Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T"

Transkript

1 Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet någon lösning? 3. Bestäm för varje a-värde antalet lösningar till systemet 4. Beräkna determinanten: Ê 3 1-2ˆ a. det Ë Sätt A = ( ) och B = Ê 2 1-1ˆ 6. Bestäm inversen till matrisen Ë Ê 1 0 1ˆ Ê ˆ 7. Beräkna B -1 A -1 då A = 0 1 1, B = Ë Ë Ï x + 2y - 3z = 1 Ì 3x - y + 2z = a Ó x - 5y + 8z = 1 skall ha Ï 2ax + 3y + az = 4a Ì x + (a -1)y = a Ó x - y + z = 1 Ê ˆ b. det Ë Ê 1-1 2ˆ Beräkna ABT. Beräkna (AB) T. Ë a = -1fi olösbart; a -1fi x = -20 7(a +1), y = 11 5a -15, y =. 2. a = (a +1) 3. a -1, a 3 fi en lösning; a = -1 fi ingen lösning; a = 3 fi oändligt många lösningar. Ê -6ˆ 4a b (-6 7 4), -4 Ë 5 Ê 7 1-5ˆ Ê ˆ / Ë Ë 1-3 1

2 8. A är en inverterbar 4x4-matris sådan att A 2 + A = 0. Bestäm A. 9. Lös matrisekvationen a. Ê ˆ Ê 2-1 3ˆ X = b. Ë Ë Ê 2 3 1ˆ Ê 1 10ˆ X = 4-8. Ë Ë En parallellogram har hörnpunkterna (1,3,2), (2,-1,1), (-1,2,3) och (0,-2,2). Sök parallellogrammens area. 11. Vektorerna (1,-1,1) och (a,0,2) utgör två sidor i en triangel. Bestäm a så att triangelns yta blir Beräkna volymen av en parallellepiped som har en kantlinje från (1,-4,6) till (4,-1,4), en annan från (4,-1,4) till (2,3,4) och en tredje från (2,3,4) till (9,5,6). 13. Undersök om vektorerna (1, 1, 1), (2, 1,2) och (3, 1,3) ligger i samma plan. 14. Avgör om punkterna (3,9,6) och (-2,5,3) ligger på samma sida eller på olika sidor om planet x - y - z +11 = 0. Ê xˆ Ê x + zˆ 15. Ange standardmatrisen för den linjära avbildningen T, som ges av T y = x + y. Ë z Ë y + z 16. Bestäm en linjär avbildning T, sådan att T(3,4) = (5,6) och T(2,3) = (7,8). 17. För en linjär avbildning T gäller att T(9,8,7) = (1,1 0) och T(1,1,1) = (1,0,0). Bestäm a. T(11,l0,9). b. någon vektor (x,y,z) som avbildas på (0,1,0). 18. Skriv vektorn (1,-2) i R 2 som en linjärkombination av (2,1) och (3,2). 19. Undersök om vektorn (5,6,3) kan skrivas som en linjärkombination av vektorerna (l,1,2), (2,3,l) och (4,5,5). 20. Bestäm talet a så att (1 - a,2,0) och (6,4,a + 2) är linjärt beroende. 21. Undersök om vektorerna (1,3,-2), (-3,-5,6), (0,5,-6) är linjärt oberoende? Ê ˆ Ê ˆ Ê 5-2s 2-2tˆ a b s 2 + t. Ë Ë s t Ë a = 4 eller a = Ligger i samma plan. Ê 1 0 1ˆ 14. På olika sidor Ê -13x +11y ˆ. 17a. (3,1,0). Ë -14x +12y Ë b. (8,7,6). 18. (1,-2) = 8(2,1) - 5(3,2) 19. an inte. 20.a = Linjärt oberoende.

