Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9"

Transkript

1 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / d / 5 5 ( d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos cos ( ( ln ln e d e d u( s s' ln / e e e ( e e 9, ln 7 e Svar a b 7 c d 9, 5

2 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. a ( sin d cos + C F ( 7 8 d b cos d cos sin d + C u( s U( s s c Vi får ekvationen sin tan d d ( sin d cos cos u( s s C 7 + C F 7 + C ln cos + C U( s ln( cos + C π π < <, vilket ger cos > Dvs. F 7. C Svar F 7 lncos + C Svar a cos + C b sin + C c ln cos + C

3 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Arean är Skärningspunkterna mellan kurvorna y och y + : y y Vi ritar en figur. + + ± ( ± eller A da y y d y y, när ( + d + d + / Svar Arean är 6.

4 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad Rotationskroppens volym är Skärningspunkterna mellan parabeln y 6 och linjen y : 6 ( eller eller Vi ritar en figur. V dv πr d π 6 d π d π/ r y ( 6 r y 9 π π 5 9 π, 5 Svar 9 π, 5

5 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad så får vi ekvationen Eftersom funktionen f är kontinuerlig så har den en + C + D primitiv funktion. D 9 + C Funktionen f kan inte integreras direkt, utan vi måste först skriva om den som en styckvis definierad funktion., när f (,när < +, när, när > De primitiva funktionerna till funktionen f kan skrivas på formen + + C, F + D, > Eftersom den primitiva funktionen F är kontinuerlig, får vi speciellt att den är kontinuerlig för. Detta ger att lim F lim F. + Eftersom lim F lim + + C + C lim F lim + D + D + + De primitiva funktionerna till funktionen f är + + C, F C, > Eftersom F får vi ekvationen + + C C Dvs. Svar F F, + + > 5,, + + > 5,

6 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad a Skärningspunkterna mellan kurvorna y, och y, y, dvs. mellan kurvorna y, och y, : y n:te rotens definition ( eller Volymen av rotationskroppen får vi som differensen av två rotationskroppar. Vi ritar en figur. ( ( π π V dv y y d π d π d y y

7 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. π/ 5 5 Rotationskroppens volym är differensen mellan två rotationskroppar. 5 π 5 5 π 5 π (,9 b Vi bestämmer y-koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvorna y, och y, y, dvs. mellan, kurvorna y y och y, y. Enligt a-fallet är dessa y-koordinater y och y ( π π V dv dy π y y dy π y y dy π/ y y 5 π 5 5 y y π (,9 Svar a b π,9 π,9

8 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad Vi bestämmer först hur grafen till funktionen i förhållande till -aeln. Funktionen intervallet e ln ( ln f 6 e eftersom ln f är strängt avtagande i ligger f ln ln ln ln 6 När e e, så är ln ( ln >, ln lne lne > och ln <. Arean av ett ytelement är da yd, vilket ger att arean är e e e ln A da yd d e e e 6 <, när e e Dessutom är (lne 9 f (e e e > 6 6 (lne 6 f (e > 6 6 e e vilket ger att grafen till funktionen f ligger ovanför -aeln i 6 intervallet e,e. Vi ritar en figur. e 6 ( ln e u( s 6 ( ln / e ( e U s s d s ln och u s och U

9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. ( 6 ( lne lne loga a 6 89 ( Svar Arean är 6. 9 a Kurvan y 9 är den nedre halvcirkeln i en cirkel med medelpunkten i origo och radien, eftersom Vi får y 9 y y + y 9 9 π 9π 9, d d halvcirkelns area r är A π [ ] b Funktionen f :,, f 9 är udda eftersom f ( 9( ( (9 (9 f Eftersom integrationsintervallet [, ] avseende på origo, så är Svar a b (9 f d 9π är symmetrisk med

10 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. e g f d ur tabellbok: f gd fg g f d e e d f g g f e + e + e + C e e + C 9 e d Svar e e + C 9

11 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Prov 5 5 a e e a ( d b C C b c d d d + 5 6ln + C > + 5 6ln+ C e d + C 5 d 5 5 e 5 e 5 d + C 5 u( s s U( s 5 5 d d + C 5 ln5 u( s s U( s C 5ln C ln5 s 5 och u e s 5 och U e s 5 och u 5 5 s 5 och U ln5 5 Svaret kan också ges på denna form. Svaret kan också ges på denna form.

