Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Transkript

1 MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: kl Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. Betygsgränser: 2-29 p. ger betyget 3, 3-39 p. ger betyget 4 och 4 eller mer betyget 5. (Bonuspoäng från duggor / inkluderas.) Lösningar läggs ut på kursens (/) webbsida senast 2/3. Resultat meddelas via Ladok senast ca. tre veckor efter tentamenstillfället. ärefter kan tentorna granskas och hämtas på MV:s exp. öppen alla vardagar (a) Låt f(x, y) = xy + ln(xy 2 ) vara definierad för x >, y >. Ange en ekvation (3p) till tangentplanet till ytan z = f(x, y) i punkten (,, ). (b) Bestäm linjäriseringen för f(x, y) = xy + ln(xy 2 ) i (, ) och utnyttja denna för att bestämma ett approximativt värde på f(.,.9) (3p) 2. (a) efiniera begreppet egenvärde och egenvektor för en kvadratisk matris. (2p) (b) Matrisen A = har egenvärdena och. Bestäm respektive egenvektorer. Ge argument som visar att A är diagonaliserbar. Ange en matris P som diagonaliserar A och ange motsvarande diagonalmatris, dvs A = P P. (5p) 3. (a) Beräkna dubbelintegralen (3p) dxdy 6 x 2 y, 2 där ges av x 2 + y 2 4, y x y. (b) Beräkna arean av den del av planet z = + 2x + 2y som ligger i området K : y x 2. (3p) 4. Ett plan i R 3 spänns upp av vektorerna [ ] T [ och 2 ] T 2 (a) Bestäm en ortogonal bas för planet. (2p) (b) Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn [ 2 ] T på planet. (2p) (c) Bestäm avståndet från punkten (, 2, ) till planet. (2p) Var god vänd!

2 5. (a) Vad menas med att ett vektorfält F är konservativt i ett område Ω R 3? (2p) (b) Låt F (x, y, z) = (e x cos y + yz)i + (xz e x sin y)j + (xy + z)k. Avgör om vek- (3p) torfältet F är konservativt i R 3. Motivera väl. (c) För F i (b) beräkna kurvintegralen C F dr där C är spiralen r = r(t) = (3p) cos πti + sin πtj + tk från (,, ) till (,, ). 6. Bestäm största och minsta värdena för funktionen f(x, y) = y 2 +(x 2 )y i triangeln (6p) med hörn i (2, 2), ( 2, 2) och (2, 2). 7. Bestäm en ekvation för tangentlinjen till skärningskurvan mellan de två ytorna (6p) z = x 2 + y 2 och yz 2 x = i punkten ( /2, /2, ). 8. Formulera och bevisa kedjeregeln för f g då g : R R 2 och f : R 2 R. (6p)

3 Lösningar. (a) Man verifierar lätt att (,, ) ligger på ytan. Vi har också att x = y + xy 2 y2 och y = x + xy 2 (2xy) och speciellt är (, ) = 2 och (, ) = 3. Tangetplanet till ytan i punkten (,, ) ges av ekvationen dvs z = + 2(x ) + 3(y ). Svar: z = 2x + 3y 4. z = (, )(x ) + (, )(y ), (b) Linjäriseringen för f(x, y) i (, ) ges av L(x, y) = f(, ) + (, )(x ) + (, )(y ) = + 2(x ) + 3(y ). Ett approximativt värde beräknas enligt f(.,.9) L(.,.9) = + 2(. ) + 3(.9 ) = (a) Se kursboken. (b) Vi söker egenvektorerna till egenvärdena och. λ = : Vi har A I 3 = Vi ser att matrisens nollrum spänns upp av vektorerna v = λ 2 = : Vi har A + I 3 = och v 2 = Efter återsubstitution ser vi att matrisens nollrum spänns upp av vektorn v 3 =. Enligt en sats i kursboken blir vektorerna {v, v 2, v 3 } linjärt oberoende och därmed bildar en bas av egenevektorer i R 3. Enligt satsen om diagonalisering är A diagonaliserbar dvs A = P P där P = [v v 2 v 3 ] =, =