3 22. Undersök om vektorerna (1 2,3), (3,2,1), (2,1,3) bildar en bas för R Undersök om vektorerna (1 0,2), (3,0,1), (5,0,-2), (7,0,-4) spänner upp R Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen a. Ê 1 0 3ˆ Ê 1 3ˆ. b Ë 3 1. Ë Vilka av följande matriser är diagonaliserbara: a. Ê 1 2ˆ Ë 4 3 b. c. Ê 0 2 0ˆ Ë d. Ê 1 2ˆ. Ë 0 1 Ê ˆ Ë Sök en matris C sådan att C -1 A C är en diagonalmatris då a. A = 1 2 Ê 2-1 1ˆ Ê ˆ b. A = Ë 2 1. Ë Ê 27. Undersök om man kan bilda en bas i R 2 bestående av egenvektorer till matrisen 3 0 ˆ. Om så är Ë 0 3 fallet ange en sådan bas. 28. Matrisen A har egenvärden -1, 0 och 2 och motsvarande egenvektorer(-1, 1, 0), (0, 1,-1) resp. (2,1,3). Bestäm A. Ê 2-2 2ˆ 29. Bestäm A 11 då A = Ë Bestäm på huvudaxelform ekvationen för kurvan a. 11x 2-4xy +14y 2 = 5. b. x 2 + 6xy + y 2 = Bildar en bas. 23. Det gör de inte. 24 a. l 1 = 4, l 2 = -2. Motsvarande egenvektorer (l,l), (-l,1). 24 b. l 1 =1, l 2 = 6, l 3 = -4. Motsvarande egenvektorer (4,-3,0), (3,4,5), (3,4,-5) 25. a, c och d. 26a. Ê 1 0 2ˆ Ê 0 1 1ˆ Ê -1 1ˆ 26b Ë T.ex. (1,0),(0,1) Ë Ë Ê ˆ Ë a. 3u 2 + 2v 2 =1 30b. 2u 2 - v 2 =1

4 31. Bestäm på huvudaxelform ekvationen för ytan a. 4xy +4 x z +4y z = 2. b. 3x xy + 2y 2 + 4xz + 4z 2 = I R 2 väljs ett nytt koordinatsystem med basvektorerna (2,3) och (4,5). Vilka är koordinaterna för den vektor som i det gamla systemet har koordinaterna (6,7)? 33. En rät linje i ett plant xy-system har ekvationen 2x - y = 4. Ett uv-system införs med basvektorerna u = (2,3) och v = (4,5). Vilken är ekvationen för den räta linjen i det nya systemet? Ê 34. En linjär avbildning i R 2 har i standardbasen matrisen 1 2 ˆ. Ett nytt koordinatsystem med bas- Ë 2 1 vektorerna (2,3) och (4,5) införs. Vilken är avbildningens matris i det nya systemet? 35. Bestäm matrisen för den vinkelräta projektionen på linjen 3x + 2y = 0 i xy-planet, (ON-system). 36. Låt {e 1, e 2 } och {f 1, f 2 } vara två baser i planet. Vektorerna (1,2) respektive {3,4) i e-basen har i f- basen koordinaterna (5,6) respektive (7,8). Bestäm koordinaterna för f-basen i e-basen. 37. Undersök konvergensen av följande serier a, n +1 17n Â. b. Â. n=1n 2 + 2n n=118n 4 +1 c. d. 3 n 3 n  e. Â. n=1n n=1 n + 3 f. g. (-2) n Â. n=11+ 3 n 3 n  3 n=1 n + 3 (-1) n n Â. n=1 n Bestäm konvergensmängden till serien: a. x n Â. b. n=1(n +1)(n + 2) (x +1) n Â. n=1 n 39. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t - sin t, 2t). 40. Beräkna längden av kurvan r(t) = (4t,3 sin t,3 cos t), 0 t π. 41. Bestäm alla funktioner f (x, y) sådana att a. f x = 2x sin x 2, f y = cos y. b. f x = y, f y = x +2y. 31a. 4u 2-2v 2-2w 2 = 2 31b. 2u 2 + v 2 =1 32. (-1,2) 33. u+3v = Ê -6-9ˆ 1 Ê 4-6ˆ Ê 5-4ˆ Ë Ë -6 9 Ë a. div. 37b. konv. 37c. div. 37d. konv. 37e. div. 37f. konv. 37g. konv, 38a. -1 x 1. 38b. -2 x < (2cos t- sin t,-2sin t-cos t,2), 3, (-2 sin t-cost,-2cos t+ sin t,0) π. 41a. f (x, y) = sin y - cos x 2 +C. 41b. f (x, y) = xy + y 2 + C.

