Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4

Transkript

1 Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin Lösningsforslag till tentamen i SF64 den /0 007 Eftersom planet går genom punkten (,, 0, det har ekvation a(x + b(y + + cz = 0, där a, b, c är koefficienter av normalvektor till planet För att bestämma normalvektor n tar vi några två vektorer i planet och räknar deras kryssprodukt Den första vektor i planet är t ex linjens riktningsvektor v = (, 0, Den andra är t ex vektor mellan punkterna (,, 0 och punkten på linjen som svarar till t = 0 d v s punkten (,, Vi får då den andra vektor v = (, 5, Deras kryssprodukt blir v v = e x e y e z 0 5 = 5e x 0e z = 5(, 0, Vi väljer n = (, 0, och vi får planets ekvation (x + z = 0 eller x + z = Matrisen till systemet är 0 a + a 4 6 Två första radoperationer: den första raden adderas till den andra samt den första gånger ( adderas till den tredje Nya matrisen blir 0 a 0 a 4 Nästa radoperationen: den andra raden gånger ( a adderas till den tredje Nya matrisen blir 0 a 0 0 a 4 a Den sista ekvationen är (a 4z = a Om a 4 0 d v s a ± då har den entydig lösning och två andra ekvationer i systemet lösas också entydigt Alltså, för a ± systemet har en lösning Om a =, den sista akvationen blir 0 = 0 och två andra ekvationer ger oändligt många lösningar till systemet Om a =, den sista ekvationen blir 0 = 4 som saknar lösning Då saknar systemet lösningar också Enligt metoden, skriver vi först matrisen

2 och tillämpar därefter radoperationer för att återföra den vänstra kvadrat till en enhetsmatris I höger kvadrat då får man den inversa matrisen Den första radoperationen som behövs för att köra Gausselimination är omkastning av två första raderna Nya matrisen blir Därefter kör man Gausselimination på ett vanligt sätt och man får svar A = Enligt standardforlmel för andragradsekvationer, rötterna är z, = + i ± ( i ( 4i = + i ± i Nu skall vi bestämma i d v s lösa ekvation w = i Vi söker w i form w = x + iy med reella x och y Då varav i = (x + iy = x y + ixy, x y = 0 och xy = Den första ekvationen ger oss y = ±x I fallet y = x insättningen till den andra ekvationen ger x = d v s x = = y eller x = = y I fallet y = x insättningen till den andra ekvation ger oss x = och den ekvationen saknar reella lösningar (och man söker endast reella x och y Alltså, får vi i = ±( + i och insättningen till den första formel ger oss z = i och z = 5 Bas av induktion d v s fallet n = gäller självklart Antar nu att formel stämmer för något heltal n Vi skall visa att samma formel stämmer också för nästa heltal n + Vi har då A n+ = A A n = [ enligt induktionsantagandet ] = ( ( ( A = = [ matrismultiplikation ] ( 0 = n n n + vilket skulle bevisas 6 Avbildningen skickar varje vektor u i rummet till en vektor v där v = u P l u, där P l u är projektoin av vektor u på linjen l vinkelrät mot planet Om n är

3 notmalvektor till planet som har längden, då projektionen ges av formel P l u = (u nn och vi får v = u (u nn Ur planets ekvation får vi n = + ( + = / / / Om u = (x, y, z t, då u n = x/ y/ + z/ Detta ger oss v = x y z (x/ y/ + z/ / / / = x (x/ y/ + z/ y + 4 (x/ y/ + z/ = z 4 (x/ y/ + z/ 7x/9 + 4y/9 4z/9 4x/9 + y/9 + 8z/9 4x/9 + 8y/9 + z/9 Matris av avbildningen blir 7/9 4/9 4/9 4/9 /9 8/9 4/9 8/9 /9 7 Antar att c v +c v +c v = 0 Då talen c, c och c är lösningar till homogena systemet med matris a Efter standarda radoperationer matrisen blir a + / Vi ser att motsvarande system har endast triviala lösningen c = c = c = 0 om a / Då är vektorerna linjärt oberoende I fallet a = / systemet har oändligt många lösningar och vektorerna är linjärt beroende 8 Överföringsmatris är P = ( / / / / och den fungerar så att de gamla koordinaterna (x, y uttrycks genom de nya (x, y enligt formel ( ( x x = P y y

4 d v s x = x + y och y = x + y Insättningen av dessa uttryck till ursprungliga kurvans ekvation ger oss efter förenkling Det är ekvation av en parabel y = x / + / 9 Vi söker först egenvärdena till matrisen Den karakteristiska ekvationen är 0 = det(a λi = λ λ = λ λ 6 Den har rötter λ =, λ = Den första egenvektor v som hör till λ = är lösningen till homogena system med matrisen ( A I = 4 Vi får vektor i allmän form och efter normaliseringen får vi v = ( t t ( / 5 / 5 Den andra egenvektor v som hör till λ = är lösningen till homogena system med matrisen ( 4 A + I = Vi får vektor i allmän form ( t t och efter normaliseringen får vi v = ( / 5 / 5 Alltså, diagonalmatrisen D och ortogonalmatrisen P är ( ( 0 / 5 / 5 D = och P = 0 / 5 / 5 0 Vi antar att det finns något reelt egenvärde λ och motsvarande egenvektor v 0 Då det gäller att Av = λv och A v = λ v

5 vilket ger oss Eftersom v 0, det är möjligt endast om 0 = (A + A + Iv = (λ + λ + v λ + λ + = 0 Men denna andragradsekvation saknar reella lösningar (lätt att kolla! och vi får motsäjelse Alltså vårt antagande om existens av reella egenvärdena var fel