Vektorgeometri för gymnasister

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Vektorgeometri för gymnasister"

Transkript

1 Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV

2 Innehåll Nollrum och värderum Dimensionssatsen Matrisrepresentation i olika baser 2(30)

3 Nollrum och värderum Definition (Värderum) För en linjär avbildning F av rummet (planet), så kallas mängden av alla möjliga bilder F(u) för värderummet till F och betecknas V (F). Exempel Förra föreläsningen studerade vi fyra exempel på linjära avbildningar: F 1 : Spegling i planet x 1 + 2x 2 2x 3 = 0 F 2 : Ortogonal projektion på planet 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 F 3 : Ortogonal projektion på den räta linjen (x 1, x 2, x 3 ) = t(1, 1, 1) F 4 : Varje vektor avbildas på nollvektorn. För dessa avbildningar konstaterade vi att V (F 1 ) är hela rummet V (F 2 ) är planet 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 V (F 3 ) är den räta linjen (x 1, x 2, x 3 ) = t(1, 1, 1) V (F 4 ) = {0}. 3(30)

4 Värderummet innehåller alltså F(u) för varje tänkbar vektor u. Om (e 1, e 2, e 3 ) är en bas för rummet så gäller alltså speciellt att F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) tillhör V (F). Detta innebär i sin tur att kolonnvektorerna i en avbildningsmatris till F tillhör F:s värderum, för vi har ju följande sats: Sats För varje linjär avbildning F av rummet finns det i varje given bas en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att y = F(x) på matrisform ges av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna y respektive x. Kolonnerna i A utgörs av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) i basen (e 1, e 2, e 3 ). 4(30)

5 Exempel Antag att den linjära avbildningen F av rummet i en given bas (e 1, e 2, e 3 ) har avbildningsmatrisen A = Då ser vi direkt att vektorerna v 1 = (4, 1, 1), v 2 = (1, 2, 3) och v 3 = (6, 3, 5) finns med i värderummet till F, ty av det sätt på vilket vi bildar A följer att v 1 = F(e 1 ), v 2 = F(e 2 ) och v 3 = F(e 3 ). Men V (F) består inte enbart av dessa tre vektorer, utan också av varje tänkbar linjärkombination av v 1, v 2 och v 3 ; t.ex. finns v = 2v 1 v 2 + 3v 3 = (25, 5, 10) med i F:s värderum, ty eftersom F är linjär så är v = 2F(e 1 ) F(e 2 ) + 3F(e 3 ) = F(2e 1 e 2 + 3e 3 ) = F(u), där u = 2e 1 e 2 + 3e 3 = (2, 1, 3). 5(30)

6 Definition (Nollrum) Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Med nollrummet till F avses mängden N(F) av alla vektorer som F avbildar på nollvektorn, d.v.s. N(F) = {x F(x) = 0}. Exempel För de fyra linjära avbildningarna F 1 : Spegling i planet x 1 + 2x 2 2x 3 = 0 F 2 : Ortogonal projektion på planet 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 F 3 : Ortogonal projektion på den räta linjen (x 1, x 2, x 3 ) = t(1, 1, 1) F 4 : Varje vektor avbildas på nollvektorn från förra föreläsningen, fann vi att N(F 1 ) = {0} N(F 2 ) är den räta linjen (x 1, x 2, x 3 ) = t(2, 3, 1) N(F 3 ) är planet x 1 x 2 + x 3 = 0 N(F 4 ) är hela rummet. 6(30)

7 Om F är en linjär avbildning, representerad av matrisen A i någon bas, så kan vi bestämma nollrummet till F genom att lösa det linjära ekvationssystemet AX = O, eftersom detta är ekvationen F(x) = 0 skriven på matrisform. Exempel Vi bestämmer N(F) för den linjära avbildning F från ett tidigare exempel, som hade avbildningsmatrisen A = Vi får efter litet räkningar 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 0 AX = O x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 x 1 3x 2 5x 3 = 0 x 1 = t x 2 = 2t x 3 = t, så nollrummet består av alla vektorer på formen tv, där v = (1, 2, 1). 7(30)

8 Dimensionssatsen Såväl nollrum som värderum till en linjär avbildning av rummet kan geometriskt tolkas antingen som hela rummet, ett plan genom origo, en rät linje genom origo, eller enbart av nollvektorn. Om X betecknar antingen hela rummet, ett plan genom origo, en rät linje genom origo eller mängden av enbart nollvektorn, så definierade vi förra gången dimensionen av X så att dim X = 3 om X är hela rummet, dim X = 2 om X är ett plan genom origo, dim X = 1 om X är en rät linje genom origo, dim X = 0 om X = {0}. Med hjälp av begreppet dimension kan man formulera följande samband mellan nollrum och värderum till en linjär avbildning av rummet: Sats (Dimensionssatsen) Om F är en linjär avbildning av rummet, så är dim N(F) + dim V (F) = 3. 8(30)

9 Exempel Vi konstaterade i ett tidigare exempel, att nollrummet till den linjära avbildning F av rummet, som har A = som avbildningsmatris, ges av alla vektorer på formen tv, där v = (1, 2, 1). Geometriskt kan vi tolka detta som en rät linje genom origo (med v som riktningsvektor). Alltså är dim N(F) = 1. Enligt dimensionssatsen är därmed dim V (F) = 2, d.v.s. V (F) är ett plan genom origo. Kan vi ta reda på vilket plan det är frågan om? För att kunna härleda en ekvation för detta plan, behöver känna till två icke-parallella vektorer som spänner upp planet. Eftersom planet är just värderummet till F, kan vi leta efter dessa två vektorer i V (F). Vi vet att åtminstone F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) tillhör V (F) (där (e 1, e 2, e 3 ) är den aktuella basen), och koordinaterna för dessa vektorer hittar vi som kolonner hos A. Alltså skulle vi kunna välja v 1 = (4, 1, 1) och v 2 = (1, 2, 3) (de två första kolonnerna hos A), ty dessa två vektorer är icke-parallella. 9(30)

10 Vi bestämmer nu en ekvation (på normalform) för det plan går genom origo och som spänns upp av v 1 = (4, 1, 1) och v 2 = (1, 2, 3). Ett sätt att göra detta på är att först bestämma normalvektorn (vi förutsätter ON-bas). Som normalvektor kan vi välja vektorprodukten ( ) 1 1 n = v 1 v 2 = 2 3, , = (1, 13, 9). Eftersom vi vet att planet ska gå genom origo, kan vi därmed konstatera att V (F) alltså beskrivs av planet x x 2 + 9x 3 = 0. 10(30)

11 Om en linjär avbildning F av rummet har avbildningsmatrisen A i en given bas (e 1, e 2, e 3 ), så kan vi använda följande strategi för att bestämma noll- och värderummet till F: Bestäm N(F) genom att lösa ekvationen AX = O. Tolka lösningen geometriskt. Bestäm dim N(F). Beräkna dim V (F) med hjälp av dimensionssatsen. Välj lämpliga kolonner i avbildningsmatrisen A för att bestämma (en ekvation för) V (F). 11(30)

12 Exempel Vi ska bestämma noll- och värderum till de linjära avbildningarna F 1 och F 2 som i en och samma bas har avbildningsmatriserna A 1 = respektive A 2 = Vi tar oss först an F 1, och bestämmer N(F 1 ) genom att lösa 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 0 A 1 X = O x 1 2x 2 + x 3 = 0 5x x 2 5x 3 = 0. Vi ser att samtliga ekvationer är ekvivalenta med x 1 + 2x 2 x 3 = 0, vilket är ekvationen för ett plan. Detta plan utgör alltså nollrummet, så dim N(F 1 ) = 2. 12(30)

13 Av dimensionssatsen följer nu att dim V (F 1 ) = 3 dim N(F 1 ) = 3 2 = 1, d.v.s. vi kan tolka V (F 1 ) geometriskt som en rät linje genom origo. För att kunna ange ekvationen för denna linje (på parameterform) behöver vi en riktningsvektor, och denna måste tillhöra V (F 1 ). Eftersom kolonnerna i avbildningsmatrisen A 1 = alla ligger i V (F 1 ), duger vilken som helst av dem som riktningsvektor, t.ex. den första. Alltså ges V (F 1 ) av den räta linjen x 1 = 2t x 2 = t x 3 = 5t. 13(30)

14 På liknande vis hanteras F 2. Först bestämmer vi N(F 2 ) genom att lösa 3x 1 6x 2 + 2x 3 = 0 x 1 = 2t A 2 X = O x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 = t 3x 1 + 6x 2 2x 3 = 0 x 3 = 0. Alltså utgörs N(F 2 ) av den räta linje som går genom origo och har v = (2, 1, 0) som riktningsvektor. Eftersom dim N(F 2 ) = 1, så ger dimensionssatsen att dim V (F 2 ) = 2, d.v.s. V (F 2 ) är ett plan genom origo. Vi behöver två icke-parallella vektorer i V (F 2 ) för att spänna upp detta plan, och kan hämta dessa från kolonnerna hos avbildningsmatrisen A 2 = Den första och den tredje kolonnen är inte parallella, så planet spänns upp av v 1 = (3, 1, 3) och v 3 = (2, 1, 2). Eftersom vektorprodukten v 1 v 3 = (1, 0, 1), är normalvektor till planet, ges dess ekvation av x 1 + x 3 = 0. 14(30)

15 Vi tar ett exempel till... Exempel Bestäm nollrum och värderum till den linjära avbildning F som har A = som avbildningsmatris. Lösning. Vi bestämmer först N(F): x 1 + 2x 2 3x 3 = 0 AX = O 2x 1 + x 2 = 0 3x 1 7x 2 + x 3 = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 0. Vi ser att N(F) = {0}, så dim N(F) = 0. Dimensionssatsen ger dim V (F) = 3, så V (F) är hela rummet. Detta innebär att F som avbildning är bijektiv, d.v.s. den har en invers F 1 (se föregående föreläsning). 15(30)

16 Matrisrepresentation i olika baser Vi påminner om följande sats. Sats För varje linjär avbildning F av rummet finns det i varje given bas en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att y = F(x) på matrisform ges av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna y respektive x. Kolonnerna i A utgörs av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) i basen (e 1, e 2, e 3 ). Låt (f 1, f 2, f 3 ) vara en annan bas. För att bilda avbildningsmatrisen B för F i denna bas, ska vi alltså som kolonner i B välja koordinaterna för F(f 1 ), F(f 2 ) och F(f 3 ) i basen (f 1, f 2, f 3 ). Kommer B att se likadan ut som A? 16(30)

17 Exempel Låt F vara den linjära avbildning som projicerar varje vektor i rummet ortogonalt på planet 3x 1 2x 2 + 4x 3 = 0. n x u = λn F (x) Bilden av en godtycklig vektor x genom F kan beräknas med hjälp av formeln F(x) = x λn, där n = (3, 2, 4) är en normalvektor till planet och där λ = (x n)/ n 2, enligt projektionsformeln. Med hjälp av denna formel får vi att F(e 1 ) = ( 20 29, 6 29, ), F(e 2 ) = ( 6 29, 25 26, 8 29 ) och F(e 3) = ( 12 29, 8 29, ), så i basen (e 1, e 2, e 3 ) har F den föga tjusiga avbildningsmatrisen A = (30)

18 Med hjälp av matrisen A kan vi nu beräkna t.ex. F(f 1 ), F(f 2 ) och F(f 3 ), där f 1 = (2, 3, 0), f 2 = (3, 2, 4) och f 3 = (4, 0, 3). Vi får F(f 1 ) = f 1 ty = På samma sätt fås F(f 2 ) = 0, i och med att = och F(f 3 ) = f 3, eftersom = (30)

19 Vi sammanfattar: F(f 1 ) = f 1 F(f 2 ) = 0 F(f 3 ) = f 3. Nu visar sig (f 1, f 2, f 3 ) vara en bas för rummet, ty för den matris T som har f 1, f 2 och f 3 som sina kolonner gäller att dett = = 9 0, vilket visar att f 1, f 2 och f 3 är linjärt oberoende (volymen av den parallellepiped som dessa vektorer spänner upp är skild från noll), och därmed utgör de tillsammans en bas. Vi ska nu bestämma hur avbildningsmatrisen för F ser ut i denna bas. 19(30)

20 Vi påminner därför än en gång om följande sats. Sats För varje linjär avbildning F av rummet finns det i varje given bas en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att y = F(x) på matrisform ges av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna y respektive x. Kolonnerna i A utgörs av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) i basen (e 1, e 2, e 3 ). I basen (f 1, f 2, f 3 ) ges alltså avbildningsmatrisen för F av den matris, vars kolonner ges av koordinaterna för F(f 1 ), F(f 2 ) och F(f 3 ) i basen (f 1, f 2, f 3 ). Eftersom F(f 1 ) = f 1, F(f 2 ) = 0 och F(f 3 ) = f 3, så får alltså matrisen för F i basen (f 1, f 2, f 3 ) det betydligt enklare utseendet (jämfört med A): B = Basbytet (e 1, e 2, e 3 ) (f 1, f 2, f 3 ) ger alltså en matris för F med snällare utseende. En naturlig fråga i sammanhanget: Vad finns det för samband mellan A (matrisen för F i basen (e 1, e 2, e 3 )) och B (matrisen för F i basen (f 1, f 2, f 3 ))? 20(30)

21 För att härleda ett sådant samband, låter vi F vara en linjär avbildning som i basen e = (e 1, e 2, e 3 ) har avbildningsmatrisen A. Antag att y = F(x). Då har vi på matrisform en motsvarande ekvation Y e = AX e. (1) Här Y e och X e de kolonnmatriser som svarar mot vektorerna y respektive x i basen e. Nu gör vi ett basbyte! Låt f = (f 1, f 2, f 3 ) vara den nya basen. I basen f får vektorerna y och x nya koordinater, och kommer alltså representeras av andra kolonnmatriser; vi kallar dessa för Y f respektive X f. Om B betecknar avbildningsmatrisen för F i basen f, så blir ekvationen y = F(x) på matrisform istället Y f = BX f. (2) Vi söker ett samband mellan A och B. Hur var det nu med basbyten? Jo, ett basbyte kunde ju beskrivas med hjälp av en transformationsmatris T. Sambanden mellan koordinaterna för y och x i de olika baserna kan på matrisform skrivas Y e = TY f respektive X e = TX f. (3) 21(30)

22 Enligt ekvationerna (3) är alltså Y e = TY f och X e = TX f. I ekvation (1), som säger att Y e = AX e, kan vi därmed ersätta Y e med TY f, och X e med TX f. Vi får då TY f = A(TX f ). I egenskap av att vara transformationsmatris är T inverterbar. Vi multiplicerar båda leden i ekvationen ovan med T 1 från vänster. Då blir resultatet Y f = T 1 A(TX f ), vilket vi också kan skriva som Y f = (T 1 AT)X f. En jämförelse med ekvation (2), enligt vilken Y f = BX f, ger nu att sambandet mellan B och A kan skrivas B = T 1 AT. 22(30)

23 Sats Låt F vara en linjär avbildning av rummet. Antag att F i baserna e = (e 1, e 2, e 3 ) och f = (f 1, f 2, f 3 ) har avbildningsmatriserna A respektive B. Om T är transformationsmatrisen för basbytet från bas e till bas f, så är B = T 1 AT. Exempel I det tidigare exemplet med den ortogonala projektionen på planet 3x 1 2x 2 + 4x 3 = 0 så hade F avbildningsmatrisen A = i den bas (e 1, e 2, e 3 ) som var given från början. 23(30)

