Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Transkript

1 Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA DAG: Måndag 4 januari TID: SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: (ankn. 94) Förfrågningar: Ivar Gustafsson, även mobil: Lösningar: Anslås på institutionen efter tentamen Resultat: Anslås på institutionen senast 8 januari Tentan kan hämtas i mottagningsrummet dagligen mellan.- Resultatet kan får per telefon 77 59, dagligen efter kl 4 Betygsgränser:, 4, 54 av maximalt 6 poäng Bonus (högst poäng) från inlämningsuppgifter får tillgodoräknas. Hjälpmedel: Inga Iakttag följande: - Skriv tydligt och disponera papperet på lämpligt sätt - Börja varje ny uppgift på nytt blad - Alla svar skall väl motiveras LYCKA TILL! Uppgift a) Visa spektralsatsen: Låt F vara en symmetrisk linjär avbildning på ett ändligtdimensionellt reellt linjärt rum V. Då finns det en ON-bas för V bestående av egenvektorer till F. (7p) b) Den reella symmetriska - matrisen A har egenvärdena, 5 och 7. Dessutom gäller att A 7. (p) = och A = 5. Ange en egenvektor till egenvärdet Uppgift a) Låt u V, ett linjärt rum med skalärprodukt och låt {e i } k i= vara ON-bas för ett underrum U till V. Visa att k i= < u, e i > u. (p) b) Betrakta det linjära rummet C[ π, π] med skalärprodukt < f, g >= π f(t)g(t) dt samt π funktionen f(t) = t, π t π. Bestäm bästa approximationen till f i underrummet Span { π, π sin(t), π cos(t)}. (4p)

2 Uppgift Betrakta den reella matrisen A = p q. Bestäm p och q så att dim V (A) = dimn(a) och ange baser för rummen V (A) och N(A) samt för ortogonala komplementen till dessa rum, för dessa värden på p och q. (6p) Uppgift 4 Låt A vara en n -matris (bara en kolonn). a) Ange explicit den kompakta QR-faktoriseringen av A. (p) b) Ange minstakvadratlösningen till det överbestämda ekvationssystemet Ax = b, där b är en n-vektor. (p) c) Bestäm explicit den kompakta SVD-faktoriseringen av A. (p) d) Bestäm explicit den kompakta SVD-faktoriseringen av A T. (p) Uppgift 5 En funktion är given genom tabellen x 4 f Beräkna en approximation till 4 f(x) dx genom att använda trapetsformeln och ett stegs Richardsonextrapolation. Gör feluppskattning. Tabellvärdena antas vara korrekt avrundade. (6p) Uppgift 6 a) Definiera vad som menas med fixpunktsiteration vid ekvationslösning och skriv upp ett villkor för konvergens för fallet en variabel. (p) x + x 4 = b) Betrakta ekvationssystemet x x = x x + = Gör en iteration med Newtons metod och start i origo. (4p) Uppgift 7 Du ska anpassa parametrarna a och b i modellen y(t) = till mätningar (t ae bt i, y i ), i =,, m med m >. a) Formulera om modellen så att linjär minsta kvadrat kan användas och skriv upp det ekvationssystem som ska lösas. (4p). b) Använd den olinjära modellen som den står och ange residual och Jacobian samt teckna en iteration med Gauss-Newtons metod. (4p)

3 Uppgift 8 Rörelseekvationen för en vertikalt upphängd kedja av längd, som sätts i rörelse med ett distinkt slag med hastighet m/sek på mitten, kan modelleras av differentialekvationen x y xx + y x = g y tt, < x <, t > y(x, ) = y t(x, ) = f(x) = y(, t) = y(, t) = {, x =.5, x.5 där g är gravitationen. Vi vill lösa problemet med linjemetoden. Sätt upp det system av första ordningens ordinära differentialekvationer som ska lösas. Använd centraldifferens vid rumsdiskretiseringen. (8p)

4 Institutionen för Matematik Göteborg F - Linjär algebra och numerisk analys, TMA67 Lösningar till tentamen 4 januari a) Se LAT, sid 66. b) Egenvektorer till olika egenvärden är ortogonala. [ ] T är egenvektor till λ = och [ ] T är egenvektor till λ = 5. Egenvektor till λ = 7 är då [ ] T [ ] T = [ ] T. a) Bästa approximation till u i U är û = k i= < u, e i > e i, med u û ortogonal mot û. Pythogoras sats ger û u k i= < u, e i > u. b) De angivna funktionerna e = π, e = π sin(t) och e = π cos(t) är ON-bas ty π π e i dt =, i =,, och π e π ie j dt =, i j. Bästa approximation blir då i= < f, e i > e i = π π π π t dt + sin(t) π π π π t sin(t) dt + cos(t) π π π π t cos(t) dt = + sin(t) + = sin(t). dim V (A) + dim N(A) = dim V (A) = dim N(A) =. Kolonnerna ska alltså vara parallella dvs p = [, q = ]. V (A) = [ Span([ ] ] T ),[ dvs [ ] ] T är bas för V (A). Vidare är A = dvs N(A) och är bas för N(A). [ ] N(A) spänns av, som alltså är bas för N(A). Slutligen fås V (A) = N(A T ) ur [ ] [ ] homogena systemet x = med lösning x = [ ( u s t) u s t]t, dvs [ ] T, [ ] T och [ ] T är bas för V (A). 4 a) A = Q R, Q = A/ A har norm = R = A b) Rx = Q T b x = Q T b/ A = A T b/ A c) A = U Σ V T, U = A/ A har norm = Σ = A, V = har norm =. d) A T = V Σ U T, dvs A T = U Σ V T med U =, Σ = A, V = A/ A 5 T(4) = 4(./ +./) =.6, T() = (./ +. +./) = 4. T() = (./ /) = 4.8 R() = = 4, 4, R() = = 5 R T R() R() =.6, R f 4.5 =.. Svar: 4 f(x) dx 5 ±.8

5 6 a) f(x) = x = g(x). Fixpunktsiteration: x (k+) = g(x (k) ), k =,, Konvergens om g (x) < i en omgivning av lösningen och om man startar i den omgivningen. b) f = x + x 4 x x x x +, J = x x x, x () = x () = x () d (), därj(x () )d () = f(x () ). Ekvationssystem 4 d () = d () = 4/ x () = 4/ 7 a) Invertera: = y ae bt. Logaritmera : ln = ln a b t eller ln a b t = ln y. y t [ ] ln y Linjärt ekvationssystem ln a = b ger ln a och b och t m ln y m sedan a = e ln a. b) Residualer f i = y ae bt i i, Jacobian: J = Gauss-Newton: [ a b ] (l+) = [ a b 8 Linjemetoden: y tt = g(x y xx + y x). Låt Y = ebt t e bt a a ebtm a t me btm a ] (l) J(a (l), b (l) ) f(a (l), b (l) ). y y n., och W = Y = linjefunktioner motsvarande en diskretisering i rummet (x-led). Y = W, Y () = Vi får då följande system av första ordning: W = AY, W() = y y n f f n, där y i(t) är Matrisen A kommer från rumsdiskretiseringen som vi gör med centraldifferens och steglängd h. Vi får se till att diskretiseringen görs så att x i =.5 för något i. För detta i-värde tar vi då f i = och alla övriga f j =, j i (distinkt slag). x x + h x h x x + h Centraldifferensmatrisen blir A = g h x n h x n x n + h x n h x n