Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

Transkript

1 Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen kan bestämmas med variabelsubstitution. Sätt t +. Då är dt d vilket ger dt d. Efter en multiplikation av integranden med och en omflyttning av faktorerna kan vi enkelt göra variabelbytet. ( + ) 5 4 d ( + ) 5 4 d t 5 4 dt 4 9 t C t C Ett byte tillbaka till den ursprungliga variabeln ger t 9 ( 4 + C + ) C. (b) Vi använder partialintegrering med integrandens första faktor som den funktion vi deriverar. ( ) [( ) ] e + t e t t [( ) ] dt + t t et e t dt + t t e t dt Den nya integralen här behöver också partialintegreras; om vi deriverar t får vi en enkel integral kvar. [( ) ] e t [( ) ] e + t t e t t ( [ ] ) dt + t t et e t dt [( ) ] e t ( [ ] ) + t t et e t dt [( ) ] e t [ ] + t t + et [( + t t + ) ] e t [ ( + t t ) e t ] Gränserna har ännu inte satts in i den primitiva funktionen. (En fördel med att vänta tills ingen integral är kvar är att vi då kan kontrollera att vi fått rätt primitiv funktion genom att derivera den.) Nu beräknar vi värdet: [ ( + t t ) e t ] ( + 4 ) e 4 e e4 e4.

2 . För att bestämma Taylorpolynomet av ordning kring för funktionen g() ln behöver vi dess första och andra derivata, samt värden för funktionen och derivatorna i punkten. Vid derivering används kvotregeln. g () Notera att när vi nu ska ha ln ln g () ( ln ) + ln 4 4 så blir ln ln. Det ger värdena g( ), g ( ) ( 4 och g ( ) ) ( 4. )4 Taylorpolynomet av ordning är p () 4 ( ) +! ( 4) ( ) 4 ( ) ( ). Den geometrisk serie som börjar med termerna + 4 a + 8a + 6a a +, har kvoten k a. Serien konvergerar om k <, alltså om a < vilket ger villkoret a < 4. På grund av a har vi även kravet att a. Alltså: a < 4. För dessa värden på a blir seriens summa första term k a. 4. Vi har följande matriser: A och B ( ). (a) Transponatet av B är B (b) Av AB, AB, BA och B A är endast AB och BA möjliga matrismultiplikationer. (Antal kolonner i den första matrisen måste vara samma som antal rader i den andra.) (c) T.e. är AB (Anm. Då A är symmetrisk följer att BA är lika med transponatet av AB.) 4.

3 5. f() (4 + ) är definierad för alla värden på. Vi bestämmer först derivatan: f () ( + ). De stationära punkterna ges av att f (). Lösningarna är och. Om dessa är etrempunkter samt var funktionen väer resp. avtar är lättast att se med hjälp av en teckentabell för derivatan ( + ) + + f () + + f() 7 I tabellen har även värden för funktionen i de stationära punkterna satts in. Slutsats så långt kommet: f är avtagande då och väande då. f har lokalt minimum i med värdet 7. f saknar lokalt maimum. För att avgöra konveitet behöver vi andraderivatan: f () 4 + ( + ). Infleionspunkter ges av att f (), som har lösningarna och. Även för andraderivatan är en teckentabell till hjälp, eftersom dess tecken avgör på vilka intervall funktionen är konve respektive konkav. + ( + ) + + f () + + f() konve 6 konkav konve I infleionspuntken (där f () ) är funktionsvärdet f( ) 6. Funktionen är konve på intervallen och, och konkav på. Se graf på nästa sida. 6. Punkten (, ) ligger på kurvan 5y + e y + ( ) 9 ty insättning i vänsterledet ger + e + ( ) vilket stämmer med högerledet. Betrakta y som en funktion av, implicit given av kurvans ekvation. Riktningskoefficienten k för tangenten genom (, ) ges av derivatan y (). Vi deriverar ekvationen för kurvan med avseende på och löser sedan ut y. 5y + 5y y + e y y + ( ) y ( 5y + e y) 5y ( ) y 5y ( ) 5y + e y

4 y (,) - (-,-7) (-,-6) - Grafen för funktionen f() (4 + ) (uppgift 5). Insättning av (, y) (, ) ger k y ( ) () + e 4. Detta insatt i tangentens ekvation y k + m ger 4 + m, så m. Tangentens ekvation är y Vi ska bestämma största och minsta värde för funktionen f(, y) ( )( + y ) + y y + på området som ges av att, y och + y 4, alltså i första kvadraten och innanför cirkeln med radie. y + y 4 y 4

5 () Vi söker först stationära punkter i det inre av området. De partiella partiella derivatorna är f (, y) + y och f y(, y) y y y( ). { f (, y) f y(, y) { + y y( ) Den andra ekvationen ger y eller. y (-aeln) ligger inte i det inre av området, så vi sparar den till undersökningen av randen. insatt i den första ekvationen ger + y y y ±. Eftersom y får vi den enda stationära punkten (, ), med värdet f(, ). () Nu undersöker vi randens tre delar. På y-aeln är vilket ger g (y) f(, y) y +. Från villkoret g (y) fås y y, alltså hörnet (, ); vi tittar på den punkten senare. På -aeln är y vilket ger g () f(, ) +. Villkoret g () ger ± 7. Minustecknet ger en punkt utanför området, men plustecknet ger en punkt på randen. Då är ( ) ± 7, och funktionens värde g ± 7,. För att undersöka funktionen på cikelbågen + y 4 kan vi ersätta + y i uttrycket för funktionen med 4 och på så sätt få en funktion som bara beror av -värdet: g () ( )(4 ). Derivatan är g () som uppenbarligen saknar nollställen. () Slutligen beräknar vi värdena i de tre hörnen. f(, ), f(, ) ( )( + ) och f(, ) ( + ). De möjliga ma- och min-värdena vi fått fram är,,, och, så största värde är och minsta värde är. 5