Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Transkript

1 Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden PROVET I MATEMATIK, LÅNG LÄROKURS 5.9. BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar om de riterier som används i den slutgiltiga bedömningen. Av en god prestation framgår det hur eaminanden har ommit fram till svaret. I lösningen måste det finnas behövliga uträningar eller andra tillräcliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärsamhet vid helheten och vid de tre stegen: starten, mellanstegen och slutresultatet. Ränefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänning av antalet poäng. Ränefel och fel i den matematisa modellen som ändrar uppgiftens natur an däremot säna antalet poäng betydligt. I provet är ränaren ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om symbolränare använts i en uppgift sa det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som räver analys räcer det inte enbart med ett svar som erhållits med hjälp av ränaren utan övriga motiveringar. Däremot räcer ett svar som eaminanden fått med ränaren i allmänhet i rutinberäningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Eempel på sådana är omsrivning av uttryc, evationslösning och derivering och integrering av funtioner. Uppgift 6 ± 6 6 a) + 6= = = =. + b) = ( + )( + ) = ( )( ) = + ( + ) = = =. c) Vi får nollställena med hjälp av evationen vilet ger att 9 ± = = = = 7, 9+ 4 = ( )( 7). Uppgift a) 4 P = + P = 4 +. Vi får evationen (4 ) = = 4 = = = = Provet i matemati, lång lärours 5.9.

2 b) (4 + cos(4 )) d = 4 + sin(4 ) + C. c) Talet a är 5 % mindre än talet b, dvs. a=, 75. b b 4 = =,. Talet b är cira % större än talet a. a, 75b b Förhållandet mellan talen är Uppgift a) Anta att den efterfrågade vineln är ϕ. Eftersom a = + 4 = 5, b = 9 + = och a b = =, är a b cosϕ = =, 44, ab 5 vilet ger ϕ 8, 9. s= b) a c c = a för något R si + ( s) j = i j s = Genom att substituera in = s i den nedre evationen får vi s= s s =. Uppgift 4 Om =, är urvorna desamma, dvs. tangenterna är inte vinelräta mot varandra. Då, får vi särningspuntens -oordinat med hjälp av evationen = ( ) =± = = =. får vi tangenternas ritningsoefficienter i särningspunten: och. Kravet för ortogonalitet är ( ) = = =±. 4 Med hjälp av derivatan Uppgift 5 Ritningsvetorerna och deras längder är a = i j +, a = =, och b = i 4, b = = 5. Ortsvetorn för startpunten är OA = i j. Eftersom a =, är den första förflyttningsvetorn a. Eftersom b = 5, är den andra förflyttningsvetorn b. Därmed är OC = OA + a + b = ( i j) + ( i j + ) + (i 4 ) = i 7 j, dvs. C = (, 7, ). Provet i matemati, lång lärours 5.9.

3 Uppgift 6 Enligt bisetrissatsen får vi CA = 4 och CB =. Men hjälp av cosinussatsen får vi 4 = (4 ) cos = + 6 6cos α. Anta att α är hälften av vineln BCA. Vi multiplicerar den övre evationen med och den nedre med 4 och adderar evationerna ledvis. Då får vi = 6 = 4 =±. Endast = dvs. AC = 4 = 8 och BC = = 6. α duger, Uppgift 7, och, vilet betyder att Eftersom = ( + )( ), är uttrycets nollställen uttrycet endast byter tecen i punten = inom intervallet [, ]. En tecenundersöning visar att då, och då. Därmed är Uppgift 8 d = ( + ) d + ( ) d 4 4 = / + + / 4 4 =. Om riddare deltog båda dagarna, deltog riddare endast första dagen och 85 riddare endast andra dagen. I turneringen deltog totalt 9 riddare, vilet ger( ) + + (85 ) = 9 = 58. Den efterfrågade sannoliheten är %. 9 Uppgift 9 Vi får -oordinaterna för urvornas särningspunter med evationen e = e = =±. Sträcans längd är f = e e, från vilet vi får f ' = e e + e = e ( ). Eftersom e > är f ' = = =±, av vila =+ inte tillhör intervallet,. ± =, f är den största möjliga längden ändpunter gäller att f e e Provet i matemati, lång lärours 5.9. Eftersom det i intervallets = =, 4.

4 Uppgift Anta att bollarnas radie är r. Deras medelpunter är belägna i hörnen av en regelbunden tetraeder. Tetraederns ant har längden r, och varje sidoyta är en lisidig triangel som har höjden r. Tetraederns höjd sär bottentriangeln i medianernas särningspunt, vars avstånd till bottentriangelns hörn är r. Enligt Pythagoras sats uppfyller tetraederns höjd h evationen 8 h + r = ( r) h = r. 8 Konstrutionens höjd är h+ r = + r. Uppgift Enligt trapetsmetoden 4 f d f() + f + f + f + f + f () sin 5sin 5sin 5sin 4 sin = , Uppgift a) b) 9 R = = =, då. 9 (+ )( ) R = = 5 (+ )( ) = 6 7, då. Uppgift Motsatt antagande: Q mn, Z:, = m n som är i förortad form. Då gäller m = m = n. n Eftersom n är ett jämnt tal, är även m ett jämnt tal. Då är även m ett jämnt tal, dvs. Z: m= m = 8. Genom insättning i evationen ovan får vi 8 = n n = 4 n är jämnt n är ett jämnt tal. Detta är en motsägelse, eftersom vi antog att brået m var förortat motsatta antagandet är falst. Påståendet n är sant. Provet i matemati, lång lärours 5.9.

5 Uppgift 4 a) Vi får särningspunterna med y-aeln genom att sätta in = y + y 4= y= y =. Vi får särningspunterna med -aeln genom att sätta in y= 4= = =. Särningspunterna är (, ), (, ), (, ) och (, ). b) Särningspunterna är belägna symmetrist med avseende på linjen y=. Om punterna ligger på samma cirel så måste det utifrån symmetrin gälla att cirelns medelpunt ligger på denna linje. Medelpunten (, ) är lia långt från punterna(, ) och (, ), dvs. ( ) + ( ) = ( ) + ( ). Vi får som lösning =. Punten (, ) har samma avstånd till alla fyra särningspunter, dvs. punterna ligger på cireln. Medelpunten är alltså (, ) och för radien r gäller r = + = 4. Cirelns evation är + y+ = + y + y =. 4 c) Linjen är y=. Genom att substituera in y= i urvans evation får vi ± = 7 4 4= = Särningspunterna är, och, d) Om urvan var en cirel så sulle dess evation vara densamma som evationen i deluppgift b. De i deluppgift c beränade punterna på urvan satisfierar inte cirelns evation, vilet betyder att den ursprungliga urvan inte är en cirel. Uppgift 5 a) Graferna till funtionerna f = sin, f = sin, f = sin(4 ) presenterade i intervallet π π. 4 b) Eftersom π sin, då, är enligt periodiciteten π π π = = f d f d sin d = cos( ) De efterfrågade integralernas värden är, och.. /π = Provet i matemati, lång lärours 5.9.

6 c) d) n n π A = f d = n = = A = 4 ( n+ ) n n+ ( ) 4 ( ) n+ = 4, då n. =. Provet i matemati, lång lärours 5.9.