5 I uppg är f och g godtyckliga två gånger deriverbara funktioner av en variabel. 42. Visa att a. z = f (x + y) + g(x-y) satisfierar ekvationen z xx - z yy = 0 b. z = f (x 2 + xy 2 )satisfierar ekvationen 2xy z x - (2x + y 2 ) z y = 0. Ê x ˆ 43. Låt z = xy + f. Bestäm x 2 z Ë y xx +2xy z xy + y 2 z yy. 44. Bestäm riktningsderivatan till funktionen f (x, y, z) = e xy +2arcsinz i punkten (0,1,0) i riktning av vektorn (-1,0,1). I vilken riktning växer f i (0,1,0) snabbast? Vilka värden antar riktningsderivatan i (0,1,0) då u är en godtycklig enhetsvektor? 45. Låt f (x, y) = 1 +2x + 4y. Ange den riktning i vilken tillväxthastigheten av f i punkten (4,-2) är minst. 46. Låt z(x, y) = f (2x + 3y). Beräkna riktningsderivatan av z i punkten (1,1) i riktning av vektorn v = (3,4) då' f (5) = 4.. Vilka värden kan riktningsderivatan z u (1,1) anta då u är en godtycklig en hetsvektor? 47. Funktionen f(u,v) är differentierbar i hela R 2. Sätt h(x, y,z) = f (x / y, y / z), y > 0, z > 0. Beräkna x h x + y h y + z h z uttryckt i u och v och partiella derivator av f. 1 48a. Transformera ekvationen x f x - 1 y f y = 0 genom u = ln(x 2 + y 2 ), v = ln(x 2 - y 2 ). 48b. Transformera uttrycket z xx - 2x z xy + x 2 z yy genom x = u, y = v - u2 48c. Transformera ekvationen z xx + 2. z yy = 0 genom x = u + v, y = 2u - v. 49. Visa att ekvationen x y + sin y =1 definierar y som funktion av x i en omgivning av punkten (1,0) och beräkna y (1). 50. Visa att det i en omgivning av origo finns en funktion z(x,y) som satisfierar ekvationen x 3 + y 3 + z 3 + x 2 z - yz - z = 0. Beräkna för denna funktion z x och z y. 51. Bestäm alla punkter på ytan z = x y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z = 0. 52a. Bestäm ekvationen för tangentenlinjenoch normalen till kurvan r(t) = (sin t, cos t, cos 2t + sin 2t), 0 t 2p i punkten (0,-1,1) xy / 2, (1,0,2), [- 5, 5]. 45. [-1,-2] /5, [- 208, 208] a.. f v = 0. 48b. z uu + z v 48c. 2 z uu + 2 z uv + 5 z vv = z x = -3x 2-2xz 3z 2 + x 2 - y -1, -3y z + z y = 3z 2 + x 2 - y (-1/2, -1/8,5/16). 52a. (x,y,z) = (-t,- 1,1 + 2t).