12 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. a b d d ln + C < ln ( + C + + d d ( + ( d u s s s och u s och U ln d 6 c d d d d ln + C > 6 7 ln + C 6 Alternativt lösningssätt: d d d d d d d 6 ln ln ln + C > ln + C >, vilket ger > ln ln 6ln ln ln 6ln + C + C U( s ln 7 ln( + C + C ln + C 6 6

13 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Svaret kan också ges på en annan form: F sin( + π d s + π och u sin s och U cos sin( π [ cos ( π ] + d + + C u( s s U( s cos ( + π + C Eftersom F π får vi ekvationen cos( π+ π + C cosπ + C + C C cosinus för F cos( + π supplementvinkeln: cosα cos( π α Svar cos( π ( + π cosinus för den motsatta vinkeln: cos ( cos( α cosα cos F cos( + π F cos Dvs. F cos( + π.

14 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. 5 y + + y + är kontinuerliga, vilket ger att kurvorna kan byta Vi bestämmer tangentens ekvation för funktionen f + + i : Derivatan är f +. De funktioner som svarar mot kurvorna och ordning endast i skärningspunkterna. Vi bestämmer kurvornas ordning i intervallet med hjälp av några testpunkter. 8 y + + y + kommentar y y, när Tangentens riktningskoefficient i är k f. Eftersom f så går tangenten genom punkten (,. t Vi ritar en figur. Tangentens ekvation är y y y k y + Skärningspunkterna för kurvorna y + + och y + : y y ( eller o

15 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Arean är 6 A da y y d y y, när ( d + d / Skärningspunkterna mellan kurvorna y och y + : y y + Vi ritar en figur. + Svar Arean är.

16 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Arean är 7 A da y y d y y, kun ( + d En pärla i pärlbandet uppstår när kurvan y sin, π roterar kring -aeln. / ( + d ( Volymen av en pärla är Svar Arean är. V π π y d π π(sin d ur tabellbok: sin cos

17 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. π π cos d π π π cos d d π π π / cos d π π π / sin π π π π ( sinπ sin π π Svar Pärlans volym är. 8 a d u s ( ( d u( s s' U s' b / ( (( ( 6 (( 6 ( 7 6 d d u( s s' / ( U( s ( ( Svar a b

18 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. 9 Volymen är a Vi bestämmer nollställena för funktionen f : ± Vi ritar en figur. V dv f är en jämn funktion. dv πy d ( π ( π + d d 5 π/ + 5 π + 5 Svar 6 π (,5 5 6 π,5 5

19 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. b Nollställena för funktionen f är ±. Toppens y- koordinat i parabeln är f. Vi ritar en figur. V dv π dy ( y π + dy y y + π / y + y π + π (,57 Volymen är c Området roterar kring linjen y, som går genom parabelns topp. Vi får volymen för den kropp som uppstår genom att från en rak cirkulär cylinder (basradien, höjden subtrahera volymen av det ihåliga innandömet (se figur.

