Vektorgeometri för gymnasister

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Vektorgeometri för gymnasister"

Transkript

1 Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II

2 Innehåll Repetition: Linjära avbildningar Matrisrepresentation av linjära avbildningar Volymförändring vid linjära avbildningar Sammansättning av linjära avbildningar 8 mars (32)

3 Repetition: Linjära avbildningar En avbildning av rummets (planets) vektorer är en regel F som till varje vektor x i rummet (planet) ordnar en entydigt bestämd vektor F(x), kallad bilden av x genom F. En avbildning av planets vektorer skulle kunna vara Projicera varje vektor ortogonalt på en given rät linje L genom origo (avbildningen P i figuren nedan) Spegla varje vektor i en given rät linje L genom origo (avbildningen S i figuren nedan) Rotera varje vektor ett halvt varv runt origo (avbildningen R nedan). S(x) R(x) 180 O P (x) x L Projektionen, speglingen och rotationen ovan är alla exempel på linjära avbildningar. 8 mars (32)

4 Definition (Linjär avbildning) En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det (i) för alla vektorer x 1 och x 2 i rummet (planet) gäller F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ), (ii) för varje vektor x i rummet (planet) och varje reellt tal λ gäller F(λx) = λf(x). Vi kan ersätta villkoren (i) och (ii) i ovanstående definition, med ett enda villkor: För varje par av vektorer x 1 och x 2 och varje par av reella tal λ 1 och λ 2 gäller att F(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 F(x 1 ) + λ 2 F(x 2 ). Informellt: Linjärkombinationer avbildas på linjärkombinationer. 8 mars (32)

5 Matrisrepresentation av linjära avbildningar Under förra föreläsningen tittade vi på ett antal exempel på linjära avbildningar. Vad de alla hade gemensamt var att de kunde representeras med hjälp av matriser: För en linjär avbildning F visade det sig att bilden y = F(x) av en vektor x kan fås genom att beräkna en matrisprodukt Y = AX, där X och Y är kolonnmatriser som svarar mot x respektive y, och där A är en 2 2- eller en 3 3-matris, beroende på om F är en avbildning av planets eller rummets vektorer. Vi återanknyter till ett par av dessa exempel nedan. 8 mars (32)

6 Exempel (Spegling i en rät linje) För den linjära avbildning S som speglar planets vektorer i linjen L: 2x 1 + 3x 2 = 0, så fann vi att S(x) = 2λv x, där v är en riktningsvektor för L och λ = (x v)/ v 2. Sambandet mellan x = (x 1, x 2 ) och S(x) = (y 1, y 2 ) kan skrivas på matrisform: ( ) y1 = 1 ( ) ( ) 5 12 x1. y x 2 Alltså kan S representeras av matrisen A = 1 ( ) S(x) = (y 1, y 2) L O x = (x 1, x 2) 8 mars (32)

7 Exempel (Ortogonal projektion på ett plan) För den linjära avbildning P som projicerar rummets vektorer ortogonalt mot planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0, så är P(x) = x λn, där n är en normalvektor till planet och λ = (x n)/ n 2. På matrisform: y 1 y 2 = x x 2, 11 y x 3 d.v.s. P representeras av A = n x = (x 1, x 2, x 3) P (x) = (y 1, y 2, y 3) 8 mars (32)

8 Vi konstaterade förra gången att vi har att göra med en linjär avbildning, så fort vi kan representera den med en matris, d.v.s. OM en avbildning kan representeras av en matris, SÅ är den linjär. Det omvända förhållandet visar sig också gälla, d.v.s. OM en avbildning är linjär, SÅ kan den representeras av en matris. Sats För varje linjär avbildning F av rummets vektorer gäller att det i en given bas finns en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att likheten y = F(x) på matrisform motsvaras av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna F(x) respektive x. I boken bevisas denna sats i det fall, då F är en avbildning av rummets vektorer. Vi ska genomföra beviset i fallet då F är en avbildning av planets vektorer. Matrisen A blir då istället av typ mars (32)

9 Bevis av satsen (för planets vektorer). Låt (e 1, e 2 ) vara en bas för planets vektorer. Säg att x = (x 1, x 2 ) och y = F(x) = (y 1, y 2 ) i denna bas, vilket alltså betyder att x = x 1 e 1 + x 2 e 2 och y = y 1 e 1 + y 2 e 2. Även F(e 1 ) och F(e 2 ) är vektorer i planet, så de har också varsin uppsättning av koordinater i den givna basen, säg F(e 1 ) = (a 1, a 2 ) och F(e 2 ) = (b 1, b 2 ), vilket är samma sak som att F(e 1 ) = a 1 e 1 + a 2 e 2 och F(e 2 ) = b 1 e 1 + b 2 e 2. Nu blir y = F(x) = F(x 1 e 1 + x 2 e 2 ) = x 1 F(e 1 ) + x 2 F(e 2 ) = x 1 (a 1 e 1 + a 2 e 2 ) + x 2 (b 1 e 1 + b 2 e 2 ) = (a 1 x 1 + b 1 x 2 )e 1 + (a 2 x 1 + b 2 x 2 )e 2. Men vi har ju också y = y 1 e 1 + y 2 e 2, och eftersom koordinaterna för en vektor är entydigt bestämda i en given bas, så måste { ( ) ( ) ( ) y1 = a 1 x 1 + b 1 x 2 y1 a1 b = 1 x1. y 2 = a 2 x 1 + b 2 x 2 y 2 a 2 b 2 x 2 ( ) a1 b Därmed representeras F av A = 1, och satsen är bevisad. a 2 b 2 8 mars (32)

10 Om vi studerar beviset mer ingående, ser vi att det ger oss en metod att plocka fram matrisen till en linjär avbildning. Vi ser att vi fick matrisen ( ) a1 b A = 1, a 2 b 2 vars kolonner består precis av koordinaterna för F(e 1 ) = (a 1, a 2 ) och F(e 2 ) = (b 1, b 2 ). Motsvarande gäller också för avbildningar av rummets vektorer. Med andra ord: Sats Om den linjära avbildningen F av rummet representeras av matrisen A i en given bas (e 1, e 2, e 3 ), så utgörs A:s kolonner av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ), d.v.s. bilderna av basvektorerna genom F. Exempel Om en linjär avbildning F av rummets vektorer representeras av matrisen A = i någon bas (e 1, e 2, e 3 ), så är F(e 1 ) = (1, 3, 0), F(e 2 ) = ( 6, 3, 8) och F(e 3 ) = ( 1, 0, 1) i denna bas. 8 mars (32)

11 Exempel (Spegling i en rät linje) Vi ska använda föregående sats för att på nytt plocka fram den matris A som representerar speglingen S av planets vektorer i linjen L: 2x 1 + 3x 2 = 0. Vi behöver då veta koordinaterna för S(e 1 ) och S(e 2 ), och tar till den formel som härleddes förra gången, d.v.s. S(x) = 2λv x, där v är en riktningsvektor för L och λ = (x v)/ v 2. Som riktningsvektor valde vi v = ( 3, 2) (så därmed blir v 2 = 13). För e 1 = (1, 0) får vi därmed vilket ger λ = e 1 v v 2 = 1 ( 3) = , S(e 1 ) = 2λv e 1 = ( ) ( 3, 2) (1, 0) = ( 13, ). 8 mars (32)

12 Anmärkning Observera att vi måste räkna ut ett nytt värde på λ när vi beräknar S(e 2 ); vi kan inte använda samma värde på λ som när vi beräknade S(e 1 ). Detta beror på att λ i den allmänna formeln S(x) = 2λv x beror av den vektor x som vi stoppar in i S, i och med att λ = (x v)/ v 2. 8 mars (32) På samma sätt får vi för e 2 = (0, 1) att och därmed λ = e 2 v v 2 = 0 ( 3) = , S(e 2 ) = 2λv e 2 = ( 3, 2) (0, 1) = ( 13, 5 13 ). Sammanfattningsvis: S(e 1 ) = ( 5 13, ) och S(e 2) = ( 12 13, 5 13 ). Enligt satsen ovan kan vi nu bilda matrisen A för S i den givna basen (e 1, e 2 ), genom att som kolonner i matrisen välja koordinaterna för S(e 1 ) och S(e 2 ): A = ( 5/13 12/13 12/13 5/13 ) = 1 13 ( )

13 Exempel Vi använder samma metod som i förra exemplet, för att än en gång plocka fram matrisen för projektionen P av rummets vektorer på planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0. Den allmänna formeln är här P(x) = x λn, där n är en normalvektor till planet och λ = (x n)/ n 2. Här har vi n = (1, 3, 1) och därmed n 2 = 11. För e 1 = (1, 0, 0) blir vilket ger λ = e 1 n n 2 = ( 1) 11 = 1 11, P(e 1 ) = e 1 λn = (1, 0, 0) (1, 3, 1) = ( 11, 3 11, 1 11 ). 8 mars (32)

14 För e 2 = (0, 1, 0) blir vilket ger λ = e 2 n n 2 = ( 1) 11 = 3 11, P(e 2 ) = e 2 λn = (0, 1, 0) (1, 3, 1) = ( 11, 2 11, 3 11 ), och med samma metod blir P(e 3 ) = ( 1 11, 3 11, ). Matrisen för P i basen (e 1, e 2, e 3 ) kommer att som sina kolonner ha koordinaterna för P(e 1 ) = ( 10 11, 3 11, 1 11 ), P(e 2) = ( 3 11, 2 11, 3 11 ) och P(e 3 ) = ( 1 11, 3 11, ): 10/11 3/11 1/11 A = 3/11 2/11 3/11 = /11 3/11 10/ mars (32)

15 Exempel Låt (e 1, e 2, e 3 ) vara en positivt orienterad ON-bas för rummet. Låt R vara den avbildning, som roterar varje vektor i rummet 90 moturs, sett från spetsen av e 3. Man kan visa e 3 e 2 att R är linjär; vi söker dess matris. e 1 Vi behöver veta koordinaterna för R(e 1 ), R(e 2 ) och R(e 3 ), eftersom dessa kommer att utgöra matrisens kolonner. Med ledning av figuren ovan ser vi att om e 1 roteras 90 moturs (sett från spetsen av e 3 ), så får vi e 2 som resultat, d.v.s. R(e 1 ) = e 2 = (0, 1, 0). om vi roterar e 2 på samma sätt får vi en vektor som pekar åt rakt motsatt håll som e 1. Alltså är R(e 2 ) = e 1 = ( 1, 0, 0). eftersom e 3 tjänstgör som rotationsaxel, så händer ingenting med denna vektor när den roteras; R(e 3 ) = e 3 = (0, 0, 1). Detta ger oss matrisen A = mars (32)

16 Exempel Låt I vara den avbildning av rummets vektorer som definieras av I(x) = x för varje vektor x, d.v.s. varje vektor avbildas på sig själv. Trots att denna avbildning gör ingenting, är den nog så viktig och har därför fått ett eget namn: identitetsavbildningen. Det är lätt att se att identitetsavbildningen är linjär. Alla vektorer avbildas ju på sig själva, så därför är I(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 = λ 1 I(x 1 ) + λ 2 I(x 2 ). Eftersom I är linjär, kan den representeras av en matris. Hur ser denna ut? 8 mars (32)

17 Låt (e 1, e 2, e 3 ) vara en bas för rummets vektorer. Nu avbildar ju I alla vektorer på sig själva, så speciellt måste I(e 1 ) = e 1 = (1, 0, 0), I(e 2 ) = e 2 = (0, 1, 0) och I(e 3 ) = e 3 = (0, 0, 1). Enligt det sätt på vilken man plockar fram matrisen för en linjär avbildning, måste därmed I representeras av enhetsmatrisen E = Lägg märke till att det inte spelar någon roll hur basen (e 1, e 2, e 3 ) ser ut; matrisen för I blir enhetsmatrisen i vilket fall som helst! (Senare kommer vi att se att en matris för en linjär avbildning i regel ser annorlunda ut, beroende på vilken bas man använder sig av. Men detta gäller alltså inte för identitetsavbildningen.) 8 mars (32)

18 Volymförändring vid linjära avbildningar Låt v 1, v 2 och v 3 vara tre vektorer i rummet. Då spänner dessa upp en parallellepiped (vars volym är noll, om vektorerna råkar v 2 vara linjärt beroende). v 1 Om F är en linjär avbildning av rummet, så spänner även F(v 1 ), F(v 2 ) och F(v 3 ) upp en parallellepiped i rummet (vars volym blir noll, om dessa tre vektorer är linjärt beroende). Eventuellt F (v 3) ändras även orienteringen; om systemet (v 1, v 2, v 3 ) från början är positivt orienterat, kan (F(v 1 ), F(v 2 ), F(v 3 )) bli F (v 1) negativt orienterat. F (v 2) Kan något sägas om volymen av den parallellepiped som spänns upp av v 1, v 2 och v 3, jämfört med den som spänns upp av deras motsvarande bilder F(v 1 ), F(v 2 ) och F(v 3 )? Och finns ett sätt att avgöra om orienteringen ändras (som den t.ex. gör i figurerna ovan)? 8 mars (32) v 3

19 Vi påminner om att volymfunktionen V (u 1, u 2, u 3 ) anger volymen (sånär som på tecken) av den parallellepiped som spänns upp av u 1, u 2, u 3 (och att V (u 1, u 2, u 3 ) bestäms genom att beräkna den determinant, vars kolonner ges av koordinaterna för u 1, u 2 och u 3 ). Man kan avgöra om systemet (u 1, u 2, u 3 ) är positivt eller negativt orienterat, genom att undersöka ifall V (u 1, u 2, u 3 ) är större eller mindre än 0. Om V (u 1, u 2, u 3 ) = 0 så är u 1, u 2, u 3 linjärt beroende. Sats Låt F vara en linjär avbildning av rummet, och antag att F i någon bas representeras av matrisen A. Låt u 1, u 2, u 3 vara tre vektorer i rummet. Då gäller V (F(u 1 ), F(u 2 ), F(u 3 )) = deta V (u 1, u 2, u 3 ), d.v.s. volymen av parallellepipeden ändras med en faktor som är lika med determinanten av den matris som representerar F. Anmärkning Observera att om deta < 0, så kommer V (u 1, u 2, u 3 ) och V (F(u 1 ), F(u 2 ), F(u 3 )) att ha olika tecken (såvida inte någon av dem är noll). I så fall ändrar F på orienteringen. 8 mars (32)

20 Exempel Vektorerna u = (1, 2, 1), v = (2, 0, 2) och w = ( 1, 2, 1) spänner upp en parallellepiped med volymen 8, ty med hjälp av Sarrus regel får vi att V (u, v, w) = = 8. Antag att F är en linjär avbildning av rummet som representeras av matrisen A = Vilken volym har den parallellepiped som spänns upp av F(u), F(v) och F(w)? Lösning. Eftersom deta = 6 så ger föregående sats direkt att V (F(u), F(v), F(w)) = 6 ( 8) = 48, d.v.s. volymen är 48. Notera att V (u, v, w) och V (F(u), F(v), F(w)) har samma tecken (båda är negativa), så F ändrar inte på orienteringen. 8 mars (32)

21 Alternativ lösning. En mer omständlig lösning är att först beräkna F(u), F(v) och F(w), och därefter bestämma V (F(u), F(v), F(w)): Om kolonnmatriserna X, Y och Z representerar vektorerna u, v respektive w, så får vi koordinaterna för F(u), F(v) och F(w) genom att beräkna matrisprodukerna AX, AY respektive AZ. Eftersom AX = = 6, så är F(u) = (4, 6, 4). På samma sätt får vi att F(v) = (8, 4, 4) och F(w) = (2, 4, 4). Detta ger att V (F(u), F(v), F(w)) = = 48, med hjälp av Sarrus regel. 8 mars (32)

22 Exempel Antag att P är en projektion (ortogonal eller sned) av rummet på ett givet plan. Låt u, v, w vara tre linjärt oberoende vektorer (d.v.s. de spänner upp en parallellepiped med positiv volym). Vad kan sägas om V (P(u), P(v), P(w)), d.v.s. vilken volym har den projicerade parallellepipeden? u v w 8 mars (32)

