Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Transkript

1 Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E kl Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa För godkänt på tentan krävs antingen 25 poäng på godkäntdelens två delar sammanlagt, eller att båda delarna är godkända var för sig. För godkänt på del krävs minst poäng, för godkänt på del 2 krävs 3 poäng. Erhållen poäng på någon av delarna får ersätta poäng på motsvarande del på senare tentamen tills kursen ges nästa läsår. För godkänt på kursen skall också Matlabmomentet vara godkänt. För betyg 4 eller 5 krävs dessutom 33 resp. 42 poäng sammanlagt på tentamens alla delar. Lösningar läggs ut på kursens webbsida första vardagen efter tentamensdagen. Tentan rättas och bedöms anonymt. Resultat meddelas via Ladok ca. tre veckor efter tentamenstillfället. Första granskningstillfälle meddelas på kurswebbsidan, efter detta sker granskning alla vardagar 9-3, MV:s ep. Godkäntdelen, del Uppgift och 2 se nästa blad Godkäntdelen, del 2 Uppgift 3, 4 och 5 se blad 3 Överbetygsdelen Endast om man ligger enstaka poäng från godkänt och presterat riktigt bra på någon av följande uppgifter kan poäng på denna del räknas in för att nå godkäntgränsen. Normalt krävs för poäng på uppgift att man redovisat en fullständig lösningsgång, som i princip lett, eller åtminstone skulle kunnat leda, till målet. 6. Bestäm största och minsta värde av funktionen f(, y, z = 2 + z på skärningskurvan mellan cylindern 2 + y 2 = 8 och planet + y + z =. (6p Lösning: Inför Lagrangemultiplikatorer och få att man ska leta efter kritiska punkter till L(, y, z, λ, µ = 2 + z + λ( 2 + y µ( + y + z. ätt de fem partiella derivatorna till. Den partiella derivatan map z ger oss att µ =. De partiella derivatorna map och y ger oss då att 2λ = och 2yλ = och av detta ser vi att λ och att = y. Bivillkoret 2 + y 2 = 8 ger nu = 2, y = 2 eller = 2, y = 2. Det andra bivillkoret ger nu z =. Det minsta värdet av 2 + z under bivillkoren är alltså 3 och det största är Två parallella plan skär en sfär. Visa att arean av den del av sfären som ligger mellan planen endast beror på sfärens radie och avståndet mellan planen. (6p

2 Lösning. Låt vara den delyta av sfären som ligger mellan de två planen. Vi kan uppenbarligen fritt anta att de två planen är parallella med y-planet, dvs att de ges av z = z och z = z, z < z. Vi söker d. Om sfären har radie R ges en parametrisering av av = R sin φ cos θ, y = R sin φ sin θ, z = R cos φ med θ 2π och arccos(z /R φ arccos(z /R. Areaelementet är d = R 2 sin φ dφdθ, så arccos(z d = 2πR 2 /R sin φdφ = 2πR(z z. arccos(z /R Detta uttryck beror bara av skillnaden mellan z och z. 8. Formulera följande satser (beteckningar skall förklaras och förutsättningar/villkor skall anges; (a Greens sats (b Gauss sats (divergenssatsen (c tokes sats Lösning: Vi börjar med tokes sats. Låt vara en glatt yta i rummet som har kontinuerlig enhetsnormal ˆN(, y, z, (, y, z och glatt randkurva orienterad moturs sedd från spetsen av normalen. Då säger tokes sats att för ett glatt fält F, F dr = ( F ˆNd. Greens sats är specialfallet när ytan ligger i y-planet och normalen är k = (,,. Vi får då ( F2 F dr = F da. y Gauss sats säger att om R är en kropp i rummet och dess randyta försedd med en utåtriktad styckvis glatt enhetsnormal ˆN gäller F ˆNd = FdV. R Lycka till! Johan Jonasson

3 Formelblad för TMA43 och MVE85, / Trigonometri. cos( + y = cos( cos(y sin( sin(y sin( + y = sin( cos(y + cos( sin(y cos( cos(y = (cos( y + cos( + y 2 Integralkatalog a d = a+ a + +, a sin d = cos + cos 2 d = tan + e d = e a 2 d = a arctan a +, a a 2 d = arcsin a +, a > 2 + a d = ln a +, a sin( sin(y = (cos( y cos( + y 2 sin( cos(y = (sin( y + sin( + y 2 tan( + y = tan( + tan(y tan( tan(y d = ln + cos d = sin + sin 2 d = cot + a a d = ln a +, < a f ( d = ln f( + f( a 2 d = 2 a 2 + a 2 arcsin +, a > a 2 + a d = 2 ( 2 + a + a ln a + Maclaurinutvecklingar e = sin = cos = ( + α = ln( + = arctan = k= k k! ( k 2k (2k! k= k= ( k 2k ( α k k= ( k= ( k= (2k! = ! + 3 3! +... k = + α + k+ k k k 2k 2k = 3 3! + 5 5! 7 7! +... = 2 2! + 4 4! 6 6! +... α(α , <, 2! = , < = , ( α k = α(α... (α k + k(k... Övrigt ρ(, y, z ddydz Ω Masscentrum ( T, y T, z T för Ω ges av T = Ω ρ(, y, z ddydz, analogt för y T, z T. ρ(, y, z är densiteten.