20 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. πr d r y ( + π ( d π d / π 5 5 Volymen av det ihåliga innandömet är 5 π 5 π 5 V dv dv symmetri Rotationskroppens volym är 8 V Vcylinder V π V π π π 5, 5 5 Svar a 6 π,5 5 π 8 b,57 π 5, c 5

21 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. t + Vi betecknar f( t 5t. Funktionen f är kontinuerlig när t >, vilket gör att den har en primitiv funktion som vi 5 t + betecknar Ft ( dt, t>. 5t 5 Integralkalkylens huvudsats ger att + f ( tdt F( + F(, och då är d d + d f( t dt F( + F( d d d F + F d d ( 5( + ( d F'( + ( + F ( t f( t d t + f( + f( t 5t Svar

22 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Prov b a ( + ( + u( s s 5 ( + + C 5 U( s 5 ( + + C d d s + och u s och U d ( 6 d ( 6 d u( s s ( 6 + C U( s ( 6 ( 6 + C ( C Svar a ( C b ( C s 6 och u s och U

23 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Funktionen F( sin + cos + 8 är en primitiv funktion 5 till funktionen f ( cos sin om F f för 5 alla. Påstående: F f för alla Bevis: F D sin + cos Dsin + Dcos + 5 cos + sin 5 5 cos sin 5 f för alla Parabeln y öppnar sig till höger och parabeln öppnar sig till vänster. Vi bestämmer y-koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvorna y och y +. y + y Insättning i ekvation (. y + y y ± Vi ritar en figur. y y +

24 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Ytelementets area är A da dy, vilket ger att arean är ( ( ( y / y + y da dy y + y dy Svar Arean är. dy Anmärkning Man skulle också ha kunnat beräkna arean genom att först spegla kurvorna med avseende på linjen y, eftersom arean som begränsas av kurvorna bevaras vid spegling. Då är ytelementet da ( y y d och kurvorna är och y +. y a d + + u( s d + s u( s ln C + + ( d ln + + C s + och u s och U ln >, vilket ger + >

25 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. b c + d d + d ( + ( + d + + d d d + ( d d d + d + + d + u( s s + och u s och U ln d + u( s s d s + och u s och U ln + d + u s s + ln + + C >, vilket ger + > + ln( + + C ln + + C <, vilket ger + < ln( + C ( Svar a ln + + C b ln C c ln( + C

26 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. 5 a Rotation kring -aeln. Vi ritar en figur. Vi ger kurvan y i styckvis definierad form: Nollställen: y > +, när,när > +, när,när < > +,när, när eller y Volymen är ± V π r d symmetri π y d y π d

27 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. ( π ( π d d 5 8 π/ π π ( 7 5 b Rotation kring y-aeln. Integrationsgränserna är y och y y Vi ritar en figur. Volymen är V dv y, π dy y + π y dy π/ y y π 8π 5, y Svar a 5 π ( 7 5 8π 5, b

28 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. 6 Ytelementets area är da yd, vilket ger att arean är Parabeln y a a öppnar sig uppåt, eftersom a >. Grafen till parabeln ligger under -aeln mellan nollställena. Parabelns nollställen: a Vi ritar en figur. a a a : a ( > a ± a a a ± a> a ± a Svar a a a a a A da y d a a ( a + a d + a a a a a a a + + a a a a a a + a a + + Arean är. Anmärkning I uppgiften skulle vi också ha kunnat utnyttja att funktionen är jämn och att integrationsintervallet är symmetrisk med avseende på origo. a a A a + a d a + a d... ( (. a /

29 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad ,89t cm Insulinet avges med hastigheten vt (,5e. dygn Mängden avgivet insulin under de första dagarna är då [,] Vi delar in intervallet i fyra lika långa delintervall. Varje delintervall har då längden. Vi ritar en figur. Svar:,58 cm It ( vtdt (,5e,89t,5,89t e (,89,89 dt,5,89 u( s s' /,89t e U( s,5 e e,89,5 ( e 6,7,89 (,89,89,58 cm dt [, ], vilket ger att Funktionen f är strängt väande i intervallet den i varje delintervall antar sitt största värde i intervallets högra ändpunkt och sitt minsta värde i intervallets vänstra ändpunkt. Funktionen är strängt avtagande i intervallet [, ], vilket ger att den i varje delintervall antar sitt största värde i intervallets vänstra ändpunkt och sitt minsta värde i intervallets högra ändpunkt. Vi uppskattar arean med under- och översummorna s och S.