23 Eftersom P är en projektion på ett plan, så kommer P(u), P(v) och P(w) alla ligga i detta plan. Dessa tre vektorer blir alltså linjärt beroende, så V (P(u), P(v), P(w)) = 0. P (u) P (v) P (w) Men om P representeras av matrisen A, så vet vi från föregående sats att V (P(u), P(v), P(w)) = deta V (u, v, w). Här är V (u, v, w) 0, ty u, v, w var ju linjärt oberoende. Men vänsterledet är ju noll. Alltså måste deta = 0. Slutsats: En projektion (ortogonal eller sned) av rummets vektorer på ett plan, representeras alltid av en matris med determinanten 0. 8 mars (32)

24 Exempel Vilket samband råder mellan V (u, v, w) och V (S(u), S(v), S(w)), om S är en spegling av rummets vektorer i ett givet plan? w v u S(w) S(v) S(u) 8 mars (32)

25 Volymen av parallellepipeden ändras inte vid en spegling. Däremot ändras orienteringen; om systemet (u, v, w) från början är positivt orienterat, så kommer (S(u), S(v), S(w)) att bli negativt orienterat. Alltså måste V (S(u), S(v), S(w)) = V (u, v, w). Om matrisen A representerar S, så ger formeln därmed att deta = 1. V (S(u), S(v), S(w)) = deta V (u, v, w), Slutsats: En spegling av rummets vektorer i ett plan, representeras alltid av en matris med determinanten 1. Att fundera på: Vad kan sägas om deta, om A är matrisen för en rotation? 8 mars (32)

26 Sammansättning av linjära avbildningar I många situationer har man flera avbildningar som får operera på en vektor i tur ordning: Om vi t.ex. har två avbildningar F och G, och om x är en vektor i rummet, så kan vi först beräkna y = F(x), och därefter z = G(y) = G(F(x)). Den avbildning som avbildar x på G(F(x)) kallas för sammansättningen av F och G, och betecknas G F (vilket uttalas G boll F ). Alltså har vi definitionsmässigt att G F(x) = G(F(x)). Observera att notationen G F läses från höger till vänster, d.v.s först appliceras F, därefter G ( F följt av G ). Ordningen är viktig; i allmänhet är nämligen F G G F. Om både F och G är linjära, så visar sig G F också vara linjär. Alltså kan G F representeras av en matris. Antag att matriserna A, B och C representerar F, G respektive G F. Då motsvaras y = F(x) och z = G(y) av matrisekvationerna Y = AX respektive Z = BY, medan z = G(F(x)) = G F(x) motsvaras av Z = CX. Av Z = BY = B(AX) = (BA)X följer att C = BA. 8 mars (32)

27 Vi har bevisat följande sats: Sats Låt F och G vara linjära avbildningar av rummet, och antag att de i någon bas representeras av matriserna A respektive B. I samma bas representeras då sammansättningen G F av matrisen BA. Exempel Låt S 1 vara speglingen i planet Π 1 : x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0, medan S 2 är speglingen i planet Π 2 : 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 0. Vi ska bestämma matriserna för de sammansatta avbildningarna S 1 S 2 respektive S 2 S 1. För en spegling i ett plan gäller att en vektor x avbildas på x 2λn, där n är en normalvektor till planet, och där λ = (x n)/ n 2 (se föregående föreläsning). Detta ger alltså S 1 (x) = x 2λ 1 n 1 och S 2 (x) = x 2λ 2 n 2, där n 1 = (1, 2, 3) och n 2 = (3, 2, 1) är normalvektorer till respektive plan, och där λ 1 = (x n 1 )/ n 1 2 och λ 2 = (x n 2 )/ n mars (32)

28 Det visar sig (övning!) att S 1 och S 2 representeras av A 1 = respektive A 2 = Detta ger att S 1 S 2 representeras av A 1 A 2 = , medan S 2 S 1 representeras av A 2 A 1 = Lägg märke till A 1 A 2 A 2 A 1, så S 1 S 2 och S 2 S 1 är inte samma avbildning. (Man kan visa att S 1 S 2 och S 2 S 1 geometriskt kan tolkas som rotationer runt den räta linjen (x, y, z) = (t, 2t, t) med samma vinkel (cos 1 (1/49) 89 ), men åt olika håll (den ena medurs, den andra moturs), sett från spetsen av linjens riktningsvektor (1, 2, 1).) 8 mars (32)

29 Exempel Låt S och P vara en spegling respektive en ortogonal projektion i ett och samma plan. Hur kan vi tolka de sammansatta avbildningarna (a) P P (vi projicerar två gånger efter varandra)? (b) S S (vi speglar två gånger efter varandra)? (c) S P (först projicerar vi, sedan speglar vi)? (d) P S (först speglar vi, sedan projicerar vi)? Lösning (a) Varje vektor som redan ligger i planet projiceras på sig själv. Därför blir P P(x) = P(P(x)) = P(x), d.v.s. P P = P. Om matrisen A representerar P, så betyder detta att A 2 = A. (b) När vi speglar två gånger efter varandra kommer en vektor x att avbildas på spegelbilden av spegelbilden av x, d.v.s. på sig själv: S S(x) = x. Om B är matrisen för S, så blir därmed B 2 = E enhetsmatrisen. 8 mars (32)

30 (c) Alla vektorer som ligger i planet är lika med sin egen spegelbild. Detta ger att S P(x) = S(P(x)) = P(x), d.v.s. S P = P. För motsvarande matriser gäller därmed BA = A. (d) En vektor har samma projektion på planet, som dess spegelbild har, se figuren. x P (S(x)) = P (x) S(x) Alltså är även P S = P, så för motsvarande matriser gäller alltså AB = A. Sammanfattningsvis: Om P är en ortogonal projektion på ett plan och S en spegling i samma plan, så gäller P S = S P = P P = P och S S = I, där I betecknar identitetsavbildningen, som ju är den avbildning som avbildar varje vektor på sig själv; I(x) = x. 8 mars (32)

31 Exempel I ett tidigare exempel från denna föreläsning konstaterade vi att A = är matrisen (i den positivt orienterade ON-basen (e 1, e 2, e 3 )) för den linjära avbildning R som roterar varje vektor runt e 3 med 90 moturs, sett från spetsen av e 3. Om vi multiplicerar A med sig själv, får vi matrisen A 2 = Detta är matrisen för R R; rotation ett halvt varv runt e 3. 8 mars (32)

32 Avbildningen R R R betyder tre på varandra följande rotationer om 90 vardera, moturs runt e 3, d.v.s. sammanlagt en rotation 90 medurs, sett från spetsen av e 3. Dess matris är A 3 = Avbildningen R R R R betyder rotation ett helt varv. Alltså är R R R R = I identitetsavbildningen och följaktligen A 4 = E enhetsmatrisen. 8 mars (32)

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Mer om geometriska transformationer

Mer om geometriska transformationer CTH/GU LABORATION 4 TMV141-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om geometriska transformationer Vi fortsätter med geometriska transformationer och ser på ortogonal (vinkelrät) projektion samt spegling.

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha ANALYTISK GEOMETRI Xantcha 4 april 06 Innehåll Linjer och plan Linjens och planets ekvationer Linjens ekvation Planets ekvation Incidens 4 Incidens mellan plan 4 Incidens mellan linje och plan 5 3 Incidens

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 JOHAN ASPLUND Innehåll. Kvadratiska former. Allmänna linjära avbildningar Matriser för allmänna linjära avbildningar. Uppgifter Extrauppgift från tenta Extrauppgift från tenta

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra

MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 1 MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn Area Volym Determinant Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Vi kommer att ha lite annanlunda framställning av teorin för

Läs mer

Rotation Rotation 187

Rotation Rotation 187 6. Rotation 87 6.. Rotation Vi har tidigare i Exempel 6.5 isat hur man roterar rummets ektorer kring en axel parallell med en a basektorerna. Nu är i redo att besara frågan om hur man rider kring en godtycklig

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Här följer kommentarer om sånt i boken som kan behövas förtydligas samt anvisningar om vad som ska läsas, eller snarare vilka delar

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5 Lördagen 6 Nu vill vi fokusera på linjära avbildningar från vektorrum W Om T : R n R n är en linjär avbildning, och W R n ett vektorrum, då har vi en inducerad avbildning T W : W R m Och denna avbildning

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer