Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

Transkript

1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. För godkänt på tentan krävs 3 poäng på tentamens första del (godkäntdelen). Bonuspoäng från duggor 3 räknas med. För betyg 4 resp. 5 krävs dessutom 33 resp. 43 poäng sammanlagt på tentamens två delar, varav minst 4 resp. 6 poäng på del. Lösningar läggs ut på kursens hemsida. Resultat meddelas via Ladok ca. tre veckor efter tentamenstillfället. Del : Godkäntdelen. Denna uppgift finns på separat blad på vilket lösningar och svar skall skrivas. Detta blad (6p) inlämnas tillsammans med övriga lösningar.. (a) Formulera satsen om största och minsta värde. (p) (b) Undersök om funktionen f(x) = x e x antar något största eller minsta värde. Ange i så fall dessa. Vi deriverar f (x) = xe x + x e x ( x) = xe x ( x ) och vi ser att f (x) = då x = och x = ±. Teckenstuderar vi får vi ett lokalt minimum i (, ) som också är där vi har ett minsta värde som då är och lokalt maximum i punkterna (, e ) och (, ) som också är e där vi har ett största värde nämligen e. (c) Har f några asymptoter? Ange i så fall dessa! Låter vi x ± ser vi att y vilket ger oss en vågrät asymptot y =. 3. (a) Skriv ner definitionen av vad som menas med att den generaliserade integralen är konvergent. Se boken sida 5. a f(x) dx (b) Avgör för var och en av följande generaliserade integraler om de är konvergenta eller divergenta( motivera ditt svar!). (p) (p) x 3 dx x dx 4 x dx Konvergent Konvergent Divergent

2 4. Låt D vara det område som begränsas av kurvorna y = 8, x och y = x, x x + och y axeln. (a) Beräkna arean av området D. Rita figur! Vi börjar med att rita en figur y y = x A y = 8 x+ och räknar sedan ut skärningspunkten mellan kurvorna som vi får till x =. Arean blir då x A = 8 ( x) dx =... = (4 ln )a.e. x + (b) Beräkna volymen av den kropp som bildas då området D roterar kring y-axeln. Vi använder oss av skalmetoden( går även bra med skivmetoden) och får då att V = 8 πx( x) dx = x + π( 8x x + x ) dx = π(8 6 x + x ) dx =... = π (8 96 ln ) 3 5. Rita grafen till funktionen f(x) = e x 4x +. Ange alla eventuella lokala extrempunk- (5p) ter och asymptoter. Du behöver inte utreda var kurvan är konvex/konkav. Vi har att y då x ± vilket innebär att vi har en vågrät asymptot y =. Vi deriverar f(x) och får f (x) = e x ( x) 4x + + e 8x x 4x + = x(4x + ) + 4x e x 4x + = x( 4x ) e x 4x +. f (x) = då x = och x = ±.

3 Teckentabell x f (x) + + f(x) e /4 e /4 Vi ritar nu grafen till f. y y = e x 4x + x VÄND!

4 Del : Överbetygsdelen I allmänhet kan inte poäng på dessa uppgifter räknas in för att nå godkäntgränsen. 6. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska, samt motivera ditt svar. (Rätt svar utan motivering ger inga poäng.) (a) π e cos x dx = Falskt. Funktionen f är positiv i integrationsintervallet. π e cos x dx >. (b) Det finns en funktion f som har en inflexionspunkt i x =, men där f () ej existerar. (p) (p) Sant. Tag tex f(x) = x x som har en inflektionspunkt för x =, men där f () ej existerar. 7. Kurvan y = ln x är given. Om vi drar en tangent till kurvan i en punkt P avgränsar (4p) tangenten tillsammans med positiva x axeln och positiva y axeln ett triangulärt område. Bestäm punkten P så att arean av detta område blir så stor som möjligt. Vi börjar med att rita en figur B E A O D C Tangentens ekvation: y ( ln a) = (x a). a y = ger x = a( ln a) och x = ger y = ln a. Areafunktionen blir då A(a) = a( ln a)( ln a) = a( ln a).

5 Vi deriverar A(a) och får A (a) = ( ln a) + a( ln a) a ) = ( ln a)( + ln a) Löser vi ekvationen A (a) = får vi att a = e. Teckenstuderar vi får vi ett lokalt maximum i punkten ( e, ) som också är största värde. e 8. (a) Formulera och bevisa analysens huvudsats. (4p) Se boken på sidorna (b) Beräkna derivatan av funktionen (p) x f(x) = e t dt i punkten x =. Vi kan skriva f(x) = S( x), där S(x) = analysens huvudsats. Enligt kedjeregeln får vi då att Vi får därför att f () = e. x e t dt har derivatan S (x) = e x enligt f (x) = S ( x) D x = e ( x) x = e x x. Lycka till! Jonny L

6 Anonym kod sid.nummer Poäng LMA33a Matematik BI 443. Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats (endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas). (a) Visa att funktionen f(x) = x + ln x är strängt växande. (p) Vi har D f = {x : x > }. Deriverar vi f får vi f (x) = + x = x + >, då x x > f srängt växande. Svar: (b) Beräkna integralen x (x 3 + ) 7 dx. x (x 3 + ) 7 dx = 3 (x + ) 7 3x dx = (x 3 + ) 8 + C. 4 Svar: x (x 3 + ) 7 dx = (x3 + ) 8 + C. 4 (c) Beräkna integralen π/ π/ cos x sin x dx = Svar: t dt = π/ π/ [ t t 3 dt = 3 cos x sin x dx = 3. { t = x 3 } + dt = 3x = dx 3 t 7 dt = t8 4 + C = cos x sin x dx, samt gör en geometrisk tolkning av resultatet. cos x sin x dx = ] = 3. π/ cos x( sin x) dx = { } t = cos x = dt = sin xdx Eftersom f är positiv i intervallet [, π ] kan integralen tolkas geometriskt som arean mellan grafen till f och x axeln. (d) Beräkna integralen x + 7x + dx. x + 7x + dx = Svar: ln x + 3 ln x C. A ( x B x + 4 ) dx = ( x + 3 ) dx = ln x+3 ln x+4 +C. x + 4 (e) En partikel har den konstanta accelerationen 5 m/s. Bestäm hur vägen beror av tiden om hastigheten är 9 m/s vid tiden 3 s och att vägen är 5 m vid tiden 3 s. Givet: a(t) = 5 v(3) = 9 s(3) = 5. s (t) = 5 s (t) = 5t + C s(t) = 5t + Ct + D. C och D bestäms med hjälp av villkoren ovan och vi får då att s(t) = 5t 6t +. Svar: s(t) = 5t 6t +. (4p)