30 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Ytelementets area är är A da yd ( d / da yd, vilket ger att areans eakta värde Undersumman är s f + f + f + f och översumman är S f + f + f + f Vi bestämmer vilketdera värdet som är noggrannare. A s 6 och A S vilket ger att översumman är noggrannare. vilket ger att 6< A < Svar s 6 och S. Översumman är noggrannare eftersom arean är.

31 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. 9 Vi ritar en figur. π π h ( h h / π d d π h h π Skärningsstället är s : Paraboloidens volym är V s dv s π V h dv h π y d y

32 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Vi får ekvationen s h π π s h h s > s ± h > h s f a F a d a + C a + C Eftersom F så får vi ekvationen Delarnas höjder är h h s och h s h h a + C 8a + C Svar h och h Dvs. C 8a F a + 8a. Minsta värdet för funktionen F är. Vi gör ett teckenschema för derivatan av funktionen F. F a

33 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Derivatans nollställen: a ( a eller a a Eftersom funktionen F är kontinuerlig antar funktionen F, enligt teckenschemat, sitt minsta värde i. Vi får ekvationen F + 8 a a 8a ± a a ± a a ± a Dvs. a duger. Om a så har derivatan endast ett nollställe. Teckenschema: Om a >, så har derivatan till funktionen F nollställena och ± a. + Teckenschema: F + a + + a F F + + F a a globalt minimiställe a

34 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad.5. Eftersom funktionen F är kontinuerlig så antar funktionen F, Om a < så har derivatan till funktionen F nollställena enligt teckenschemat, sitt minsta värde i a eller i a. och ± a. Teckenschema: + + Eftersom a + + F( a ( a a ( a + 8a a a F + + a 8a + 8a F a + 8a a a F a a a a + 8a Eftersom funktionen F är kontinuerlig, så antar funktionen F, enligt teckenschemat, sitt minsta värde i a eller i a + 8a a. så antar funktionen F sitt minsta värde i ± a. Eftersom det minsta värdet är noll, får vi ekvationen F ± a Eftersom F a a + 8a F a a + 8a a + 8a ( a a + a eller a + a eller a a eller a± a> så antar funktionen F sitt minsta värde i ± a. Eftersom det minsta värdet är noll, får vi ekvationen F ± a Se punkt. a eller a± a< a Punkterna, och ger att a eller a ±. a Svar a eller a ±

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Thomas Lingefjärd Göteborg 9 Thomas Lingefjärd Introduktion till Graphmatica 1 Kort om Graphmatica Graphmatica har funnits

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 4, 94 Årgång 4, 94 Första häftet 47. Om en triangels hörn speglas i motstående sidor, bilda spegelbilderna en liksidig triangel. Beräkna den ursprungliga triangelns vinklar. 48. Att konstruera

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS

WALLENBERGS FYSIKPRIS WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 7 januari 0 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG. (a) Falltiden fås ur (positiv riktning nedåt) s v 0 t + at t s 0 a s,43 s. 9,8 (b) Välj origo

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Gör Din egen kurvkatalog

Gör Din egen kurvkatalog 86 Gör Din egen kurvkatalog Hans Riesel KTH Krav på utrustning. För denna uppgift måste du ha tillgång till en grafisk dataterminal, så att Du kan rita kurvor på dataskärmen. Du behöver inte ha tillgång

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Tangenter till tredjegradsfunktioner

Tangenter till tredjegradsfunktioner Tangenter till tredjegradsfunktioner I bilden intill ser du grafen av en tredjegradsfunktion som har tre nollställen nämligen x = 2, x = 1 och x = -1. Om man ritar en tangent till funktionsgrafen kommer

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 2005. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

ROCKJET GRUPP A (GY) FRITT FALL

ROCKJET GRUPP A (GY) FRITT FALL GRUPP A (GY) FRITT FALL a) Hur långt är det till horisonten om man är 80 m.ö.h.? Titta på en karta i förväg och försök räkna ut hur långt man borde kunna se åt olika håll när man sitter högst upp. b) Titta

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) Känguru 2014 Student sida 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal.

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p) Problem Energi. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (p) b) Ge en tydlig förklaring av hur frekvens, period, våglängd och våghastighet hänger

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Säsongrensning i tidsserier.

Säsongrensning i tidsserier. Senast ändrad 200-03-23. Säsongrensning i tidsserier. Kompletterande text till kapitel.5 i Tamhane och Dunlop. Inledning. Syftet med säsongrensning är att dela upp en tidsserie i en trend u t, en säsongkomponent

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

fredag den 11 april 2014 POOL BYGGE

fredag den 11 april 2014 POOL BYGGE POOL BYGGE KLADD Såhär ser min kladd ut: På min kladd så bestämde jag mig för vilken form poolen skulle ha och ritade ut den. På min kladd har jag även skrivit ut måtten som min pool skulle vara i. Proportionerna

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m Problem. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är inte transversella, utan vattnet rör sig i cirklar eller ellipser. Våghastigheten beror bland annat på hur djupt vattnet är. I grunt vatten

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1998. Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1998. Tidsbunden del Nationellt prov i Matematik kurs A vt 1998 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och

Läs mer

Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki

Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki Kapitel V Praktiska exempel: Historien om en droppe Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki Kapitel V - Praktiska exempel: Historien om en droppe Partiklar i atmosfa ren Atmosfa rens sammansa

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Syftet med veckans övningar. Något om MATLAB. Vecka 1 matte D del C

Syftet med veckans övningar. Något om MATLAB. Vecka 1 matte D del C Vecka 1 matte D del C handlar om olika typer av integraler. Metoden går tillbaka till antiken; genom triangulering kan man beräkna arean av oregelbundna polygoner. Har men en figur med krokiga begränsningslinjer

Läs mer

Kapitel Grafer för koniska sektioner

Kapitel Grafer för koniska sektioner Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Kapitel. 10-1 Innan skissfunktionen används 10-2 Grafritning med skissfunktionen

Kapitel. 10-1 Innan skissfunktionen används 10-2 Grafritning med skissfunktionen Kapitel Skissfunktion Skissfunktionen gör det möjligt att rita linjer och grafer på en existerande graf. Tänk på att användning av skissfunktionen i läget STAT, GRAPH, TABLE, RECUR och CONICS skiljer sig

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

Något om Integraler och Mathematica

Något om Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Integraler och Mathematica Något om Integraler och Mathematica Bertil Nilsson 5-8-5 tan 6 tan 6 3 tan 4 6 3 3 tan 4 6 3 3 tan 4 6 3 3 tan 4 6 3 4 3 log 6 4 3 log 6 log log 4 3 log 6 4 3 log 6

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Problemlösning Lösningar

Problemlösning Lösningar Problemlösning Lösningar Lösning Problemlösning 1. Dela bröd och pengar (0) Luffarna åt 8/3 bröd var. Luffare A gav bort 3 8/3 = 1/3 bröd till C och luffare B gav bort 5 8/3 = 7/3 bröd till C. Alltså ska

Läs mer

AUTOSNAP & AUTOTRACKING

AUTOSNAP & AUTOTRACKING AUTOSNAP & AUTOTRACKING Med AutoSnap och AutoTracking kan Du filtrera ut specifika punkter vid varje tillfälle som AutoCAD frågar efter en punkt (from point eller to point). AutoSnap och AutoTracking ersätter

Läs mer

Kapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf

Kapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf Kapitel Graflösning Det går att använda följande metoder för att analysera funktionsgrafer och approximera resultat. Beräkning av roten Bestämning av lokalt maximivärde och lokalt minimivärde Bestämning

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet

Läs mer

Förord. Innehåll. 1 Tal 4. 4 Algebra 42. 2 Bråk och procent 18. 5 Statistik och sannolikhet 54. 6 Tid, hastighet och skala 60.

Förord. Innehåll. 1 Tal 4. 4 Algebra 42. 2 Bråk och procent 18. 5 Statistik och sannolikhet 54. 6 Tid, hastighet och skala 60. Förord Det här häftet är tänkt som ett komplement till kapitel 5, Genrepet, i läroboken Matte Direkt år 9. Häftet vänder sig främst till de elever som har svårigheter att klara Genrepets nivå i boken och

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska

Läs mer

3-5 Miniräknaren Namn:

3-5 Miniräknaren Namn: 3-5 Miniräknaren Namn: Inledning Varför skall jag behöva jobba med en massa bråk, multiplikationstabeller och annat när det finns miniräknare som kan göra hela jobbet. Visst kan miniräknare göra mycket,

Läs mer

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012 Till eleven - Information inför det muntliga delprovet Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erion hans heikne Matematik 5000 Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur NATUR & KULTUR Bo 27 323, 02 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion:

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna

Läs mer

EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A

EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A Uppgifterna är ej sorterade efter svårighetsgrad 1. Gör ett program som kan beräkna arean och omkretsen av en cirkel om användaren (du) matar in cirkelns radie. Skapa

Läs mer

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500 Namn: Förstå och använda stora tal som miljoner och miljarder Skriv talen med siffror. sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen Läs talen först. Använd sedan > eller > < Vilket tal

Läs mer

Välkommen till studier i Matematik kurs C

Välkommen till studier i Matematik kurs C Innehåll Välkommen till studier Matematik kurs C...2 Studietips...2 Kursens uppläggning och mål...5 Examination...6 Kursmaterial...7 Webbtips...8 Litteraturtips...8 Övrigt om kursen...10 Problemlösning...11

Läs mer

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths.

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths. Föeläsning 1 Motsvaa avsnitten 2.12.3 i Giths. Elektisk laddning Två fundamentala begepp: källo och fält. I elektostatiken ä källan den elektiska laddningen och fältet det elektiska fältet. Två natulaga

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

C Höstterminen 2009. Matematik. Elevhäfte KURSPROV. Elevens namn

C Höstterminen 2009. Matematik. Elevhäfte KURSPROV. Elevens namn KURSPROV Matematik C Höstterminen 2009 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t o m 2015-12-31.

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet Numeriska metoder Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002 1 Innehåll 1 Grundbegrepp av numeriska

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p LGR00 6 juni, 200 kl. 9.00 1.00 Kursansvarig: Eric Järpe Maxpoäng: 0 Betygsgränser: 12p: G, 21p: VG Hjälpmedel: Miniräknare samt tabell- och formelsamling

Läs mer

Proppteori Komplement till propplektionerna

Proppteori Komplement till propplektionerna Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Anvisningar Del I. Namn: Födelsedatum: Komvux/gymnasieprogram: Provtid

Anvisningar Del I. Namn: Födelsedatum: Komvux/gymnasieprogram: Provtid Anvisningar Del I Provtid Hjälpmedel Miniräknarfri del Uppgift 14 Kravgränser 90 minuter för del I. Vi rekommenderar att du använder högst 45 minuter för arbetet med den miniräknarfria delen. Du får inte

Läs mer

Vinkelupplösning, exempel hålkameran. Vinkelupplösning När är två punkter upplösta? FAF260. Lars Rippe, Atomfysik/LTH 1. Böjning i en spalt

Vinkelupplösning, exempel hålkameran. Vinkelupplösning När är två punkter upplösta? FAF260. Lars Rippe, Atomfysik/LTH 1. Böjning i en spalt Kursavsnitt Böjning och interferens Böjning i en spalt bsin m m 1,... 8 9 Böjning i en spalt Böjning i cirkulär öppning med diameter D Böjningsminimum då =m Första min: Dsin 1. 10 11 Vinkelupplösning,

Läs mer

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

Eulers polyederformel och de platonska kropparna Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer