det för varje vektor u och punkt P nns en unik punkt Q sådan att u = [ PQ]. En speciell vektor är nollvektorn, som har längd noll (och alltså inte kan sägas ha någon riktning). Denna betecknas 0, och vi har 0 = [ PP].

4

5 Vi inför även för en vektor u = [ PQ] längden/normen u att vara avståndet mellan punkterna P och Q.

6

7 Addition och multiplikation med skalär Addition av två vektorer u = [ PR] och v = [ RQ] denieras som u + v = [ PR] + [ RQ] = [ PQ]. Multiplikation med skalär (=reellt tal) denieras så att ku är den unika vektor som uppfyller ku = k u och ku har samma riktning som u om k > 0, ku har motsatt riktning om k < 0. Om k = 0 är ku = 0. Vi inför även beteckningen u := 1u, d.v.s. den vektor som har samma storlek men motsatt riktning.

8

9 Räknelagar Sats För alla vektorer u, v, w (i ett plan eller rum) och skalärer λ, µ gäller följande: (a) u + v = v + u, (b) u + (v + w) = (u + v) + w, (c) u + 0 = u, (d) u + v = 0 u = v, (e) 1u = u, (f) λ(µu) = (λµ)u, (g) (λ + µ)u = λu + µu, (h) λ(u + v) = λu + λv. Tack vare lag (b), (f ) ovan kommer vi skriva u + v + w, λµu eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning vi tar dessa operationer.

10 Baser och koordinatsystem Denition En ordnad uppsättning vektorer u = (u 1 u 2 ) i ett plan (u = (u 1 u 2 u 3 ) i ett rum) sägs utgöra en bas till planet (rummet) om varje vektor v i planet (rummet) på entydigt sätt kan skrivas på formen ( ) x1 v = x 1 u 1 + x 2 u 2 =: u Kolumnmatrisen v = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 =: u x 2. x 3 ( x1 x 2 ) respektive kallas för v :s koordinater i basen u x 1 x 2 x 2 x 3 x 1

11 Baser och koordinatsystem Per denition har alltså varje vektor unika koordinater i en bas, och varje sådan kolumnmatris svarar mot en unik vektor, så det nns en 1 1 korrespondens mellan vektorer och dessa koordinatmatriser. Notera att två vektorer i ett plan (tre vektorer i ett rum) utgör en bas om och endast om de inte ligger på en gemensam linje (i ett gemensamt plan).

12 Koordinater för punkter För att ge punkter koordinater behöver vi förutom en bas också en x referenspunkt i vårt plan/rum, som vi kallar origo och betecknar denna O. Om P är en punkt i planet/rummet och vi har [ OP] = u ( x1 x 2 ) respektive [ x 1 OP] = u x 2 x 3 då säger vi att P har koordinater (x 1, x 2 ) respektive (x 1, x 2, x 3 ) i detta koordinatsystem (observera att detta alltså nu beror både på valet av u och O).

13 Algebraiska operationer När det gäller de algebraiska operationerna vi har infört blir dessa mycket enkla om vi uttrycker alla vektorer i samma bas u: u ( a1 a 2 ) + u ( b1 b 2 ) ( ) a1 + b = u 1, ku a 2 + b 2 ( a1 a 2 ) ( ) ka1 = u, ka 2 respektive a 1 b 1 a 1 + b 1 u a 2 + u b 2 = u a 2 + b 2, a 3 b 3 a 3 + b 3 a 1 ka 1 ku a 2 = u ka 2. a 3 ka 3 Det vill säga för att addera två vektorer adderar vi bara deras koordinater, och för att multiplicera en vektor med en skalär multiplicerar vi bara varje koordinat med denna skalär. Det är ganska lätt att övertyga sig om att detta stämmer överens med den geometriska denitionen av addition och multiplikation med skalär som vi införde ovan.

14 Exempel 1 Exempel 1: Antag att vi i ett plan valt origo O och en bas u = (u 1 u 2 ). Låt vidare punkterna P, Q, R i detta koordinatsystem ha koordinater P = (3, 2), Q = (4, 3) och R = (1, 1). Bestäm följande (uttryckt i det givna koordinatsystemet): [ OR], [ OP], [ OQ], [ PQ], [ OP] + [ OR], [ OQ] samt 4[ OQ].

15 Exempel 2 Exempel 2: Antag att vi i ett rum valt origo O och en bas u = (u 1 u 2 u 3 ). Låt vidare punkterna P, Q, R i detta koordinatsystem ha koordinater P = (1, 3, 0), Q = (2, 1, 3) och R = ( 1, 0, 2). Bestäm följande (uttryckt i det givna koordinatsystemet): [ PR] samt 2[ PR] + 4[ OQ].

