Övningstenta 001. Alla Linjär Algebra. TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg. 1. x 2y z + v = 0 z + u + v = 3 x + 2y + 2u + 2v = 4 z + 2u + 5v = 0

Transkript

1 TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg Alla Linjär Algebra Övningstenta. x z + v z + u + v 3 x + + u + v 4 z + u + 5v. (a) Bestäm storleken (absolutbeloppet) och argumentet till z i. (b) Uttrck på formen z a + bi då vi har att z och arg z π/4 (c) Förenkla 4+4i i. (d) Förenkla i+ 4 4i (e) Lös ekvationen z + 3. Snön vräker ner i den mörka decembernatten och snöröjningen i Skellefteå kommun är redo och väntar på att få sätta fart. Enligt policbeslutet ska prioriterade gång- och ckelvägar börja röjas vid 3 cm snödjup medan när snödjupet uppnått cm så ska alla gator i kommunen röjas. Snödjupet mäts på en vindfri plats och meddelas till arbetsledningen. Följande mätningar är gjorda. (Tid; Snödjup): (;), (;4), (;6), (3;9). (a) Bestäm snöandet per timme som en linjär funktion där snödjupet beror på tiden. Denna funktion ska bestämmas med minsta kvadratmetoden. (b) Bestäm ur funktionen när snösvängen ska starta för prio, gång- och ckelvägar, samt för prio, övriga vägar. 4. Skapa ur vektorerna v (,,, ), v (,,, ) och v 3 (,,, ) en ON-bas. 5. Beräkna determinanten till matrisen 3 3 H 3 3 3

2 6. Beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen 3 E 3 3 Är matrisen diagonaliserbar? Om matrisen är diagonaliserbar beräkna den diagonala matrisen och den diagonaliserande matrisen. 7. Låt A[t t t (a) Bestäm de värden på parametern t som gör matrisen inverterbar. (b) Beräkna inversen till matrisen för det minsta positiva heltalsvärde på t som gör att matrisen är inverterbar. 8. Beräkna baser för rad, kolonn och nollrum för följande matris 3 4 B

3 Svar till tentamen i Linjär Algebra, Övningstenta.. x z u v. (a) z, arg z arctan (b) z i (c) 4i (d) i/ ( s + t + ) blir ingen sngg vinkel vare sig i radianer eller grader (e) z e i(π/+k π/5) cos(π/ + k π/5) + i sin(π/ + k π/5), k,,,..., Djupet -,3 t Prio : 3 min Prio : 3 h 34 min 4. o (,,, ) o (,,, ) o (,,, ) Diagonaliserande matris :: Diagonal matris:: 4 7. (a) Matrisen saknar invers om t och t 5. (b) M[ 8. Se lösningen.

4 Lösningar till tentamen i Linjär Algebra, Övningstenta.. Sstemet på matrisform blir och som direkt Gauss-Jordanelimineras: Från detta sstem ser vi att den andra variabeln ( s) och den sista variabeln (v t) är fria och uttrcker vi de ledande variablerna mha av de fria så får vi lösningarna på formen: x z u s + t + v. (a) Absolutbeloppet blir z + ( ) Argumentet blir ( imaginärdel arctan realdel ) ( arctan ) arctan ( ) Här blir vinkeln inte sngg vare sig i radianer eller grader och eftersom vi inte har tillgång till en miniräknare så är det bäst att svara med detta uttrck. (b) Om vi betecknar φ arg z så får vi att den rektangulära formen kan skrivas som (c) z z (cos φ + i sin φ) (cos π/6 + i sin π/6) ( 3/ + i/) i 4 + 4i i [ förläng med nämnarens konjugat (4 + 4i)( + i) ( i)( + i) i + 4i 4i (d) i + + i) 4 4i 4 ( i) [ förläng med nämnarens konjugat ( + i) ( i)( + i) i i/ Man kan också notera att kvoten i denna uppgift är /8 gånger kvoten i föregående deluppgift (c). Ser man detta så slipper man att göra om kvoträkningen. (e) Här ska vi lösa z och skriver därför om båda led på polär form: Detta ger oss ekvationen för beloppet z e φ e i(π+πk), k, ±, ±,... z z

5 Ekvationen för argumentet blir φ π + πk φ π + π 5 k Tio olika lösningar får vi genom att välja tio stcken på varandra värden på k förslagsvis k,,, 3,..., 9. Lösningarna kan alltså skrivas: z e i(π/+k π/5) cos(π/ + k π/5) + i sin(π/ + k π/5) k,,,..., 9 3. (a) Snöjupet D modelleras som en linjär funktion av t: D at + b och vi ska bestämma a och b för att få fram funktionen. Snödjupsmätningarna ger följande sstem a + b [ 4 a + b på matrisform a 6 a + b 4 b 6 9 a 3 + b 3 9 Matrisekvationens normalekvation blir [ 3 3 [ a b [ som då blir [ [ a b vilket ger att snödjupsekvationen blir [ 43 D.3t +.8 [ a b [.3.8, (b) Om djupet är 3cm så får vi t (3.8)/.3.57h 3.3 minuter (c) Om djupet är cm så får vi t (.8)/ h 3h och 34 min 4. Vi använder Gram-Schmidts metod och börjar med att välja u v som första vektor. Den andra vektorn får vi nu genom att subtrahera v s projektion längs v från v : u v proj u v (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) 4 (,,, ) (,,, ) (,,, ) Den tredje vektorn får vi nu genom att subtrahera v 3 projektioner längs u och u från v 3 : u 3 v 3 proj u v 3 proj v v 3 (,,, ) (,,, ) (,,, ) 4 (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) 3 4 (,,, ) + 4 (,,, ) (,,, ) N u har vi fått en ortogonal bas och vi har då bara kvar att normera våra tre vektorer så att de får längden ett. Vår ON-bas blir således o u u (,,, ) o u u (,,, ) o u u (,,, ) 5

6 5. Kofaktorutveckla längs rad 4 som ger att 3 3 det H det Denna 5 5-matris utvecklas nu lämpligen längs dess tredje kolonn: 3 3 det H 3 det 3 3 ( ) det } {{ } Egenvärden :: Det karakteristiska polnomet det(e λi) λ 3 + 4λ + 4λ 6 }{{} det karakteristiska polnomet } {{ } (λ 4)(λ )(λ + ), där vi fått fram faktorerna genom att gissa nollställena (som blir ± och 4) utifrån antagandet att de är heltal som delar 6. De heltal som då kommer i fråga är ±, ±, ±4, ±8, ±6 och genom att stoppa in vardera av dessa tal i vårt karakteristiska polnom så kan vi avgöra vilka som gör polnomet noll. Diagonalmatris :: Vi har nu alltså tre olika egenvärden, vilket betder att matrisen är diagonaliserbar (vilket också är givet från det faktum att matrisen E är smmetrisk) och att den diagonala matrisen har våra egenvärden, λ, λ och λ 3 4, som diagonalelement: 4 Egenvektorer till λ :: Vi måste lösa (E λ I)x Vi får då att matrisen till vänster (vi skriver alltså inte upp högerledet vilket är onödigt eftersom det inte kommer förändras (eftersom det är noll) när vi utför radoperationerna.) blir som då Gauss-Jordan elimineras 3 3 Detta ger oss egenrummet x z Gauss-Jordan ger t } {{ } egenvektor e Egenvektorer till λ :: Vi måste lösa (E λ I)x Vi får då att matrisen till vänster (vi skriver alltså inte upp högerledet vilket är onödigt eftersom det inte kommer förändras (eftersom det är noll) när vi utför radoperationerna.) blir som då Gauss-Jordan elimineras Gauss-Jordan ger 6

7 Detta ger oss egenrummet x z t }{{} egenvektor e Egenvektorer till λ 3 4 :: Vi måste lösa (E λ 3 I)x Vi får då att matrisen till vänster (vi skriver alltså inte upp högerledet vilket är onödigt eftersom det inte kommer förändras (eftersom det är noll) när vi utför radoperationerna.) blir som då Gauss-Jordan elimineras Gauss-Jordan ger Detta ger oss egenrummet x z t } {{ } egenvektor e 3 Diagonaliserande matris :: Detta är den matris P som ger att D P EP och denna består av egenvektorerna som kolonner: P 7. Vi använder determinanten för att avgöra de värden på t som gör att matrisen är inverterbar. Determinanten blir t + 7t 5 som har nollställena t och t 5. Dessa värden gör att matrisen saknar invers. Det minsta positiva heltalsvärdet på t som ger oss en inverterbar matris är därför t och för detta värde så blir matrisens invers M[ 8. GaussJordan eliminering av B ger vilket ger att de tre nollskillda raderna är bas för radrummet. Kolonnrummet har en bas som består av de tre första kolonnerna i matrisen B. Nollrummets bas får vi från den gausseliminerade matrisen (om man vill utvidgad med ett högerled som består av nollor) Om vi kallar variablerna för x,..., x 5 så får vi att x 4 s och x 5 t är fria variabler och kan alltså ges av parametrarna s och t som vi just definierade. Vi uttrcker de övriga variablerna mha dessa parametrar och får därför att nollrummet beskrivs av 7

8 x x x 3 x 4 x s t, där de båda vektorerna i höger led är basvektorerna för nollrummet. 8