Avsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0.
|
|
- Filip Danielsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet dvs om kolumnvektorerna har längd a i a i a i för i n och kolumnvektorerna är sinsemellan ortogonala vinkelräta a i a j för i j Dessa villkor kan sammanfattas med följande matrismultiplikationsvillkor a a A t A a a a n a n a a a a a a n a a a a a a n E a n a a n a a n a n Vi undersöker alltså om matrisen uppfller A t A E Notera att matrisen A t A alltid blir smmetrisk a i a j a j a i så vi behöver bara räkna ut ena triangelhalvan av matrisprodukten b Vi får E Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris d Vi får Alltså är matrisen en ortogonal matris Wc Bestäm de ingående parametrarna så att matrisen blir ortogonal Villkoret för att en matris A är ortogonal är A t A E I vårt fall blir produkten i vänsterledet Denna produkt är lika med enhetsmatrisen om ±
2 W Beräkna inverserna till matriserna a d Wc Bestäm parametrarna så att matrisen blir ortogonal med determinant + I uppgift c visade vi att matrisen är ortogonal om + eller a Eftersom matrisen är har vi en minnesregel för inversen: delat med determinanten framför matrisen diagonalelementen bter plats och de andra två elementen bter tecken Alltså d I uppgift d visade vi att matrisen är ortogonal För en ortogonal matris A gäller att A t A AA t E så inversmatrisen till A är A t För vår matris gäller alltså För dessa två fall blir determinanten + : : Inga parametervärden alltså determinant + Anm Determinant + svarar mot att kolumnvektorerna bildar en höhänt ON-bas medan determinant svarar mot en vänsterhänt ON-bas W7 Bestäm alla egenvärden och motsvarande normerade egenvektorer till följande matriser b d Det egenrum till matrisen A som svarar mot egenvärdet λ består av alla vektorer som uppfller A λ
3 Egenvärdena till matrisen A får vi som rötter till sekularekvationen deta λe Egenrummet består alltså av linjen med riktning som går genom origo Lösningsgången blir alltså: Bestäm egenvärdena till A med sekularekvationen För varje egenvärde λ bestämmer vi motsvarande egenrum genom att lösa ekvationen A λ Vi löser nu deluppgifterna b Med A blir sekularekvationen deta λe λ λ λ λ λ + λ + λ eller λ Egenvärdena är alltså λ och λ Vi bestämmer nu egenrummen som hör till respektive egenvärde λ : Egenrummet består av alla vektorer som uppfller ekvationen A E Skriver vi detta ekvationssstem med ett räkneschema fås Gausseliminering Lösningen är t t t t parameter λ : Denna linje egenrummet bevaras under transformationen som har matris A Alla vektorer i egenrummet kallas för egenvektorer och det finns två egenvektorer med längd ± ± + ± Vi får egenrummet som alla vektorer som uppfller ekvationen A E Vi gausseliminerar Lösningen är parameterlinjen t t t t parameter
4 Denna linje egenrummet bevaras under transformationen som har matris A Egenrummet Normerade egenvektorer är ± ± + ± 7 7 Svaret är alltså att egenvärdena är och med motsvarande normerade egenvektorer ± respektive ± 7 7 d Sekularekvationen blir deta λe λ λ λ λ λ λ + λ eller λ De normerade egenvektorerna är ± ± + ± λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Vi bestämmer nu egenrummen som svarar mot egenvärdena λ : Egenrummet ges av alla lösningar till ekvationssstemet A E Vi gausseliminerar dvs egenvektorer är t t t t parameter Normerade egenvektorer är ± ± + ± och lösningen är t t t t parameter
5 W8 Bestäm alla egenvärden och motsvarande normerade egenvektorer till följande matriser b d b Egenvärdena är rötter till sekularekvationen λ deta λe λ λ { Kofaktorutveckling längs rad } λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ eller λ Till varje egenvärde finns ett egenrum λ : λ Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering λ : λ : Egenvektorerna är därmed t t t t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t - - t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering
6 Egenvektorerna är därför t t t De normerade egenvektorerna är t parameter λ : ± ± + + ± λ : ± ± + + ± 9 λ : ± ± + + ± de enda möjliga heltalsrötterna är ± ± ±9 ±7 Av dessa visar sig och + vara rötter Enligt faktorsatsen kan sekularekvationen då skrivas λ λ 9λ + 7 λ + λ λ A där A är den tredje roten Stoppar vi in λ i sambandet fås 7 A A Egenvärdena är alltså λ och λ dubbelrot Vi bestämmer nu egenvektorerna till respektive egenvärde λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering d Egenvärdena ges av sekularekvationen λ deta λe λ λ λ + λ + 9λ 7 Förslagsvis löser vi ekvationen genom att gissa heltalsrötter Eftersom polnomekvationen har heltalskoefficienter och den ledande termen har koefficient så måste eventuella heltalsrötter dela konstanttermen 7 dvs Egenvektorerna är därför t t t t t parameter
7 λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering - λ : ± ± ± + + ± ± + + ± Egenvektorerna är därför s t s s + t t s t parametrar W9 c Bevisa att om λ är ett egenvärde till matrisen A så är λ + µ ett egenvärde till matrisen A + µe där E är enhetsmatrisen av samma tp som A d Bevisa att om λ är ett egenvärde till matrisen A så är λ ett egenvärde till matrisen A Egenrummet är alltså ett plan som spänns upp av och c Eftersom λ är ett egenvärde till matrisen A så finns en vektor så att Egenrum A λ Då gäller att matrisen A + µe uppfller A + µe A + µ E λ + µ λ + µ Alltså har A + µ E egenvärdet λ + µ med samma egenvektor d Om egenvärdet λ har egenvektorn dvs A λ Normerade egenvektorer är λ : ± ± + + ± då är A AA Aλ λ A λλ λ vilket visar att A har egenvärdet λ
8 W Bestäm egenvärdena och två ortogonala och normerade egenvektorer till följande matriser b 8 d 7 Vi bestämmer egenvärden och egenvektorer på det vanliga sättet b Egenvärdena ges av sekularekvationen deta λe λ λ λ λ λ + λ λ eller λ Egenvärdena är alltså λ och λ Vi bestämmer nu motsvarande egenvektorer λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t parameter Eftersom matrisen är smmetrisk spektralsatsen att egenrummen är ortogonala så för att bestämma två ortogonala och normerade egenvektorer räcker det att vi väljer en normerad vektor ur varje egenrum och d Sekularekvationen blir deta λe 8 λ 7 λ 8 λ7 λ λ λ + λ eller λ Vi har alltså egenvärdena λ och λ Vi bestämmer motsvarande egenvektorer λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering λ : Egenvektorerna är därför t t t t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausselimination Egenvektorerna är därför t t t parameter t
9 λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering - W Bestäm egenvärdena och tre parvis ortogonala och normerade egenvektorer till följande matriser b d Egenvektorerna är alltså t t t t parameter Vi har även i detta fall en smmetrisk matris så spektralsatsen att egenvektorer från olika egenrum är ortogonala Vi behöver alltså bara välja en normerad egenvektor ur respektive rum så är de ortogonala och b Egenvärdena ges av sekularekvationen λ deta λe λ λ λ + λ λ Gissning rötterna λ λ och λ Till varje egenvärde finns motsvarande egenrum λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t t parameter
10 λ : λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t - t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t t parameter Eftersom matrisen är smmetrisk spektralsatsen att egenrummen är ortogonala så för att bestämma tre ortogonala normerade egenvektorer räcker det att välja en normerad vektor från respektive egenrum d Vi bestämmer egenvärdena med sekularekvationen λ deta λe λ λ λ + 7λ Gissning rötterna λ och λ och enligt faktorsatsen kan polnomet då skrivas som λ + 7λ λ + λ λ A och där A är den tredje roten Stoppar vi in λ i sambandet fås A A Egenvärdena är alltså λ och λ dubbelrot Vi bestämmer nu egenvektorerna λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering 8 +