6 52b. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan x = (2 + cos t + sint) cost, y = (2 + cos t + sint) sin t i den punkt som svarar mot t = p / Bestäm ekvationen för tangentlinjen och norm alen till nivåkurvan f(x,y) = 6 i punkten (2,1) då f (x, y) = x 2 y + xy Bestäm ekvationen till tangentplanet och normalen till ytan a. x 3 + y 3 + z 3-3z = 2 i punkten (1,-1,2). b. z -arctan y - 2x = 3 i punkten (1,2,3). x + z 55. Bestäm ekvationen till tangentplanet och normalen till ytan a. z = x 2-4y 2 i punkten (5,2,9). b. z = x + y + 3arctan y - 2x i punkten (1 2,3). x + y 56. Betrakta funktionen f(x,y) = sin(3x - 2y - 5)cos(2x - 3y). Bestäm en linjär approximation till f i en omgivning till punkten (3,2) och beräkna ett approximativt värde till f(3.1,2.2). 57. Betrakta funktionen f(x,y) = sin(2x -y) + 21n(y -x). Bestäm en linjär approximation till f i en om givning till punkten (1,2) och beräkna ett approximativ värde till f(1.1, 2.2). 58. Bestäm lokala extrempunkter och deras karaktär till funktionen a. f (x, y) = xye -(x2 +y 2 )/2. b. f (x, y) = x y + 8 x - y. 59. Bestäm lokala extrempunkter och deras karaktär till funktionen a. f (x, y) = 3x 2 +3xy + y 2 + y 3. b. f (x, y) = x 3 y 2 +27xy + 27y. c. f (x, y) = x 2 + y 2 + 2z 2. d. f (x, y) = x 2-2y 2 + z 2-2x + 4y + 2z. 60. Bestäm det största och minsta värdet av a. x 2 - xy + y 2 - x - y +1 då (x,y) varierar inom och på randen av triangeln med hörn i punkterna (0,-1), (0,1), (2,0). b. x 3 + y 2-3y då x 2, 0 y 2. c. 2x 2 + 4x - y +5 då x 2 y 2 - x. d. x +7y då x 2 + y 2 2, y 1. e. x - y då x 2 + y f. x + 2y då x y g. x x 2 - y 2. h. x + 2y x 2 - y 2 52b. 3y - x = 9, 3x + y = x + 2y = 4, 2x - y = 3. 54a. Tangentplan: x + y + 3z = 6. Normal: (1,-I,2) + t(l,l,3). 54b. Tangentplan: 2x -y + 4z = 12. Normal: (1,2,3) + t(2,-1,4). 55a. Tangentplan: 10x -16 y - z = 9. Normal: (5,2,9) + t(10,-16,-1). 55b. Tangentplan: x - 2y + z = 0. Normal: (1 2,3) + t(l,-2,1). 56. p(x,y)=-3x-2y p(x,y) = y a. 1ok. max. i ±(1,1), 1ok. min. i ±(1,-1). 58b. lok. max. i (-4,2) 59a. l. min. i (0,0) 59b 1.max i (-3,-1). 59c. l. min i (0,0,0). 59d. saknas 60a 3 och 3/28. 60b. 8 och -41/4. 60c. 10 och 1/8. 60d.-10 och 8. 60e. 2 5 och f. 2 5 och g. 2 och h. 6 och - 30.

7 61. Visa att ekvationen x 3 + y 3 + z 3 + x + y + z = 6 definierar i en omgivning av punkten (1,1,1) precis en funktion z = z (x,y). Beräkna z xy (1,1). 62. Visa att ekvationen x + y + sin xy = 0 definierar i en omgivning av punkten (0,0) precis en strängt avtagande funktion y = y(x). Ï x = u 2 - v Visa att ekvationssystemet Ì y = uv där u 2 + v 2 0, definierar lokalt precis en Ó z = 3u - v kontinuerligt deriverbar funktion z = z(x,y). Beräkna z x (0,1) och z y (0,1) då man vet att z(0,l) = Visa att det finns en omgivning av punkten (x,y,u,v) = (1,1,1,1) i vilken ekvationssystemet Ï 2x 2 + uy + v 2 = 4 Ì Ó u 2-2uv + y 2 = 0 definierar precis en kontinuerligt deriverbar funktion a. u = u(x,y). Beräkna u x (1,1). b. x = x(u,v). Beräkna x u (1,1). 65. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t = 1 för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2t + t 2, t - t 2, 8t). 66. Bestäm längden av kurvan b. x = e t (cost + sin t), y = e t (cost -sin t), 0 t 1. c. x = t - sint, y =1-cos t, 0 t 2p. 67. Beräkna ÚÚ xy dx dy, där D begränsas av y = x 2, y = 8x 2, xy = 8. D xy 68a. Beräkna ÚÚ dx dy, där D ges av x 2 y 1, och, x 0. D 1 + y 3 68b. Beräkna ÚÚ x dxdy, där D begränsas av 2x + y = 0, y = x 3-5x x. D 68c. Beräkna x 17 ÚÚ dx dy, där D begränsas av kurvan y = x 3 - x och x - axeln. D 1 +x 4 + y 4 68d. Beräkna 68e* Beräkna 1 ÚÚ dx dy, där D ges av 1 x 2 + y 2 4, x 0 och y 0. D (x 2 + y 2 ) 3/ 2 1 ÚÚ dx dy, där D ges av x 2 + y 2 1, och x + y 1. D (x 2 + y 2 ) 3/ Beräkna ÚÚ (x + y)e y dx dy, över triangeln med hörnen i punkterna (0,0), (1,0) och (0,1). D / z x (0,1) = z y (0,1) =1. 64a b. -1/ (4,-1,8), 9, (2,-2,0). 66a. 2e-2. 66b ln2. 68a. (ln 2)/6. 68b 69/20. 68c d. π/4. 68e. 2 - π/ /2.

