Lösningar kommer att läggas ut på kurshemsidan första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK.

Transkript

1 Matematik Chalmers tekniska högskola Tentamen Linjär algebra D (TMV6), Linjär algebra GU (MMGD) Telefonvakt: Carl Lundholm, ankn 679 Plats och tid: Johanneberg, 4:-8: Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Skriv väl, motivera och förklara vad du gör. Betygsgränser TMV6: -9 p. ger betyget 3, 3-39 p. ger betyget 4 och 4 p. eller mer ger betyget 5. Maxpoäng är 5. Betygsgränser MMGD: -34 p. ger betyget G, 35 p. eller mer ger betyget VG. Maxpoäng är 5. Lösningar kommer att läggas ut på kurshemsidan första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK. Betrakta följande vektorekvation. x 3 8 +x x 3 x 4 = (a) Bestäm alla x, x, x 3, x 4 som uppfyller ekvationen ovan. (b) Man är intresserad av positiva heltalslösningar x, x, x 3, x 4. Bestäm den (p) minsta positiva heltalslösningen. (c) Är vektorerna 3 8 och (d) Visa att 4 vektorer i R 3 alltid är linjärt beroende. linjärt oberoende? Motivera ditt svar. (p) (a) Lös det linjära ekvationssystemet Den utökade matrisen Gausselimineras till 3 8 x x x 3 x = /4 5/4 3/4 Låt x 4 = t vara den friia variabeln. Lösningarna ges då av x /4 x x 3 = t 5/4 3/4 x 4 (b) t = 4 ger x =, x = 5, x 3 = 3 och x 4 = 4

2 (c) Ja de är linjärt oberoende eftersom det inte finns något t R sådant att 3 8 = t. (d) Låt v,v,v 3,v 4 vara 4 vektorer i R 3. Bilda matrisen A = [ v v v 3 v 4. Ekvationssystemet Ax = har då fler obekanta än ekvationer, så det kommer att finnas minst en fri variabel. Dvs. ekvationssystemet har en icketrivial lösning x, så kolumnerna i A är linjärt beroende. Låt A = 3 I figuren till höger har man ritat en graf för det karakteristiska polynomet p(λ) till A på intervallet λ (a) Bestäm det karakteristiska polynomet till A. (b) Bestäm alla egenvärden till A och tillhörande egenvektorer. (c) Visa att egenvektorerna i (b)-uppgiften är ortogonala. (d) Låt A vara en symmetrisk m m matris och v, v två egenvektorer till A. (5p) Visa att v och v är ortogonala om de hör till olika egenvärden λ λ. (p) (a) 3 λ p(λ) = det(a λi) = λ λ = (3 λ)(( λ)( λ) 4) 4( λ) = = λ 3 +6λ 3λ (b) Egenvärdena ges av de λ där p(λ) =. I figuren ser vi att λ, λ och λ 3 5. En kontroll visar att λ =, λ = och λ 3 = 5 Egenvektorn v som hör till λ = uppfyller Vi har och Av = v Av +Iv = (A+I)v = 4 3 A+I = 4 3 / som ger v = t / där t R kan väljas fritt. Resonera på samma sätt för de andra egenvektorerna:

3 Egenvektorn v som hör till λ = ges av (A I)v = och / som har lösning v = t där t R. Egenvektorn v 3 som hör till λ 3 = 5 ges av (A 5I)v 3 = och 3 4 (c) som har lösning v 3 = t där t R. v T v = [ / = + = v T v 3 = [ / = + = v T v 3 = [ = 4++ = (d) Visa att v T v =. Eftersom Av = λ v har vi (Av ) T v = (λ v ) T v = λ v T v Eftersom A är symmetrisk har vi att A = A T. Så (Av ) T v = v T AT v = v T Av = v T λ v = λ v T v Dvs λ v T v = λ v T v. Eftersom λ λ så måste v T v = 3 (a) Bestäm ekvationen (på normalform) för ett plan som innehåller linjen (5p) x = t y = +t z = t Hur många sådana plan finns det? (b) Bestäm skärningen mellan följande par av plan (3p) { x+y +z = x y +5z 5 = (a) Det finns oändligt många plan som innehåller linjen, tex. x+y +z =

4 (b) Successiv elimination ger { x+y +z = x y +5z = 5 { x+y +z = 3y +3z = 3 x = t y = +t z = t 4 Låt där p är ett reellt tal. (a) Bestäm p sådant att v = A = 3 p tillhör nollrummet till A. (b) Bestäm p sådant att matrisen får full rang, dvs. rangen för matrisen blir 3. (3p) (a) Av = dvs Svar p =. 3 p = +p (b) Bestäm t.ex. ett p sådant att det(a). Utveckling längs första raden, det(a) = p + 3 = p+. Så det(a) = då p =. Svar: p 5 Låt S(x) = [ [ x +x + och T(x) = x x 3 [ x vara två avbildningar. x (a) Avgör vilka av avbildningarna ovan som är linjära. Motivera ditt svar. (b) Man har använt avbildningen T ovan för att beräkna bilden av en rektangel med höjden och bredden, och med nedre vänstra hörnet i origo. Rita bilden och beräkna dess area. [ a [ b (a) Låt a = och b =. S är inte linjär ty a b [ (a +b S(a+b) = )+(a +b )+ S(a) + S(b). T däremot är linjär (a +b ) (a +b ) ty matris-vektor produkt uppfyller linjäritetsvillkoren. (b)

5 [ Arean är det( ) = = 4