16 Exempel 3 Två vektorer u och v i ett plan eller rum sägs vara parallella om det nns en skalär k sådan att u = kv. Exempel 3: Antag att vi i ett rum valt en bas u = (u 1 u 2 u 3 ). Avgör om följande vektorer är parallella: 3 6 (a) u 1 och u (b) u 1 och u 4 0 0

17 Exempel 4 Exempel 4: Antag att vi i ett rum valt origo O och en bas u = (u 1 u 2 u 3 ). Givet punkterna med koordinater i detta koordinatsystem P = (1, 2, 4) och Q = (2, 3, 1), bestäm mittpunkten på sträckan PQ.

18 ON-baser och högersystem Om vi valt vektorerna e = (e 1 e 2 ) i ett plan respektive e = (e 1 e 2 e 3 ) i ett rum så att dessa vektorer är parvis ortogonala (vinkel π/2 mellan dem) samt att de har länd 1, då sägs de utgöra en ortonormal bas (ON-bas) till planet/rummet. Om axlarna dessutom är orienterade som i nedanstående gur sägs basen vara högerorienterad.

19

20 Rummen R n och M n 1 För att fortsättningsvis slippa formulera satser separat för två respektive tre dimensioner inför vi här rummen R n och M n 1. Dessa är meningsfulla för alla dimensioner n även om vi just nu mest är intresserade av n = 2, 3. Denition Mängden av alla tal n-tupler (a 1, a 2,..., a n ), där a 1, a 2,..., a n R, betecknas R n. Mängden av alla kolumnmatriser betecknas M n 1. a 1 a 2.. a n

21 Algebraiska operationer i R n och M n 1 Vi inför följande operationer på R n respektive M n 1. (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ), k(a 1, a 2,..., a n ) = (ka 1, ka 2,..., ka n ), a 1 b 1 a 1 + b 1 a b 2.. = a 2 + b 2., a n b n a n + b n a 1 ka 1 a 2 k.. = ka 2.. a n ka n Rummen R n och M n 1 med ovanstående operationer är exempel på vektorrum.

22 Det nns en uppenbar 1 1 korrespondens mellan punkter och motsvarande vektor som startar i origo. Dessutom om vi identierar (a 1, a 2,..., a n ) med a 1 a 2.. a n, så är ju rummen ovan helt ekvivalenta på alla sätt. Anledningen till att vi vill ha båda är att R n är det i särklass vanligaste rummet i matematiklitteraturen, men när vi sedan räknar med matriser är det rätta sättet att skriva vektorer som kolumnmatriser. I princip skulle det kanske vara bättre att göra detta rakt igenom i kursen och skippa R n, men det som talar starkt för R n är att det är betydligt smidigare att skriva dessa vektorer, samt att det är mer standardiserat.

23 Alla satser/begrepp som formuleras för R n har en direkt motsvarighet för M n 1. Denna omformulering lämnas åt läsaren, och vi kommer hämningslöst använda dessa motsvarande satser senare i kursen.

24 Exempel 5 Exempel 5: Visa att vektorerna u = ((1, 1, 3) (3, 1, 0) (1, 0, 1)) utgör en bas till R 3 samt bestäm koordinaterna till vektorn (2, 0, 3) i denna bas.

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt:

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt: LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 1 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 3 3 Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt 7 4 Linjer och plan 10 5 Matriser

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 2 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 4 21 Rummen R n och M n 1 7 22 Skalärprodukt 8 3 Linjer 11 31 Linjer på parameterform

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

4.2. Vektorprodukt i koordinater

4.2. Vektorprodukt i koordinater 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e,

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Vektorer, matriser, nätverk - några elementa

Vektorer, matriser, nätverk - några elementa Vektorer, matriser, nätverk - några elementa Innehåll: Vektorer Radvektorer och kolumnvektorer Operationer med vektorer Input- och outputvektorer i neurala nätverk Utvikning om kompetitiva nät Matriser

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v].

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v]. REPETITION (1) Låt F : R n R m vara en linjär avbildning. Då är F (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) där f 1 (x 1,..., x n ) = a 11 x 1 +... + a 1n x n,..., f m (x 1,...,

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Linjär Algebra, Föreläsning 20 Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Kontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18.

Kontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016.

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Vladimir Tkatjev Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. Kursperiod: 18 januari 18 maj Examinator och föreläsare: Vladimir Tkatjev: B-huset,

Läs mer

Robotarm och algebra

Robotarm och algebra Tekniska Högskolan i Linköping Institutionen för Datavetenskap (IDA) Torbjörn Jonsson 2010-12-07 Robotarm och algebra I denna laboration skall du lära dig lite mer om möjlighetera att rita ut mer avancerade

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer