När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

Transkript

1 Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna dyka upp, som delar i större problem. Tredjegradsekvationer där en rot x 1 = 0, som till exempel x 3 +x 2 6x = 0 måste man kunna lösa. När det gäller 4:e-gradsekvationer kommer vi kanske ihåg, de som saknar x 3 - och x-term, när man tar till substitution, t = x 2. Att förstå varför x = 1 inte är en lösning till ekvationen vilket man först skulle kunna tro. Kunna faktorisera ett polynom, typ x 2 x 1 +2 = 1 x 1 x 3 +x 2 6x x(x 2)(x+3) Rotekvationer Kvadrera båda sidor i rätt läge. Komma ihåg att testa rötterna. Första och andra kvadreringsregeln tillsammans med konjugatregeln Dessa regler är bra att hålla aktuella. Kan leda till förkortningar som medför enklare beräkningar. Algebra Att kunna hantera ett dubbelbråk. Att kunna förenkla ett algebraiskt uttryck, typ Potenser a b + b a a2 +b b 1 ab a där man behöver minsta gemensamma nämnaren för att komma vidare Att veta att man kan förkorta här a b a b Men inte här a+b a Friska upp potenslagarna och att 5 x4 x 4 5 och att Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 Ekvationer med absolutbelopp och olikheter Likformighet Vi har en triangel och drar en parallelltransversal. Linjen är parallell med en av triangelns sidor. Vi kan ställa upp förhållandet CD CA = CE CB CDE är likformig med ABC eftersom alla vinklar i den ena triangeln är lika med vinklarna i den andra. Likformighet kan ingå som en del i ett problem, till exempel i ett optimeringsproblem. Man kan bli tvungen att dra en eller flera hjälplinjer för att lösa problemet i fler än ett steg. Trigonometri och rätvinkliga trianglar Från två vinklar och en sida i en rätvinklig triangel ska du kunna bestämma de två andra sidorna och den tredje vinkeln. Från två givna sidor i en rätvinklig triangel ska du kunna bestämma den tredje sidan och alla vinklarna. Du måste vara beredd på att man kan behöva dra en hjälplinje i en given figur. Linjära ekvationssystem Oftast två obekanta, men tre kan förekomma. Kunna använda additionsmetoden och substitutionsmetoden Funktioner En funktion är en regel som till varje tillåtet x-värde ger exakt ett y-värde. De tillåtna x-värdena kallas definitionsmängden. Mängden av de y-värden, som kan erhållas genom tillåtna x-värden, kallas värdemängden f(x) = 3x 3 x Polynomfunktion f(t) = t Exponentialfunktion f(x) = 2 x + x Potensfunktion Det skadar inte att ha koll på hur grafen för olika funktioner kan se ut. I potensfunktioner kan förekomma asymptoter. Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 Räta linjen Bestämma räta linjens ekvation utifrån en given punkt och k-värdet eller utifrån två givna punkter. Kom ihåg att om för två linjer med k-värden, k 1 och k 2, gäller att k 1 k 2 = 1 så är linjerna vinkelräta mot varandra. Andragradsfunktioner Här behöver vi kanske inte lägre känna till symmetrilinje och vertex eftersom vi kan derivera och söka stationära punkter med annan teknik. Formelhantering Egentligen inget annat än ekvationslösning, men med konstanter i form av bokstäver i stället för tal. Vektorer Hur man betecknar vektorer. Addition av vektorer. Multiplikation med skalär. En vektors längd. Förändringshastighet, ändringskvot Här kan man bli tvungen att läsa av värden från diagram eller i tabell och bestämma f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Derivatans definition f(x+h) f(x) lim h 0 h I våra problem kommer man alltid att kunna förkorta bort h. Glöm inte bort att skriva lim h 0 i varje led. Ibland efterfrågas f (3) och ibland f (x) ingen principiell skillnad. Derivering av polynom När funktionen är given f(t) = t 2 +3x 2 +a b +xt blir f (t) = 2t+x. Man deriverar här med avseende på t. All termer där inte t ingår bara försvinner. Potensfunktioner och dess derivata Börja med att översätta funktionen till en så enkel form som möjligt före deriveringen blir enklare att derivera om man först skriver f(x) = 3 x x 2 f(x) = x 2 3 +x 2 Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 ger f (x) = 2x Snyggt om man sedan avslutar med att skriva 2x 3 f (x) = x 2 x 3 Exponentialekvationer och Logaritmekvationer Kom ihåg att lg10 = 1 och att lne = 1. Kolla upp var logaritmlagarna, som finns i formelsamlingen. Dessa två ekvationer är av det enklaste slag man kan förvänta sig. 3 x = 10 lg3 x = lg10 x lg3 = 1 x = 1 lg3 och ln10 = ln2+lnx ln10 = ln2x e ln10 = e ln2x 10 = 2x x = 5 x måste vara > 0 i lnx eller lgx. Exponentialfunktioner och dess derivata f(x) = C a kx a är oftast e, 10 eller ett tal liknande När x = 0 skär grafen y-axeln i (0,C). Om två punkter (x 1,y 1 ) och (x 2,y 2 ) som ligger på grafen till f(x) = C e kx är givna kan man bestämma C och k genom ett ekvationssystem. { y1 = C e kx 1 y 2 = C e kx 2 Lös ut C ur den första och substituera C i den andra. Tacksamt, som ofta, om x 1 eller x 2 är = 0, då C ramlar ut direkt. Derivatan till f(x) är f (x) = C k lna a kx. Skriver man om funktionen till kx lna f(x) = Ce kanske (?) de blir lättare att komma ihåg derivatan f kx lna (x) = C k lna e Ordet halveringstid nämns ofta tillsammans problem med exponentialfunktioner. Då är ofta massan hos ett radioaktivt ämne given och halveringstiden är den tid det tar för att dess massa ska halveras. Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Extrempunkter teckenstudium Det finns tre olika typer av stationära punkter, max-, min- och terrass-punkt. max- och minpunkter kallas också extrempunkter. Terrasspunkt är en stationär punkt, men inte en extrempunkt. Stationära punkter får man fram genom att lösa ekvationen f (x) = 0. Man avgör så typen av stationära punkter med hjälp av teckenstudium eller andraderivatan Exempel på teckenstudium f (x) > 0 Minpunkt f (x) < 0 Maxpunkt f (x) = 0 Avgör med teckenstudium x x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 3 < x < 8 x = 8 x > 8 f (x) f(x) ր max ց min ր max ց När det gäller att ta reda på största och minsta värdet hos en funktion f(x) på ett givet intervallet x 1 x x 2, räcker det att ta reda på rötterna till f (x) = 0, x 3 och x 4 och därefter bestämma f(x 1 ),f(x 2 ),f(x 3 ),f(x 4 ) och ur dessa värden plocka ut största och minsta värdet. Man behöver alltså inte bestämma typen hos de stationära punkterna! En tangent till en funktion har k-värdet f (x 1 ) i punkten (x 1,y 1 ) där men får y 1 genom y 1 = f(x 1 ). Vi har en punkt och ett k-värde. Då är det ingen konst att bestämma tangentens ekvation. En normal till en kurva i en given punkt är en linje som går genom punkten och är vinkelrät mot tangenten. Om en funktion f(t) anger sträckan efter tiden t, så anger f (t) hastigheten och f (t) accelartionen. Triangelsatserna Areasatsen, A = a b sinc 2 Sinussatsen, sina a = sinb b = sinc c Cosinussatsen, c 2 = a 2 +b 2 2 a b cosc Normalt kommer du att få givet en figur, som inte nödvändigtvis måste vara en triangel. Genom att på ett listigt sätt dra en hjälplinje uppstår trianglar. I, ofta flera steg, ska du så bestämma en vinkel eller en sida i figuren. Till din hjälp har du de tre satserna ovan, men även rätvinkliga trianglar kan uppstå, vilket gör det möjligt att direkt använda sambanden på sin, cos och tan. Enda klurigheten är när man ska bestämma en vinkel med hjälp av sinussatsen eller areasatsen. När man slår arcsinx ett tal i intevallet 0 x 1 får man alltid en vinkel v i första kvadranten. Tänk då på att även vinkeln 180 v (i andra kvadranten) är en möjlig lösning. Du måste nu testa om den är falsk eller äkta. Ofta med hjälp av triangelns vinkelsumma. Om ingen figur är given måste du förstå vad som menas med beteckningarna A, B, C, a, b, c, AB, AC och BC Cirkeln ekvation Du ska veta hur denna ekvation är kopplat till en cirkel r 2 = (x a) 2 +(y b) 2 Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 På sin höjd kan man få en uppgift, som undrar i vilka punkter en rät linje skär en cirkel. Oftast två rötter om nu linjen inte är en tangent till cirkeln. När konstanten a förekommer i en funktion En av mina favoriter är att blanda in en obekant konstant, ofta kallad a, i en funktion. Typiska frågor kopplade till det är Bestäm a då man vet att f(x 1 ) = y 1. Enkelt Bestäm a då man vet att f (x 1 ) = y 1. För vilka polynom kan inte denna fråga besvaras? Bestäm a då man vet att funktionen f(x) har ett maximum i punkten (x 1,y 1 ) Det finns många sådana uppgifter bland lektionsanteckningarna. Kolla upp dem. Optimeringsproblem Denna typ är ofta av geometrisk natur, man ska bestämma största arean, minsta omkretsen eller dylikt. För det mesta har man två obekanta x och y. Med hjälp av dessa storheter kan man så teckna en funktion f(x,y) för det som efterfrågas. Denna funktion innehåller både x och y, men eftersom det bör finnas ett samband mellan x och y, kan man lösa ut en av variablerna och substituera i f(x,y). Funktionen övergår nu i f(x) eller f(y) beroende på vilken variabel man vill ersätta. Härifrån tar man så reda på eventuella stationära punkter genom f (x) = 0. Man bestämmer så typen av dessa punkter. Viktigt är nu att bestämma funktionens definitionsmängd, x 1 x x 2. En sida måste till exempel ligga mellan dessa två värden. Till sist jämför man f(x 1 ) och f(x 2 ) med funktionsvärdena för de stationära punkterna och man har svaret. I samband av denna typ av problem förekommer ofta kon, cylinder, rätblock och klot. Kolla upp i formelsamlingen var man kan finna dessa kroppars volym och begränsningsarea. Plotta med räknedosan Det skadar inte att man kan plotta grafer med miniräknaren. Hur man använder arc-funktionerna. Hur man bestämmer till exempel När du tar reda på ett mellanresultat med hjälp av räknaren, ta då med fler decimaler än du tänker använda i svaret. Håkan Strömberg 6 KTH STH