24 I basen (f 1, f 2, f 3 ), där f 1 = (2, 3, 0), f 2 = (3, 2, 4) och f 3 = (4, 0, 3), kom vi fram till att F i stället hade avbildningsmatrisen B = Transformationsmatrisen vid basbytet ges här av T = (Kom ihåg att T:s kolonner = koordinaterna för f 1, f 2, f 3 ). Enligt satsen ovan ska alltså sambandet B = T 1 AT (4) gälla. Kontrollera på egen hand att detta verkligen stämmer! Tips: För att slippa beräkna T 1 kan du istället kontrollera att TB = AT, vilket är samma sak som (4). 24(30)

25 Exempel För att bestämma avbildningsmatrisen A för den linjära avbildning S som speglar varje vektor i planet x 1 + x 2 + 2x 3 = 0, skulle vi kunna göra som tidigare, d.v.s. beräkna S(e 1 ), S(e 2 ) och S(e 3 ), där (e 1, e 2, e 3 ) är den från början givna basen, och låta koordinaterna för dessa vektorer vara kolonnerna i A. Vi ska dock använda föregående sats till att plocka fram A på ett alternativt sätt: 1. Låt (f 1, f 2, f 3 ) vara en annan bas. 2. Bestäm avbildningsmatrisen B för S i denna bas. 3. Om T är transformationsmatrisen för ovanstående basbyte, så gäller då sambandet B = T 1 AT. Om vi multiplicerar denna likhet från vänster med T och från höger med T 1 får vi A = TBT 1, och har därmed bestämt den matris A vi ville ha från början. Metoden ovan kan tyckas vara omständlig: Varför komplicera räkningarna med ett basbyte; är det inte jobbigt nog ändå? Poängen är att vi, genom ett fiffigt val av basen (f 1, f 2, f 3 ), kan bestämma B i princip utan någon ansträngning alls. 25(30)

26 Hur ser då en fiffig bas ut i det här fallet? Eftersom vi vet att det rör sig om en spegling i ett plan genom origo, kan vi se till att välja två av basvektorerna f 1 och f 2 så att de ligger i detta plan (men inte är parallella med varandra). De blir då lika med sina egna spegelbilder, d.v.s. S(f 1 ) = f 1 och S(f 2 ) = f 2. Den tredje basvektorn f 3 väljer vi i form av en normalvektor till planet; då blir S(f 3 ) = f 3. f 3 S(f 2 ) = f 2 S(f 1 ) = f 1 S(f 3 ) = f 3 I en sådan här bas kommer avbildningsmatrisen för S att få det enkla utseendet B = (30)

27 En bas som uppfyller ovanstående krav är (f 1, f 2, f 3 ), där f 1 = (1, 1, 1) f 2 = (2, 0, 1) f 3 = (1, 1, 2). Här är nämligen f 1 och f 2 inte parallella, och de ligger båda i planet x 1 + x 2 + 2x 3 = 0, ty deras koordinater uppfyller planets ekvation. Vidare är f 3 normalvektor till planet. Matrisen för S i den ursprungliga basen kommer därmed att ges av A = TBT 1, där B är som ovan och T är transformationsmatrisen, som på grund av ovanstående basbyte har utseendet T = (30)

28 Med litet räkningar får man nu att T 1 = (Kommer du ihåg hur man beräknar en matrisinvers?) Detta ger att A = TBT 1 = = är avbildningsmatrisen för S i den ursprungliga basen. 28(30)

29 Vi avslutar med ett par kommentarer kring sambandet B = T 1 AT (5) mellan två avbildningsmatriser i olika baser, för en och samma linjära avbildning. Om man byter från en ON-bas till en annan så vet vi från kapitel 4 att transformationsmatrisen T då är ortogonal, d.v.s. T 1 = T T. Sambandet (5) kan alltså i detta fall skrivas B = T T AT. Om man beräknar determinanterna för två olika avbildningsmatriser för en och samma avbildning, så är de lika, ty räknelagarna för determinanter ger tillsammans med (5) att detb = det(t 1 AT) = dett 1 deta dett = 1 deta dett = deta. dett 29(30)

30 Exempel Avbildningsmatrisen för speglingen S i planet x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 (se det tidigare exemplet) gavs av A = Determinanten av denna matris måste vara densamma som determinanten av den matris B = vi plockade fram i den fiffiga basen (f 1, f 2, f 3 ). Det är att lätt se att detb = 1 (determinanten av en diagonalmatris är lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen), så därför kan vi dra slutsatsen att även deta = 1, utan att behöva beräkna determinanten! Detta för att vi vet att A och B är avbildningsmatriser för en och samma linjära avbildning, fast i olika baser. 30(30)

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 16.33. Låt F : V W vara en linjär avbildning. 1. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V, vilkas bild

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara

Läs mer

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v.

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. Kapitel 1 Vektorer Vektorbegreppet 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. 1.2 Rita ut vektorerna u=(3,1) och v=( 2,2) i samma koordinatsystem. Illustrera additionerna/subtraktionerna

Läs mer

Linjär Algebra F14 Determinanter

Linjär Algebra F14 Determinanter Determinanter Basbyte Linjär Algebra F14 Determinanter Pelle 2016-02-29 Determinanter 2 2-matriser ( ) a11 a A = 12 = (A a 21 a 1 A 2 ) 22 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = det(a 1 A 2 ) = a 11 a 22 a 12 a

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär Linjära avbildningar II Förra gången visade vi att givet en bas i rummet, e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär avbildning F : R 3 R 3 representeras av en matris: Om vi betecknar en vektor u:s

Läs mer

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

A = x

A = x Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2017-08-24 kl 14 19 1. Vi får ū = 1 2 + 1 2 + 0 2 = 2, v = 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 och ū v = 1 1+1 2+0 2 = 3. Om φ är vinkeln mellan ū och v

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om

Läs mer

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym

Läs mer

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) Tentamen i ETE Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Provräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016.

Provräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016. LINK OPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Provräkning, Linjär Algebra, vt 6. Lämna in lösningar för rättning senast 8. onsdagen den 7 april 6. Lämnas in antigen i mitt fack på MaI eller direkt

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

= ( 1) ( 1) = 4 0.

= ( 1) ( 1) = 4 0. MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

Facit/lösningsförslag

Facit/lösningsförslag Facit/lösningsförslag 06-08- Låt l vara linjen med parameterform x, y, z 0 s, mellan planet x y z och planet z 0 och låt l vara skärningslinjen a) Skriv l på parameterform b) Beräkna avståndet mellan l

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , 8 13. Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN (p) (p) (p) Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 8 4, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet 1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016 Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1

Läs mer

n = v 1 v 2 = (4, 4, 2). 4 ( 1) + 4 ( 1) 2 ( 1) + d = 0 d = t = 4 + 2s 5 t = 6 + 4s 1 + t = 4 s

n = v 1 v 2 = (4, 4, 2). 4 ( 1) + 4 ( 1) 2 ( 1) + d = 0 d = t = 4 + 2s 5 t = 6 + 4s 1 + t = 4 s LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 7-8-4 kl 4 9 a) Triangelns sidor ges av vektorerna v OP OP (,, ) och v OP 3 OP (,, 4) som även blir riktningsvektorer till planet En normal

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN 9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar

Läs mer

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas

Läs mer

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.

Läs mer

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess 29 november, 2016, Föreläsning 21 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess Minsta-kvadratmetoden - exempel 1. Uppgift. Tentamen 19/1-15, uppgift

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2

Läs mer