4 3. (a) Vi går över till de polära koordinaterna x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Vårt nya integrationsområdet blir rektangeln E = {(r, ϕ) : r 2, π/4 ϕ 3π/4} och vi får alltså = = 3π/4 π/4 3π/4 π/4 dxdy 6 x 2 y = 2 ( 2 E rdrdϕ 6 r 2 ) rdr dϕ = (variabelsubstitution x = 6 r 2 ger) 6 r 2 [ 6 r 2 ] 2 dϕ = (2 3)π. (b) Ytan parametriseras av r(x, y) = (x, y, + 2x + 2y), där y x 2 och x. Beteckna ytan med Σ. å blir r x = (,, 2), r y = (,, 2) och r x r y = ( 2, 2, ). Alltså är r x r y = = 3 och arean blir Σ ds = 3dxdy = 3 arean av = 3 ( x 2 )dx = 3 ] [x x3 = (a) Vi bestämmer en ortogonal bas mha Gramm-Schmidt metoden. Vi väljer den första basvektorn som b = [ ] T och beräknar den andra mha av formeln:. b 2 = v 2 v 2 b b b b = [ 2 ] T (b) Om v = [ 2 ] T ges den sökta projektionen av proj W v = v b b + v b 2 b 2 = 2 b b b 2 b (c) Avståndet ges av d = v proj W v = [ ] T = (a) Se kursboken. 2 = (b) Ett sätt att visa att fältet F är konservativt är att bestämma en potential, dvs en funktion ϕ : R 3 R sådan att x = F (x, y, z) = e x cos y + yz, y = F 2 (x, y, z) = xz e x sin y z = F 3 (x, y, z) = xy + z. en första ekvationen ger ϕ(x, y, z) = e x cos y + xyz + C(y, z) för någon funktion C(y, z) av två variabler. Insättning i den andra ekvationen ger e x sin y + xz + C y(y, z) = xz e x sin y varav C y(y, z) = och därmed C(y, z) = (z) för någon funktion av en variabel. Vi har alltså ϕ(x, y, z) = e x cos y+xyz +(z). Insättning i den tredje ekvationen ger likheten xy + (z) = xy + z varav (z) = z och (z) = z 2 /2 + K, där K är en konstant. Vi har därmed funnit att ϕ(x, y, z) = e x cos y + xyz + z 2 /2 + K

5 är potentialer till det givna fältet. (b) en sökta kurvintegralen erhålles nu lätt: F dr = ϕ(,, ) ϕ(,, ) = e e + /2. C 6. Eftersom funktionen f saknar singulariteter så måste extremvärdena antas antingen i kritiska punkter i det inre av triangeln eller i punkter på randen. Vi börjar med att bestämma ev. kritiska punkter till f. Vi har f(x, y) = (2xy, 2y + x 2 ) = 2xy = och 2y + x 2 = Ur den första ekvationen får vi x = eller y = Insätning i den andra ekvationen ger oss kritiska punkter (, /2), (, ) och (, ). Man ser lätt att endast (, ) ligger i det inre av triangeln och f(, ) =. Vi undersöker sedan de tre randsidorna: R : y = x, 2 x 2, R 2 : x = 2, 2 y 2 R 3 : y = 2, 2 x 2. R. g (x) = f(x, x) = x 2 + x 3 x. Vi har g (x) = 3x2 + 2x = x = eller x = /3. Både dessa kritiska punkter ligger i intervallet 2 x 2. och funktionvärdena i dessa punkter är g ( ) =, g (/3) = 5/27. Funktionvärdena i ändpunkter är g ( 2) = 2, g (2) =. R 2 : g 2 (y) = f(2, y) = y 2 +3y. Vi har g 2 (y) = 2y+3 = y = 3/2. Punkten ligger i intervallet 2 y 2 och funktionvärdet g 2 ( 3/2) = 9/4. Funktionvärdena i ändpunkter är g 2 ( 2) = 2, g 2 (2) =. R 3 : g 3 (x) = f(x, 2) = 4 (x 2 )2 = 2x et har sitt största värde på intervallet [ 2, 2] i punkten x =, f() = 6, minsta värdet antas i punkterna x = ±2 och är lika med 2. Vi har alltså att funktionens största och minsta värde på triangeln är och respektive 9/4. 7. En normal till ytan g(x, y, z) = z + x 2 y 2 = i punkt (x, y, z) på ytan ges av g(x, y, z) = (2x, 2y, ), speciellt i punkten ( /2, /2, ) blir den N = (,, ). En normal till ytan f(x, y, z) = yz 2 x = i (x, y, z) på ytan är f(x, y, z) = (, z 2, 2yz), och speciellt i punkten ( /2, /2, ) blir den N 2 = (,, ). En tangentvektor, v, till skärningskurvan mellan ytorna i ( /2, /2, ) är ortogonal till både N och N 2. Vi kan alltså ta v = N N 2 = ( 2,, 2). Linjen genom ( /2, /2, ) med riktingsvektorn v ges av ekvationen (x, y, z) = t( 2,, 2) + ( /2, /2, ). 8. Se kursboken eller föreläsningsanteckningar.