4 Anonym kod sid.nummer Poäng TMA43 Flervariabelanalys E Godkäntdelen: del. Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats(endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas. (a Ge en intuitiv beskrivning av begreppet gränsvärde för funktioner av två variabler. Lösning: Att lim (,y (a,b f(, y = L betyder att f(, y är godtyckligt nära L så fort (, y är tillräckligt nära (a, b. (b Bestäm ekvationer för tangentplanet och normallinjen till funktionsytan z = 2 y 2y + 5 i punkten (, 3, 2. Lösning: Ytan kan ses som nivåytan till f(, y, z = 2 y 2y z genom (, 3, 2. Gradienten f(, 3, 2 är alltså normalvektor till tangentytan och riktningsvektor till normallinjen. Vi har f = (2y, 2 2, så f(, 3, 2 = (6,,. Tangentplanet ges alltså av 6 y z = D där D bestäms av att tangentplanet går genom (, 3, 2, dvs D = =. Tangentplanet är alltså 6 y z =. Normallinjen ges (på parameterform av (, y, z = (, 3, 2 + t(6,,, t R. (c Antag att en partikels position i y-planet vid en tidpunkt t ges av r = t 3 i + tj. kissa partikelns rörelsebana för t och ange partikelns fart vid varje tidpunkt t under detta tidsintervall. När har partikeln lägst fart? Lösning: Hastigheten är r (t = (3t 2, varför farten är + 9t 4. Lägst är farten alltså då t =. Till följande uppgift skall fullständig lösning redovisas på separat skrivpapper. Motivera och förklara så väl du kan. 2. Låt f(, y = 6y 2 3 3y 2 och låt Ω vara det kvadratiska området 2, y 2. (a Bestäm alla kritiska punkter till f(, y. (b Bestäm det största värde som f(, y antar på randen av området Ω. (c Bestäm det största värdet som f(, y antar på området Ω. (p Lösning: Vi har att f = (6y 6 2, 6 6y. ätt denna till och få y = = 2. Detta ger = y = eller = y =. De kritiska punkterna är alltså (, och (,. Randen består av områdena = och = 2, y 2, och y = och y = 2, 2. Vi har att f(, y = 3y 2, f(2, y = 2y 3y 2 6 = 4 (y 2 2, f(, = 2 3, f(, 2 = Inget av dessa uttryck överstiger på aktuellt område. Detta är uppenbart för alla utom det sista uttrycket. Genom att sätta derivatan av det uttrycket till ser vi att det maimeras då = 2 och blir då <. Eftersom f(, = ser vi att är funktionens största värde på randen. Eftersom f(, = måste vara funktionens största värde.

5

6 Anonym kod sid.nummer Poäng TMA43 Flervariabelanalys E Godkäntdelen: del 2 3. Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats(endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas. (a Låt D vara triangelområdet med hörn i (,, (, och (,. Avgör om den generaliserade integralen ddy är konvergent eller divergent. y2 Lösning. D D y 2 ddy = = 2 3 Integralen är alltså konvergent, med värde 4/3. ( y y 2 y dy = 4 3. d dy (b Beräkna massan av den kropp K som begränsas av y-planet och paraboloiden z = 2 2 y 2, och som består av ett material med densiteten δ(, y, z = z Lösning: Man ska beräkna K z ddydz. K z ddydz = 2 ( z ddy dz = π (,y: 2 +y 2 2 z 2 z(2 z dz = 4π 3. Till följande uppgifter skall fullständiga lösningar redovisas på separata skrivpapper. Motivera och förklara så väl du kan. 4. Låt vara cirkelbågen 2 + y 2 = 4,, y orienterad moturs (dvs. från (2, till (, 2. (a Beräkna kurvintegralen f(, y ds, där f(, y = 2 + y. (b Beräkna kurvintegralen F dr, där F = 2i + yj Lösning: Kurvan parametriseras av r(t = (2 cos t, 2 sin t, t π/2. åledes gäller ds = 2dt, varför π/2 (2 + yds = 2 (4 cos t + 2 sin tdt = 2. Vi har också att dr = ( 2 sin t dt, 2 cos t dt, så att F(t dr = (4 cos t, 2 sin t ( 2 sin t, 2 cos t dt = 4 sin t cos t dt = 2 sin 2t dt. åledes F dr = 2 π/2 sin 2t dt = (a Vilken typ av andragradsyta beskrivs av parametriseringen = r cos θ y = r sin θ, r, θ < 2π (p z = r (b Avgör om hastighetsfältet F = 2zi + 2yzj + ( 2 + y 2 k är virvelfritt och/eller källfritt i R 3 (c Beräkna flödet av hastighetsfältet i deluppgift (b nedåt (dvs. i negativ z-led genom den del av ytan i deluppgift (a där r

7 Lösning: Den beskrivna ytan är en en kon med ape (dvs spets i origo och utbredning ovanför y-planet. I (b har vi F = 4z och F = (2y 2y, 2 2, 2z 2z =. Fältet är alltså virvelfritt, men inte källfritt. lutligen söker vi F ˆNd där ˆN är en nedåtriktad enhetsnormal till ytan i (a. Vi har ˆN d = (cos θ, sin θ, ( r sin θ, r cos θ, drdθ = (r cos θ, r sin θ, r drdθ och F((r, θ, y(r, θ, z(r, θ = (2r 2 cos θ, 2r 2 sin θ, r 2, så att F ˆN d = 2π (2r 3 cos 2 θ + 2r 3 sin 2 θ r 3 dθdr = π 2.