INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

Transkript

1 TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B , kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös ekvationen e 6e = 1. (0.) c) Lös ekvationen = 9. (0.4). Rita grafen till funktionen f() = 1 + arctan. Ange alla eventuella lokala etrempunkter och asymptoter, samt funktionens värdemängd a) Beräkna lim. (0.) b) Beräkna lim ( 4). (0.) c) Låt f vara en funktion definierad av { ln(1+sin ) då = 0 f() = e 4 1 a då = 0, där a är en konstant. Bestäm a så att funktionen f blir kontinuerlig. (0.4) 4. a) Bevisa logaritmlagen a log st = a log s + a log t, s, t > 0, med hjälp av någon lämplig potenslag. (0.) b) Formulera och bevisa faktorsatsen. (0.5) c) Ekvationen = 0 har en rot =. Lös den fullständigt. (0.) 5. Låt ABC vara en likbent triangel med AB = AC. Antag att toppvinkeln BAC är hälften så stor som var och en av basvinklarna ABC och ACB. Drag bisektrisen från hörnet C och kalla dess skärning med sträckan AB för D. a) Visa att trianglarna BCD och CAB är likformiga. (0.) b) Antag att BC =. Bestäm längden av sidan AB. (0.7) 6. Tangenten till kurvan y = e + 1, i en punkt P på kurvan, avgränsar tillsammans med -aeln och den lodräta linjen genom P ett triangulärt område. Bestäm P så att arean av detta område blir så liten som möjligt.

2 TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B , 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. 1 ln(1 + sin ) a) Beräkna gränsvärdet lim. 0 (0.) n ( b) Beräkna gränsvärdet lim k. n ) (0.4) k= c) Lös ekvationen sin + cos =. (0.) a) Polynomet p() = har faktorn 1. Finn alla lösningar till ekvationen p() = 0. (0.5) b) Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom. (0.5) a) Bevisa med hjälp av räkneregler för potenser att ln(ab) = ln a + ln b, där a, b > 0. (0.5) b) Lös ekvationen ln sin + ln cos + ln 4 = 0. (0.5) 4 Låt f() = 1 och asymptoter.. Rita grafen till f och ange eventuella lokala etrempunkter 5 a) En triangel har arean. Två av sidorna har längderna och 7. Beräkna den tredje sidans längd. (0.5) b) Ange koefficienten för 5 -termen i ( ) 10. (0.5) 6 En kabel ska dras från ett kraftverk till en (punktformig) ö. Ön ligger 5 km rakt ut från en punkt P på den fullständigt raka stranden och kraftverket ligger på stranden 10 km från P. Det kostar kronor per kilometer att lägga kabeln i vattnet och kronor per kilometer att lägga kabeln längs med stranden. Hur ska kabeln dras för att bli så billig som möjligt? Ön P Kraftverk LYCKA TILL!

3 TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B , kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. Rita grafen till funktionen f() = +. Ange alla eventuella lokala etrempunkter och asymptoter.. a) Lös ekvationen sin = cos. (0.) b) Lös ekvationen ln ln = ln( + 4). (0.) c) Lös ekvationen 1 = 1. (0.4). a) Bestäm den konstanta termen i utvecklingen av ( + ) 9. (0.) b) Beräkna gränsvärdet lim 0 ln(1 + sin ). (0.) c) Bestäm den vågräta asymptoten till funktionen f() = + då. (0.4) 4. a) Formulera definitionen av att en funktion f är deriverbar i punkten a. (0.) b) Visa att om f är deriverbar i punkten a så är f kontinuerlig i punkten a. (0.4) c) Låt f vara en funktion definierad på ett intervall I =]a, b[ med f () > 0 på I. Visa med hjälp av medelvärdessatsen att f är strängt väande på I. (0.4) 5. a) Beskriv den kurva i planet som ges av ekvationen y + 6y + 4 = 0. Rita även ut den. (0.5) b) Låt ABC vara en triangel där AB =, AC = 4 och BC = 5. Drag bisektrisen från hörnet B och kalla dess skärning med sträckan AC för D. Bestäm längden av sträckan BD. (0.5) 6. Ett klot med radie är innehållet i en rak, cirkulär kon. Bestäm minsta möjliga volym av denna kon.

4 Svar och anvisningar Endimensionell analys, B , kl a) Med hjälp av formeln cos = 1 sin fås efter omskrivning ekvationen sin + sin 1 = 0, vilket ger sin = eller sin = 1. Ekvationen sin = saknar lösningar medan ekvationen sin = 1 ger = π 6 + πk, = 5π 6 +πk, k heltal. b) Variabelbytet t = e ger ekvationen t t 6 = 0 med lösningar t = och t =. Alltså är = ln enda lösningen till den ursprungliga ekvationen. c) Då fås ekvationen ( )++4 = 9, vilken har lösning =. Då 4 < fås ekvationen ( )++4 = 9, vilken har lösning = 1, och då < 4 fås ekvationen ( ) 4 = 9, som saknar lösning. Lösningarna är alltså = och = 1.. Lokal maimipunkt = 1 med lokalt maimivärde 1 π/ och lokal minimipunkt = 1 med lokalt minimivärde 1 + π/. Vågräta asymptoter y = π då och y = π då. Värdemängden är [1+ π, ) (, 1 π ] a) + 6 = ( )(+) = + 5 då. b) ( 4) = ( 4)(+ 4) + 4. c) ln(1+sin) e 4 1 = ln(1+sin) 4 sin e 4 1 sin 4 =... = = då = 1 då 0 enligt standardgränsvärden, ty sin 0 då 0 och 4 0 och 0 då 0. För att f ska vara kontinuerlig för = 0 måste alltså a = lim 0 f() = a) Se sidan 78 i analysboken. b) Se sidan 5 i analysboken. c) Division med + ger ekvationen + = 0. Eftersom + = ( 1) ( 1) = ( )( 1) = ( )(+ )( 1), är lösningarna till den ursprungliga ekvationen =,1,±. 5. a) Bisektrisen delar vinkeln ACB mitt itu. Likformigheten följer nu av likformighetsfall VV. 1

5 b) Låt basvinklarna ABC = ACB = α. Det följer att vinkeln BDC = α. Eftersom triangeln CDB har två lika basvinklar (= α) är den likbent. Således är sträckancd = (Detta följer även av likformigheten i uppgift a). Därefter följer, eftersom triangeln DAC också är likbent (basvinklar α/), att sträckan AD =. Låt AB = AC =. Från bisektrissatsen följer nu att =, dvs 9 = 0, vilken har lösningar = (1± 5). Alltså är sidan AB = (1+ 5). 6. Låt f() = e + 1 och låt P = (a,f(a)). Ekvationen för tangenten i punkten P är y = f(a) + f (a)( a), där f (a) = e a. Alltså är tangenten y = e a + ae a + e a + 1, vilken skär -aeln i en punkt med -koordinat = a+1+ 1 ea. Eftersom den bildade triangeln har bas 1+ 1 ea och höjd e a +1 är dess area e a ea. Derivering och teckenstudium ger att minimum antas för a = ln. Eftersom f(ln) = är P = (ln,).

6 SVAR TILL SKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B , a) Gränsvärdet är 1. b) Gränsvärdet är c) Lösningarna är = π 5π + πk och = + πk, där k är ett heltal. 1 1 a) Lösningarna är = 1, 0, 1,,. b) Se läroboken. a) Se läroboken. b) Lösningarna är = π 5π +πk och = +πk, där k är ett heltal. (Endast 1 1 lösningar i första kvadranten kommer i fråga.) 4 Funktionen saknar lokala etrempunkter. Den har asymptoterna y = 0, = 1 och =. Grafen visas i vidstående figur. 1 (-1)/( --) a) Sidan har längden eller 4. b) Koefficienten är Kabeln ska dras rakt genom vattnet från ön till en punkt Q mellan P och kraftverket, så att avståndet från P till Q är 15, och därefter rakt längs med 4 stranden från Q till kraftverket.

7 Svar och anvisningar Endimensionell analys, B , kl Lokal maimipunkt = med lokalt maimivärde 6 och lokal minimipunkt = 1 med lokalt minimivärde. Sned asymptot y = då ± a) Med hjälp av formeln sin = sincos fås efter omskrivning ekvationen cos(sin ) = 0, som har lösningar = π + kπ, = π + kπ och = π +kπ, k heltal. b) = 4 ( = är en falsk rot). c) Då fås ekvationen ( 1) = 1, vilken saknar lösning i detta intervall. Då 1 < fås ekvationen + ( 1) = 1, vilken har lösning = 4/, och då < 1 blir ekvationen ++( 1) = 1, som har lösning = 0. Lösningarna är alltså = 4/ och = 0.. a) Den sökta termen är ( ) 9 6 = 9! !! 8 = 8 = 67. b) ln(1+sin) = sin ln(1+sin) sin 1 1 =, enligt standardgränsvärden, ty sin 0 då 0 och 0 då 0. c) f har den vågräta asymptoten y = då ty f() = + = ( + )( ++) =... = = då. 4. a) Se sidan 179 i analysboken. b) Se sidan 185 i analysboken. c) Se sidan 06 i analysboken. 5. a) Kvadratkomplettering och division med 9 ger att ekvationen 4 +8+y + 6y+4 = 0 är ekvivalent med ekvationen (+1) (/) + (y+) = 1. Kurvan är alltså 1

8 en ellips med medelpunkt ( 1, ) och halvalar / och y b) Eftersom + 4 = 5 ger omvändningen till Pythagoras sats att triangeln är rätvinklig. Bisektrissatsen ger sen 5 = 4, dvs =. Pythagoras sats ger därefter att bisektrisens längd är y = (/) + = 5. B y A D 4 C 6. Låt konen ha höjden h och radien. Rätvinkliga likformiga tringlar ger att h = +h, vilket efter kvadrering och förenkling ger att = 9h h 6. Konens volym som en funktion av h är alltså π h = πh h 6. Derivering och teckenstudium av derivatan ger att denna funktion har ett minimum för h = 1. Konens minsta volym är således π = 7π.