8 1 70. Beräkna ÚÚ dx dy, D : x 2 + y 2 1. D (1+ x 2 + y 2 ) Beräkna (x + y)e x 2 -y ÚÚ 2 dx dy, D : x + y 1, 0 x - y 1. D 72. Beräkna följande integraler: a. ÚÚÚ xy 2 z 3 dx dy dz, där begränsas av z = xy, y = x, x =1, z = 0. b. ÚÚÚ ( 1 x + 1 y + 1 ) dx dy dz, då är kuben 1 x a, 1 y a, 1 z a. z c. ÚÚÚ cosx cos(x + y) cos(x + y + z) dx dy dz, då begränsas av planet x + y + z = p / 2 och koordinatplanen. d. ÚÚÚ x 3 sinzcosz dx dy dz, då ges av 0 x 1, -1 y 1, 0 z p / 2. e. ÚÚÚ x + y dx dy dz, då ges av 0 x + y z 2 y 1, z 0. f. xz ÚÚÚ 2 dx dy dz, då ges av x 2 + y 2 1, 0 z x, y 0. (1+ y) g. ÚÚÚ (x + y + z) dx dy dz, då ges av 0 x z, z 2x 2, 0 y x + z. 73. Beräkna följande trippelintegraler: x + y a. ÚÚÚ dx dy dz, då ges av 0 x + y 2, 1 x + z 2, 1 y + z 2. (x + z)(y + z) b. ( x y + y x + z 2 ÚÚÚ 3 3 ) dx dy dz, då ges av 1 x 2, x y 2x, y z 2y. xy 1 c. ÚÚÚ 2 dx dy dz, över kroppen x 2 + y 2 z z 74. Beräkna arean av det område som begränsas av a. xy =1, xy = 2, y = x 2, y = 8x 2, x 1. b. x 2/3 + y 2/ 3 = Beräkna volymen av den kropp som begränsas av a. z = y 2, x 2 + y 2 =1 och z = 0. b. x 2 + z 2 =1, y = 3x och y = 0. c. x = y 2 + z 2 och x 2 = y 2 + z 2. d. x 3 = y 2 + z 2 och x = 2. e. z = x 2 + y 2, y = x 2, y =1 och z = π/ (e - e -1-2) / 2 72a. 1/ b. 3(a -1) 2 ln a. 72c. 1/6. 72d. 1/4. 72e. 1/18. 72f. 1/24. 72g. 19/8. 73a. (ln2) 2. 73b c. (π/2)ln 2. 74a. ln 2. 74b. 24π. 75a. π/4. 75b c. π/6. 75d. 4π. 75e. 88/105.

