Deltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2

Transkript

1 Deltentamen godäntdelen, del TMA44 Flervariabelanalys E l. 8:3-:3 Eaminator: Peter Hegarty, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Åse Fahlander, telefon: Hjälpmedel: bifogat formelblad, ej ränedosa Tentamen på ursen består av tre delar; del och del av godäntdelen samt överbetygsdelen. Denna deltenta täcer endast den första av dessa tre delar. För godänt på tentamen som helhet rävs antingen 5 poäng på godäntdelens två delar sammanlagt, eller att båda delarna är godända var för sig. För godänt på del rävs minst poäng, för godänt på del rävs 3 poäng. Erhållen poäng på någon av delarna får ersätta poäng på motsvarande del på senare tentamen tills ursen ges nästa läsår. För betyg 4 eller 5 rävs dessutom 33 resp. 4 poäng sammanlagt på tentamens alla delar. Lösningar läggs ut på ursens webbsida första vardagen efter tentamensdagen. Tentan rättas och bedöms anonymt. Resultat meddelas i samband med undervisningen senast tre vecor efter tentamenstillfället. Godäntdelen, del se uppgift :abc och på nästa blad Lyca till! Peter Hegarty

2 Formelblad för TMA43 och MVE85, 3/4 Trigonometri. cos + y coscosy sinsiny sin + y sincosy + cossiny coscosy cos y + cos + y Integralatalog a d a+ a + + C, a sin d cos + C cos d tan + C e d e + C + a d a arctan a + C, a a d arcsin a + C, a > + a d ln + + a + C, a sinsiny cos y cos + y sincosy sin y + sin + y tan + y tan + tany tantany d ln + C cos d sin + C sin d cot + C a a d lna + C, < a f d ln f + C f a d a + a arcsin + C, a > a + a d + a + aln + + a + C Maclaurinutveclingar e sin cos + α ln + arctan!! α! + +! + 3 3! α ! + 5 5! 7 7! +...! + 4 4! 6 6! +... αα +..., <,! , < , 7 α αα...α +... Övrigt Masscentrum T,y T,z T för Ω ges av T ρ,y,z är densiteten. Ω ρ,y,zddydz Ω ρ,y,zddydz, analogt för y T,z T.

3 Anonym od sid.nummer Poäng TMA44 Flervariabelanalys E Godäntdelen: del. Till nedanstående deluppgifter sall orta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beatas. a Låt f, y e cos y. Bestäm evationen för tangentplanet till ytan z f, y i punten, π,. Lösning: I den givna punten, y, z, π, har vi p f cos y e cos y, f y siny e cos y. Tangentplanets evation lyder z z f + f y y y. Insättning leder till evationen + z. b Bestäm f, y samt s s f, y, där f, y ey, s t och y sinst. Lösning : Notera först att 3p f ye y, f y e y, f y e y, f y f y + ye y, f yy e y. Första gången vi deriverar får vi enligt edjeregeln, f s f s + f y y s f st + f y cos st e y [ sty + cos st ]. Andra deriveringen är per definition f s f [ f st + f y cos st ] t s s s s sf + t s [cos sf y]. 3 Nu måste vi använda både produtregeln och edjeregeln. Först har vi s sf f + s f s f f + s s + f y y s f + s [ stf + cos st f y ] e y [ y + s ty + cos sst + y ]. På samma sätt får vi s [cos sf y] sinsf y + cos s fy s + f y y y s sin sf y +cos s [ f y st + f yy cos st ] e y [ sins + + ystcos s + t cos s ]. Insättning i 3 ger slutligen f s ey [ sinst + ty + cos st 4 + 4scos st 3 + y + 4s t y ]. Man an substituera s t, y sin st och sriva både f/ s och f/ s endast i termer av s och t om man änner för det, men det är inte nödvändigt. Se doc den alternativa lösningen nedan.

4 Lösning : Det blir lite lättare uträningar om man substituerar diret för och y och sriver f från början som en funtion av s och t enligt fs, t e s tsin st e s sin st 3. Då har vi enligt -variabels edjeregeln samt produtregeln att f s t3 [ s cos s + ssin s ] e s sin st 3. Ytterligare tillämpning av samma två regler ger såsmåningom f s t3 e s sin st 3 [ scos s s sins + scos s + sin s + t 3 s cos s + ssin s ] t 3 e s sin st 3 [ t 3 s cos s + ssins + 4scos s + s sins ]. c Betrata urvan som ges av rt t i + 3 t3 j, t. Antag att parametriseringen besriver rörelsen hos en partiel. Bestäm partielns hastighet velocity som en funtion av t. Bestäm sedan urvans längd. Lösning: Hastigheten ges av 3p r t ti + t j. Kurvans längd ges sedan av r t dt t + t dt t + t dt. Detta är en standard integral som bestäms via substitutionen u + t. Längden blir således u du. 3 Till följande uppgift sall fullständig lösning redovisas på separat srivpapper. Motivera och förlara så väl du an.. Låt f, y + y + 8 y med definitionsmängd >, y >. a Bestäm den unia ritisa punten till f och avgör huruvida den är ett loalt maimum, ett loalt minimum eller ingetdera. b Bestäm de största och minsta värdena som antas av f i det vadratisa området 3, y 3. p c Bestäm Taylorpolynomet av grad i punten,. Ange svaret på formen f + h, p Lösning a: Den ritisa punten uppfyller f 8 y y 8. 4 f y 8 y y 8. 5 Från 4 och 5 härleder vi lätt att y så den unia ritisa punten är,. För att lassificera den använder vi andra derivatans test. I punten, har vi A f 6 3 y, B f y f y 8 y, C f yy 6. 6 y3 3p Således är AC B 3 4 loalt minimum. > samt A > som innebär att den ritisa punten är ett b: Punten, ligger innanför området och är därmed en andidat till ett minimum.

5 Vi noterar att f, Näst undersöer vi randen, som består av fyra sträcor, två horisontella och två vertiala. Notera doc att f är symmetris i och y, dvs f, y fy,. Därmed räcer det att undersöa de horisontella sträcorna. Längs sträcan har vi f, y + y + 8/y : gy, säg. Vi har g y 8/y så det finns en ritis punt vid y. Vi har g + + 8/ + 4. Ändpunterna är vid y och y 3 där vi har g och g3 /3. Längs sträcan 3 har vi f3, y 3+y+8/3y : hy, säg. Vi har h y 8/3y så det finns en ritis punt vid y 8/3. Vi har g 8/3 3+ 8/ /3 3. Ändpunterna är vid y och y 3 där vi har h /3 och h3 6/9. Totalt har vi alltså sju andidatvärden för ma och min, nämligen 6, + 4,, 3, , 3, 6 9. Det är lart att är störst och man an ontrollera att 6 är minst. Obs! Det finns ett mycet enlare sätt att se att 6 är det minsta värdet. Funtionen f, y är alltid positiv inom sin definitionsmängd och går mot oändlighet då och y, men ocså då eller y. Detta medför att f måste ha ett globalt minimum inom sin definitionsmängd, som måste då antas i en ritis punt. c: Formeln lyder f + h, + f, + hf + f y + h f + hf y + f yy. 7 Vi har f, Vi måste beräna derivatorna i, och vi har redan formlerna för dessa i 4, 5 och 6. Insättning av, ger Insättning sedan i 7 ger svaret: f f y 7, f f yy 6, f y 8. f + h, + 7h + + 8h + h +.