11 λ : Egenvektorerna är därför t t t t 9 - t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är s t s t s + t s t parametrar Vi ska nu välja tre ortogonala normerade egenvektorer Eftersom egenrummet som hör till λ är en-dimensionellt och egenrummet som hör till λ är två-dimensionellt väljer vi en egenvektor från första rummet och två egenvektorer från andra rummet och Att matrisen är smmetrisk garanterar att är vinkelrät mot egenrummet som och spänner upp Däremot behöver inte och som tillhör samma egenrum nödvändigtvis vara ortogonala För att få två ortogonala vektorer i egenrummet ersätter vi vektorn med dess komposant vinkelrätt mot Komposant mot Den vinkelräta komposanten blir De två vektorerna och är alltså ortogonala och spänner upp egenrummet med egenvärdet λ Vi har nu tre ortogonala egenvektorer Om vi normerar dem får vi svaret
12 Wb Bestäm en matris P sådan att P t AP blir en diagonalmatris D samt ange D då A Från uppgift b får vi att matrisen A har egenvärdena λ och λ Motsvarande ortonormerade egenvektorer är v respektive v Basbtesmatrisen blir därför P Ortogonal diagonalisering av en smmetrisk matris A är egentligen att vi uttrcker den linjära transformation som har A som matris i sin ortonormerade egenvektorbas v v basen bestående av A:s ortonormerade egenvektorer I egenvektorbasen har nämligen transformationen matrisen och diagonalmatrisen blir D D λ λ där λ och λ är A:s egenvärden och sambandet mellan transformationens två matriser A och D är Diagonaliseringen blir alltså A P DP t där P är basbtesmatrisen från egenvektorbasen till standardbasen och ges av P v v I korthet går alltså en ortogonal diagonalisering till som följer: Bestäm egenvärden λ λ och motsvarande ortonormala egenvektorer v v till matrisen A Anm Notera att egenvärdena i diagonalmatrisen är i samma ordning som motsvarande egenvektorer radas upp i P -matrisen Hade vi istället valt P dvs btt plats på egenvektorerna skulle diagonalmatrisen blivit D Bilda matrisen P v v Då är A P DP t där D λ λ
13 W Bestäm en ortogonalmatris P sådan att P t AP blir en diagonalmatris D samt ange D då A är matrisen b 7 e 8 8 Matrisen P är basbtesmatrisen från egenvektorbasen till standardbasen och ges av P v v v Diagonaliseringen av A lder alltså A P DP t dvs e Vi måste först bestämma egenvärden och egenvektorer till A Egenvärdena är rötter till sekularekvationen 7 λ deta λe λ 8 8 λ λ + 9λ + 8λ 79 λ 9 och λ 9 dubbelrot Vi räknar ut motsvarande egenvektorer λ 9: Egenvektorerna är lösningar till A 9E Gausseliminering där v v v är tre ortonormerade egenvektorer till matrisen A Diagonalmatrisen blir då D λ λ där λ λ λ är egenvärdena som hör till egenvektorerna v v respektive v b Vi har redan räknat ut egenvärden och egenvektorer i uppgift b och Matriserna P och D blir P λ λ λ och λ v v samt v och D Egenvektorerna är alltså t t t t t parameter
14 λ 9: Egenvektorerna är lösningar till A 9E Gausseliminering Egenvektorerna är alltså s + t s s + t t - s t parametrar Vi har en smmetrisk matris så egenrummen är ortogonala Vill vi därför välja tre ortonormala egenvektorer behöver vi bara ordna med ortogonaliteten mellan vektorer inom samma egenrum Från egenrummet som svarar mot λ 9 får egenvektorn + + Egenrummet som svarar mot λ 9 spänns upp av två vektorer och För att få två ortogonala egenvektorer ersätter vi vektorn med dess komposant vinkelrätt mot Två ortonormala egenvektorer i egenrummet är alltså och Basbtesmatrisen P kan vi alltså välja som P Då blir diagonalmatrisen D och diagonaliseringen lder W Den smmetriska matrisen A har egenvektorerna
15 och som hör till egenvärdena respektive Bestäm A Eftersom matrisen A är smmetrisk är den ortogonalt diagonaliserbar A P DP t där matrisen P består av ortonormerade egenvektorer till A och diagonalmatrisen D av A:s egenvärden Normerar vi de tre egenvektorerna får vi tre ortonormerade egenvektorer eftersom A är smmetrisk är de ortogonala och P sätter vi till I diagonaliseringen blir då Vi får att A är A P DP t P D W7 Beräkning av matrispotenser Man kan beräkna en potens A k av en smmetrisk matris A för ett godtckligt positivt heltal k dvs produkten AA A av k faktorer A på följande sätt: Diagonalisera först A med hjälp av en lämplig ortogonalmatris: P t AP D Härav följer eftersom P P t att A P DP t Då är A AA P DP t P DP t P DP t P DP t P DEDP t P DDP t P D P t Allmänt får man på samma sätt att A k P D k P t Matrisen D k beräknas lätt: man finner att λ D λ D λ λ λ λ λ λ för godtckligt positivt heltal k D k λ k λ k b Beräkna A k för godtckligt positivt heltal k då A är matrisen A Ange speciellt A n och A n+ c Beräkna A n och A n+ då A b Om vi ska använda metoden i uppgiftsteten måste vi först ortogonalt diagonalisera A Det första steget är att bestämma egenvärden och egenvektorer till A Egenvärdena är rötter till sekularekvationen λ deta λe λ λ λ + 9λ λ λ eller λ Vi bestämmer motsvarande egenvektorer
16 λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Vi Gausseliminerar Egenvektorerna är alltså t t t t t parameter Egenvektorerna är alltså t t t t t parameter λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Vi Gausseliminerar λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Vi Gausseliminerar Egenvektorerna är alltså t t t t t parameter Eftersom matrisen är smmetrisk och egenrummen är en-dimensionella får vi en ortonormerad egenvektorbas genom att välja en normerad vektor från varje egenrum
17 Basbtesmatrisen P blir och diagonaliseringen är A P DP t Potensmatrisen blir nu A k P t D k P P k k k k k k k k k k k k 9 k k 9 k k 9 k + 9 k 9 k k 9 k k 9 k + 9 k 9 k + 9 k 9 k + 9 k 9 k k + k k k k k + k + k k + k + k När k n jämnt helta är k + och vi får A n n 8 När k n + udda heltal är k och vi får A n+ n n A c I uppgift e diagonaliserade vi matrisen A Potenser av A blir därför A k P D k P t 9k 9k 9k 9k 9 k 9 k 9 k 9k 9k 9k 9 k 9 k 9 9k + 9k + 9 9k 9 9k + 9k 8 9 9k 9 9k + 9k 8 9 9k 9 9k + 9k + 9 9k 9 9k + 9 k + 9 9k 9 9k + 9 k 9 9k 9 9k + 9 k + 9 9k 9 9k + 9 k 9 9k 9 9k + 9 k + 9 9k + k k k k + k + k k + k + k
18 När k n jämnt heltal är k + och vi får A n 9n 9 n E När k n + udda heltal är k och vi får A n+ 9n 9 n E W8 Fibonaccis talföljd { n} n dvs definieras genom rekursionsformeln n n + n och begnnelsevärdena Man finner följden 8 Övergången från talen n och n till talen n och n kan skrivas n n n n Bestäm med hjälp härav en eplicit formel för n dvs uttrck n som en funktion av n Vad kan sägas om n för stora n Om vi använder matrissambandet några gån så kan vi uttda mönstret n n n Även om vi kan vara ganska övertgande om att är riktig så behöver vi någon metod för att helt säkert fastställa att är sann Formeln är egentligen ett uttalande om oändligt många samband och är en indeering uppräkning av alla dessa samband Vad vi kan notera i är att varje påstående bg på ett tidigare påstående Påstående nr n får vi från påstående nr n genom n n n n n n Det är just i dessa tper av situationer som matematisk induktion är lämplig som bevismetod Låt P n vara påståendet Basfallet P är sann t vl av P n n n hl av P
19 Induktionssteget Vi visar att P n P n+ n+ n vl av P n+ n n n { P n antas vara sann } n hl av P n+ Av induktionsaiomet följer att P n är sann för alla positiva heltal n Vi har alltså visat att n n n för alla n För att räkna ut n behöver vi alltså kunna beräkna n Vi kan använda metoden i uppgift 8: Diagonalisera P DP t Då är n P DP t P DP t P DP t P D P t P D P t P P t P DP t P D n P t Matrisen har egenvärdena λ λ λλ λ λ λ ± Motsvarande egenvektorer är λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är alltså t t t + t parameter λ + : Egenvektorerna är lösningar till A + E Gausseliminering Egenvektorerna är alltså + t t t Normerade egenvektorer från varje egenrum är + t parameter
20 Vi sätter alltså och får + P + + W Överför genom en ortogonal koordinattransformation följande kvadratiska former till kanonisk form Ange även den använda koordinattransformationen Använd resultaten från uppgift och b + + d f h n P D n P t n Vi får därför en formel för n n n n + n n + n + n n + n + n + n n + n + + n + n n + Eftersom < < så kommer kommer n vara eponentiellt liten när n är stor och vi har n + n b Vi skriver först den kvadratiska formen med en matris + + Diagonalelementen i matrisen är koefficienterna framför kvadrattermerna och de två utomdiagonala elementen svarar båda mot korstermens koefficient Den kvadratiska formens matris är smmetrisk och enligt uppgift b har den följande egenvärden och normerade egenvektorer egenvärden egenvektorer Vi väljer därför basbtesmatrisen från egenvektorbasen till standardbasen som P Notera att vi ordnat kolumnerna i P så att det P + vilket betder att basbtet är en rotation I de na koordinaterna P t blir den kvadratiska formen + +
21 Detta är den kvadratiska formen skriven i kanonisk form d Den kvadratiska formen blir i matrisform Matrisen Egenvektorbasen A 8 7 har enligt uppgift d följande egenvärden och egenvektorer egenvärden egenvektorer Vi väljer därför diagonaliseringsmatrisen till P f Vi skriver den kvadratiska formen i matrisform Från uppgift b får vi att matrisen har egenvärdena och egenvektorerna egenvärden egenvektorer Vi väljer basbtesmatrisen till P I egenvektorbasens koordinater P t det P har den kvadratiska formen det kanoniska utseendet + + I de na koordinaterna P t + + i egenvektorbasen har den kvadratiska formens sk kanoniska form utseendet +
22 h Först skriver vi om den kvadratiska formen i matrisform Matrisen är densamma som i uppgift d och har egenvärdena och egenvektorerna egenvärden egenvektorer Basbtesmatrisen sätter vi därför till P och i de na koordinaterna P t blir den kanoniska formen det P W Ange den geometriska betdelsen av andragradsekvationerna b Q + + d Q f Q h Q I uppgift skrev vi de kvadratiska formerna i kanonisk form och vi ska utnttja detta för att ange vilken tp av kurva/ta ekvation bestämmer b I egenvektorbasen har ekvationen utseendet / / vilket är en hperbel med halvalar och d Ekvationen blir i egenvektorbasen + / vilket är en ellips med halvalar och + /
23 f När vi bter till egenvektorbasen får ekvationen utseendet / + / vilket är en enmantlad hperboloid med -aeln som ael och halvalar och W Ange den geometriska betdelsen av andragradsekvationerna b Q + + d Q f Q h Q Vi använder kanoniska formerna som vi räknade ut i uppgift för att ange vilken tp av kurva/ta respektive ekvation bestämmer b Ekvationen har följande utseende i egenvektorbasen / + / h Ekvationens utseende i egenvektorbasen är vilket är en hperbel med halvalar / och / + + / + / + / Detta är en enmantlad hperboloid med -aeln som ael och halvalar och / d Ekvationen blir i egenvektorbasen + Eftersom vänsterledet är summan av två kvadrater och alltid positiv finns det inga punkter som uppfller ekvationer f I egenvektorbasen har ekvationen utseende / + /
24 Vi känner igen denna ta som en tvåmantlad hperboloid med -aeln som ael och halvalar h Ekvationens utseende i egenvektorbasen är + + / + / + / vilket är en tvåmantlad hperboloid med -aeln som smmetriael och halvalar och W Ange den geometriska betdelsen av andragradsekvationerna b Q + + d Q f Q h Q Vi gör som i de tidigare uppgifterna och skriver om ekvationerna i kanonisk form b / + / / / / + / / / eller / + / d / + / f + / + / h / + / + / Då ser vi att vi har två räta linjer i b-uppgiften och origo i d-uppgiften I f- och h-uppgifterna har vi koner med -aeln som ael
Exempelsamling :: Diagonalisering
Exempelsamling :: Diagonalisering Mikael Forsberg :: 8 oktober Uppgifter om diagonalisering. Hitta en matris som diagonaliserar matrisen A = ( Vad blir diagonalmatrisen D? Vad betder D geometriskt? Vad
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merLinjär algebra kurs TNA002
Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merFör ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs merNovember 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)
Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merCrash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016
Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1
Läs mer3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs mer3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 3 7 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs mer1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.
Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merVi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merÖvningstenta 001. Alla Linjär Algebra. TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg. 1. x 2y z + v = 0 z + u + v = 3 x + 2y + 2u + 2v = 4 z + 2u + 5v = 0
TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg Alla Linjär Algebra Övningstenta. x z + v z + u + v 3 x + + u + v 4 z + u + 5v. (a) Bestäm storleken (absolutbeloppet) och argumentet till z i. (b) Uttrck på formen
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merEgenvärden, egenvektorer
Egenvärden, egenvektorer Om en matris är kvadratisk (dvs n n) kan vi beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen. Polynomet p(λ) = det(a λi) kallas det karakterisktiska polynomet för A. Ett nollställe
Läs mery z 3 = 0 z 5 16 1 i )
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merA = v 2 B = = (λ 1) 2 16 = λ 2 2λ 15 = (λ 5)(λ+3). E 5 = Span C =
KTH Matematik Lösningar till Kapitel 7 A a Karakteristiska polynomet av detλi A det A λ λ λ b Egenvdena av A nollställen till karakteristiska polynomet alltså har A egenvdet λ c Motsvarande egenrum E lösningsrummet
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 130313 kl 0830 1230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV142 Linjär algebra Z Tentan
Läs merLösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin Lösningsforslag till tentamen i SF64 den /0 007 Eftersom planet går genom punkten (,, 0, det har ekvation a(x + b(y + + cz = 0, där a, b, c är koefficienter
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs mer1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).
TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs mer1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).
N-institutionen Mikael Forsberg 06-64 89 6 Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mk06a Testtenta. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, 5),
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merProvräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016.
LINK OPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Provräkning, Linjär Algebra, vt 6. Lämna in lösningar för rättning senast 8. onsdagen den 7 april 6. Lämnas in antigen i mitt fack på MaI eller direkt
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merBasbyten och linjära avbildningar
Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.
Läs merx 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs mer2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.
TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.
Läs merStöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja
Läs merUppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra
Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära
Läs merx + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.
1 Matematiska Institutionen KTH Exam for the course Linjär algebra, 5B1307, Januari 14, 008, 14:00-19:00 Kursexaminator: Sandra Di Rocco Minst 15 poäng ger betyg 3, minst poäng ger betyg 4 och mins 8 poäng
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merProv i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs mer2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merProv i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merLösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga
Läs merMultiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0
Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen
Läs mer2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs mer1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.
KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med
Läs mer