9 76. Undersök om vektorfältet F är konservativt. Om detta är fallet så bestäm en potential. a. F(x, y) = (2x + 3y, 3x + 3y 2 ). b. F(x, y) = (3xy, x 2 + 3y 2 ). c. F(x, y,z) = (x + y, xz, z). d. F(x, y,z) = (2xz, z 2, x 2 + 2yz). e. F(x, y,z) = (y + z 2, x, 2xz). f. F(x, y) = (y + y 2, x + 2xy). g. F(x, y) = (xy + y, 2x - y). h. F(x, y,z) = (x + z, 2xy, yz). 77a. Beräkna x dx + y dy Ú längs y = 2x från (1,2) till (2,4). x + y 77b. Beräkna Ú (x 2 + xy) dx + (x - xy 2 ) dy i positiv led runt triangeln med hörnen i punkterna (-1,0), (1,0) och (0,1). 77c. Beräkna Ú (x 2 + y) dx + (x + y 2 ) dy från punkten (1,-1) till punkten (-3,3) längs kurvan x - y +2x + y = 3. 77d. Beräkna Ú (x + y) dx + (y - x) dy + (x + y + z) dz, där ges av x = cost, y = sint, z = sint + cos t och t går från π till 0. 77e. Beräkna Ú ( 1- x - y + x) dx + ( 1- x - y längs cirkeln x 2 + y 2 =1. + 2y) dy, från punkten (1,0) till punkten (0,1) moturs 78. Betrakta vektorfältet F(x, y,z) = (ay + z 2, 2x + z, 2xz + y). Bestäm värdet på konstanten a så att fältet får en potential. Bestäm den potential till F ßsom har värdet 2 i punkten (0,1,2) och beräkna linjeintegralen Ú F dr tagen längs kurvan x = 2t, y = cos(t 2 - t), z = 2 - t 2 från punkten (0,1,2) till (2,1,1). 79. Betrakta vektorfältet F = (yz, xz + z 2, xy + 2yz). Bestäm (om det finns) den potential f till Fsom har värdet 2 i punkten (2,1,0) och beräkna linjeintegralen Ú F dr tagen längs en godtycklig väg från punkten (2,1,0) till (3,2,1). 80a. Beräkna Ú (x 2 + y 2 ) ds, då ges av x = 4t -1, y = 3t +1, -1 t 1. 80b. Beräkna Ú (xy + y) ds, då ges av x = 3cost, y = 3sin t, z = 4t, 0 t p. 80c. Beräkna Ú (2x + x 2-9y) ds, då är parabelbågen 9y = x 2 mellan punkterna (0,0) och (6,4). 76a. konservativt, x 2 + 3xy + y 3. 76b. ej konservativt. 76c. ej konservativt. 76d. konservativt, x 2 z + yz 2. 76e. konservativt, xz 2 + xy. 76f. konservativt, xy 2 + xy. 76g. ej konservativt. 76h. ej konservativt. 77a. 5/3. 77b. 5/6. 77c d. π. 77e. 1/ a = 2, Ú = f = xyz + yz Ú = 8. 80a. 310/3. 80b c. 49.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen MVE85 Flervariabelanalys 26-8-26 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Malik, telefon: anknytning 5325 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad,

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004.

Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004. Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 24. 1. Gausselimination ger: 2 3 5 2 1 5 6 b 1 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 3 b/3 1 8 1

Läs mer

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod. Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2010 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, alculus: a complete course, 6th ed., Addison Wesley,

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2 ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version Studiehandledning till MMA128 ifferential- och integralkalkyl III läsåret 2012/13 Version 2013-06-07 ursinformation för MMA128 Mål Avsikten med kursen MMA128 ifferential- och integralkalkyl III är att

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling. Jourtelefon:

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas

Läs mer

Matlab övningsuppgifter

Matlab övningsuppgifter CTH/GU MVE5-7/8 Matematiska vetenskaper Matlab övningsuppgifter Inledning Vi skall först se hur man kan lösa system av icke-linjära ekvationer. Därefter skall vi se på optimering utan bivillkor. Vi skall

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer