4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade och positivt orienterade om inget annat anges Lös för varje värde på a ekvationssystemet 4x az 0 2ax + y 0 ax + y + z 0 2 a Bestäm en ekvation på affin form för planet π som innehåller punkterna P : ( 0 3 P 2 : (2 och P 3 : ( 2 (03 b Bestäm en ekvation för linjen l som utgör skärningen mellan planet π i a och planet med ekvation 2x + y z 2 0 (02 c Bestäm kortaste avståndet mellan punkten P i a och linjen l i b (05 3 a Låt A vara en kvadratisk matris Definiera vad som menas med att A är inverterbar (02 b Visa att (AB B A då A och B är inverterbara (02 c Lös matrisekvationen AX + 3X B då (06 ( ( A och B a Endast svar krävs på denna deluppgift Låt A vara en 3 3-matris och Y ( 2 3 Ange alla implikationer/ekvivalenser mellan följande påståenden: (04 : deta 0 2: deta 0 3: AX 0 har entydig lösning 4: AX Y saknar lösning b Låt e e 2 vara en ortonormerad bas i planet Skapa en ny (ej nödvändigtvis ortonormerad bas e e 2 sådan att e är vinkelrät mot vektorn ( 2 och sådan att den vektor som har koordinaterna (3 med avseende på basen e e 2 får koordinaterna ( i basen e e 2 (06 Var god vänd!

2 5 a Den linjära avbildningen F avbildar vektorerna ( 2 och (3 4 på (3 4 respektive (5 6 Bestäm avbildningsmatrisen för F (05 b Avbildningen G avbildar vektorerna ( 2 och ( på (3 4 respektive (5 6 Kan G vara linjär? (02 c Låt avbildningsmatrisen A svara mot den linjära avbildning som ortogonalt projicerar rummets vektorer på planet 206 x + 3 y + 4 z 0 Bestäm rangen och determinanten av A Avgör även om A är inverterbar (03 6 a Låt A vara en kvadratisk matris Definiera begreppen egenvärde och egenvektor för A (02 b För matriserna 3 2 d A 3 2 S c och D 0 e 0 2 a b f gäller det att D S AS Bestäm konstanterna a b c d e och f (08 LYCKA TILL!

3 TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA Vi börjar med att undersöka när determinanten för koefficientmatrisen är noll: 4 0 a det A 2a 0 a 4 a2 0 a ±2 För a ±2 har systemet entydig lösning och eftersom systemet är homogent är denna (x y z (0 0 0 Om a ±2 så finns oändligt många lösningar För a 2 fås: 4x 2z 0 4x + y 0 2x + y + z 0 2x + y + z 0 4x + y 0 8x + 2y 0 y 4t z 2t För a 2 fås: 4x + 2z 0 4x + y 0 2x + y + z 0 2x + y + z 0 4x + y 0 8x 2y 0 y 4t z 2t Svar: Fallet a 2 ger (x y z t( 4 2 t R och a 2 ger (x y z t( 4 2 t R Då a ±2 blir lösningen (x y z ( a Vi beräknar P P 2 planet ges av ( 2 och P P 3 ( En normalvektor till P P 2 P P 3 ( 2 ( ( ( 0 Vi väljer ( 0 som normalvektor vilket ger ekvationen x + y + d 0 för π Talet d bestäms genom att stoppa in en av punkterna i ekvationen tex P : d 0 d Vi får alltså π : x + y 0 b Vi löser systemet { 2x + y z 2 0 x + y 0 y t z t En ekvation för linjen blir alltså (x y z (0 + t( t R c Vi väljer punkten P 0 : (0 på linjen och beräknar P 0 P ( 4 Därefter projicerar vi P 0 P på linjens riktningsvektor v ( : u P 0 P v v 2 n ( 4 ( ( 6 ( 2( ( 2 3

4 Med en uppdelning P 0 P u + u 2 blir nu u 2 det vinkelräta avståndet från P till linjen Eftersom u 2 P 0 P u ( 4 (2 2 2 ( 2 blir avståndet vi söker ( 2 6 Svar: a π : x + y 0 b l : (x y z (0 + t( t R c 6 3 a Se läroboken sidan 29 b Se läroboken sidan 30 3 c Vi börjar med att lösa ut X: AX + 3X B (A + 3IX B X (A + 3I B ( 3 2 under förutsättning att A + 3I är inverterbar Inversen av A + 3I 2 3 beräknas till (A + 3I ( så vi får X (A + 3I B 5 Svar: c X 5 ( ( 3 2 ( ( a Att 2 är ekvivalent med 3 följer direkt av Huvudsatsen (eller Sats 0 på sidan 24 Om AX Y saknar lösning så måste det A 0 men omvänt om det A 0 så kan AX Y ha oändligt många lösningar; här gäller det alltså endast att 4 implicerar Inga andra implikationer finns b Vi väljer e vilkelrät mot ( 2 exempelvis e ( 2 (beräknat i basen e e 2 blir ju ( 2 ( 2 0 Enligt det givna koordinatsambandet skall det gälla att eller med e 2 (x y 3e e 2 e + e 2 (3 ( 2 + (x y (x y (2 3 Detta blir alltså e 2 för vårt val av e Svar: a b Exempelvis e ( 2 och e 2 (2 3 5 a Låt A vara avbildningsmatrisen för F Då gäller det att ( ( ( ( A och A Med tanke på hur matrismultiplikation fungerar så kan vi nu skriva ( 3 A dvs A ( 3

5 Inversen beräknas till ( 3 och vi får slutligen A ( 3 ( ( ( 2 b Enligt definitionen av linjäritet skall det exempelvis gälla att G(2u 2G(u för varje vektor u Men i vårt fall med u ( 2 får vi G(2( 2 G(( (5 6 2G(( 2 2(3 4 (6 8 Vi ser alltså att G ej kan vara linjär c Eftersom rangen är dimensionen av värdemängden i vårt fall ett plan blir rang A 2 En projektion är inte bijektiv så A kan inte vara inverterbar Då vet vi också att det A 0 Svar: a ( 2 6 a Se läroboken sidan 238 b Nej c rang A 2 det A 0 ej inverterbar b Eftersom kolonnerna i S är egenvektorer kopplade till egenvärdena som står som diagonalelement i motsvarande kolonn i D gäller det att d d A c 4 c A e A f vilket uträknat blir systemen 3 + c 4 + 3c 4c 2 + ac 0 4 e 4 e 2 a + b e 3d + 5 df d f 2d + a + 2b 2f I det första systemet ser vi direkt att c och löser sedan ut a 2 I det andra ser vi e 4 och löser ut b 0 I det sista systemet är den andra och den tredje ekvationen ekvivalenta Sätter vi in f d i den första ekvationen får vi andragradsekvationen d 2 4d 5 0 vilken har lösningarna d 5 och d En kontroll (exempelvis med hjälp av determinanten visar att S inte är inverterbar för d 5 (då c men med d fungerar det Detta ger slutligen f 2 Svar: a 2 b 0 c d e 4 och f 2