III. Analys av rationella funktioner

Transkript

1 Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH

2 III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu diskutera en större klass av funktioner än polynomfunktionerna, nämligen de som beräknas som kvoter av polynom. De kallas rationella funktioner och har alltså formen f() g(), där f() och g() båda är polyom, vilka vi normalt antar inte har något gemensamt nollställe. I motsats till polynomfunktioner, som är definierade för alla, är rationella funktioner endast definierade i punkter där g() 0. Vi skriver dock inte ut detta villkor eplicit när vi definierar rationella funktioner. Notera också att en polynomfunktion är en rationell funktion. Om vi nämligen tar som g den funktion som identiskt ett ser vi ur definitionen att polynomfunktionen f också ska räknas till de rationella funktionerna. När vi analyserar rationella funktioner gör vi i princip samma saker som vi gör för polynomfunktioner, men det tillkommer ytterligare saker att diskutera, nämligen vad som händer då är stor liksom vad som händer då vi närmar oss de punkter där nämnaren har ett nollställe. Derivatan av en kvot Vi har definierat derivatan av en funktion f på följande sätt: funktionen är deriverbar i en punkt a om det för i någon omgivning [] till a går att skriva f() f(a) = A()( a), där A är en funktion som är kontinuerlig i punkten a. Värdet A(a) betecknade vi f (a) och kallade derivatan av f i punkten a. Eempel Den rationella funktionen f() = Vi har nämligen att är deriverbar i alla punkter a 0. f() f(a) = a = ( a), a och funktionen A() = A(a) = /a 2, så vi har att a är kontinuerlig i = a. Dess värde i punkten a är ( ) (a) = a 2. Detta eempel generaliseras till följande viktiga derivationsformel.

3 III. Analys av rationella funktioner 2 () Sats Om funktionen g är deriverbar i punkten a och g(a) 0, så gäller att även funktionen /g är deriverbar i a och ( g ) (a) = g (a) g(a) 2. Bevis. Om vi skriver f() = /g(), så gäller att f() f(a) = g() g(a) = g() g(a) g()g(a). Men vi kan skriva g() g(a) = A g ()( a) där A g () är kontinuerlig i = a med värdet A g (a) = g (a). Det följer att f() f(a) = A g() ( a). g()g(a) Jämfört med definitionen av derivatan har vi alltså A() = A g ()/g()g(a), vilket är en kontinuerlig funktion nära a eftersom g(a) 0. Dess värde i a är A(a) = A g (a)/g(a) 2 = g (a)/g(a) 2. [2] Därmed är satsen bevisad, eftersom f (a) = A(a). Med hjälp av produktformeln för derivation får vi ur denna sats att ( f g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) g(a) 2. Vi har nämligen enligt formeln för derivation av en produkt [3] att ( f g ) (a) = (f g ) (a) = f (a) g(a) + f(a)( g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) g(a) 2. Eempel 2 Vi ska derivera funktionen Derivationsformeln ovan ger då att f() = f () = (2 + ) ( 3 + 2) ( 2 + )( 3 + 2) ( 3 + 2) 2 = 2(3 + 2) ( 2 + )(3 2 ) ( 3 + 2) 2 = ( 3 + 2) 2 = ( 3 + 2) 2.

4 III. Analys av rationella funktioner 3 () Vertikala asymptoter Vi ska nu undersöka en rationell funktion i närheten av en punkt där dess nämnare är noll. Vi gör det i eempelform. Eempel 3 Funktionen f() = a är definierad i alla punkter utom = a. Om vi närmar oss a från höger, vilket vi skriver a +, så gäller att a > 0 och blir mindre och mindre. Det betyder att /( a) blir större och större, utan att nå någon övre gräns. Vi skriver det som att a + a =. Om vi istället närmar oss a från vänster, vilket vi skriver a, så gäller att /( a) blir stor negativ utan någon nedre gräns. Vi skriver det a a =. Vi säger att den vertikala linjen = a är en vertikal asymptot, och teckendiskussionen ovan talar om för oss vad som händer då vi närmar oss den. Om vi går från vänster till höger genom a, hoppar grafen från till +. Vidare ser vi att då eller, så gäller att f() 0. Vi skriver det som ± a = 0, och linjen y = 0 kallas en horisontell asymptot till kurvan y = /( a). y a Eempel 4 Betrakta nu istället funktionen f() = ( a) 2, y som också har en vertikal asymptot i = a. Men för den gäller att a + ( a) = 2 a ( a) =. 2 Även nu är naturligtvis y = 0 en horisontell asymptot både i plus och minus oändligheten. a

5 III. Analys av rationella funktioner 4 () Anmärkning Som kommentar kan vi bara notera hur den moderna definitionen av att a + f() = + ser ut. Den är att oavsett hur stort A vi tar, finns ett δ > 0 så litet att när 0 < a < δ så gäller att f() > A. På motsvarande sätt definieras när vänstergränsvärdet går mot oändligheten. Det tvåsidiga gränsvärdet a f() = + betyder att f() > A då 0 < a < δ. Vi tar sedan ett eempel med flera vertikala asymptoter. Eempel 5 Betrakta den rationella funktionen f() = 3 2 som är definierad då ±. De två räta linjerna = och = är därför vertikala asymptoter till funktionens graf. För att se hur grafen ser ut nära =, faktoriserar vi nämnaren och ser att f() = 3 ( )( + ) 2( ), så vi har att f() =, + f() =. Nära = har vi på liknande sätt att f() = 3 ( )( + ) 2( + ), när ligger (väldigt) nära, så vi har också att f() =, + f() = Alternativt kan vi i det här fallet göra en teckentabell där vi har tagit med både täljarens och nämnarens alla nollställen: : 0 f() : Ur denna tabell kan vi sedan utläsa vad som händer då vi närmar oss de punkter där f inte är definierad. Detta är bekvämt om det går, men kräver att vi kan hitta alla nollställen till både täljare och nämnare Vi ser alltså att nollställena i nämnaren till en rationell funktion ger upphov till vertikala asymptoter, och när vi ska förstå grafen för funktionen behöver vi studera vilken

6 III. Analys av rationella funktioner 5 () oändlighet vi närmar oss när vi närmar oss asymptoten. Vi kan närma oss denna från två håll, och det behöver inte vara samma oändlighet i de två fallen. Om gränsvärden i oändligheten Ofta behöver man få en uppfattning om hur en funktion f() ser ut då antingen är väldigt stor och positiv eller väldigt stor och negativ. Man gör detta genom att undersöka gränsvärdena f() och f(), och mest intressant är dessa när de blir ändliga tal. För polynom är dessa gränsvärden alltid plus eller minus oändligheten, men för en rationell funktion kan vi få ett ändligt gränsvärde. Detta inträffar när polynomen i täljaren och nämnaren har samma grandtal. Nästa eempel illustrerar hur man mer formellt bestämmer ett sådant gränsvärde. Eempel 6 För att beräkna börjar man med att bryta ut den snabbast väande termen [4] ur både täljare och nämnare: = 2 ( ) 2 ( + 2 ). Sedan förkortar vi bort 2 och noterar att då gäller att , + 2, vilket betyder att = = Införandet av nollorna i uttrycket är för att förtydliga vad som händer med termerna 2/, / 2 respektive 2/ då. Det viktiga att komma ihåg här är att bryta ut den snabbast väande termen och sedan först jämföra dem i täljare och nämnare (kanske går de inte att förkorta). Den andra faktorn i både täljare och nämnare ska ha ett gränsvärde och hanteras enkelt med nollorna som ovan. Vi kommer att kunna beräkna sådana gränsvärden i nästa avsnitt.

7 III. Analys av rationella funktioner 6 () Sneda asymptoter I Eempel 5 undersökte vi aldrig vad som händer då ±. För stora har vi att 2 2[5], så kvoten 3 /( 2 ) blir ungefär och går därför mot oändligheten då, och minus oändligheten då. Men inte bara det, avståndet mellan grafen till funktionen och den räta linjen y = blir mindre och mindre då. Tydligast ser vi detta om vi gör följande omskrivning: Vi ser då att 3 2 = = + 2. f() 0 då. Vi säger att linjen y = är en sned asymptot till funktionens graf. I det här fallet gäller detta både i plus oändligheten och i minus oändligheten. Allmänt säger vi att linjen y = k + m är en sned asymptot i oändligheten till grafen till funktionen f om f() (k + m) 0 då. Vi säger att den är en sned asymptot i minus oändligheten om detta gäller då. För rationella funktioner kan man bestämma sneda asymptoter genom polynomdivision som vi gjorde ovan. Man kan också notera att för en sned asymptot y = k + m i oändligheten gäller att f() = k, och när vi har bestämt k får vi I vårt eempel får vi k = f() m = (f() k). = 2 2 = 2 = och sedan att m = (f() ) = 3 ( 2 ) 2 = 2 = = 0. Detta ger att asymptoten i oändligheten är y =. På motsvarande sätt bestäms sneda asymptoter i minus oändligheten. Denna metod måste ibland tas till när man analyserar icke-rationella funktioner, och är därför mer generell än polynomdivision som främst fungerar för rationella funktioner. Anmärkning För rationella funktioner gäller att de alltid måste ha samma asymptot i de två oändligheterna. Detta därför att vi efter polynomdivision kan skriva en rationell funktion som f() = k + m + p() q()

8 III. Analys av rationella funktioner 7 () där gradtalet på polynomet p() är < gradtalet på polynomet q(). Det gäller emellertid inte för funktioner som inte är rationella funktioner sådana kan mycket väl ha olika asymptoter i de två oändligheterna. Ett eempel på detta har vi härnäst. Eempel 7 Vi ska bestämma de sneda asymptoterna till grafen till funktionen f() = 2 2. Vi får då analysera de två oändligheterna var för sig. Här igenom kan vi lösa upp absolutbeloppet. Om > 0 har vi att f() = 2 2 = ( )2 = ( ), och när gäller att den andra termen går mot noll. Det betyder att skillnaden f() ( ) 0 då, och alltså att y = är en asymptot i oändligheten. Då < 0 har vi att f() = = Detta kan ses genom t.e. en vanlig polynomdivision [6]. Vi kan också använda den säkra metoden ovan: k = =, + 2 m = (2 ) = 3 = 3. Vilket vi än gör får vi att kurvan har asymptoten y = + 3 i minus oändligheten Anmärkning I figuren i eemplet, och kommande eempel, är kurvan datorritad nära asymptoten. Hur kurvan verkligen närmar sig asymptoten (underifrån, överifrån, oscillerande kring den) kan vara svårt att avgöra, och det enda vi bryr oss om är att kurvan närmar sig asymptoten när blir stor respektive liten. Anmärkning Asymptoter är inte något som bara finns till grafer av funktioner, utan även en allmännare kurva kan ha en asymptot. T.e. gäller att hyperbeln 2 y 2 = har de två asymptoterna y = ±. En rät linje kallas en asymptot till en given kurva om det vinkelräta avståndet från en punkt P på kurvan till linjen går mot 0 då

9 III. Analys av rationella funktioner 8 () avståndet från P till origo går mot oändligheten. Grafritning av rationella funktioner Vi ska nu komplettera diskussionerna om asymptoter ovan med att lite mer fullständigt skissera grafen för funktionerna i eemplen ovan. Vi börjar dock med ett annat eempel. Eempel 8 Vi ska skissera grafen till funktionen f() = 2 3. i Eempel 5. Nämnaren är noll endast då =, funktionen 3 är strängt väande från till, så ekvationen 3 = har precis en lösning. Vi ser också att Vidare ser vi att 2 2 =, 3 + = = 0. Vi har därför en horisontell asymptot y = 0 i både plus och minus oändligheten. Efter att gjort en skiss baserat på denna information vill vi nu identifiera eventuella lokala etrempunkter. För det beräknar vi derivatan f () = ( 3 ) 2. Denna är noll då = 0 eller 3 +2 = 0, alltså då = 3 2. Vi gör nu följande teckentabell : f () : f() : 3 22/3 0 Vi ser att vi har ett lokalt maimum då = 3 2 och ett lokalt minimum i = Eempel 9 Vi ska nu skissera grafen till funktionen f() = 3 2.

10 III. Analys av rationella funktioner 9 () Vi har redan noterat att de vertikala asymptoterna är = ± och att f() = f() =, f() = f() =. + + Vidare såg vi att y = är sned asymptot i både plus och minus oändligheten. Om vi från detta försöker visualisera grafen för funktionen inser vi att vi måste ha minst ett lokalt maimum och ett lokalt minimum. För att verifiera detta, och se om det kan finnas fler, deriverar vi. Vi får då derivatan f () = ( 2 ) 2 = ( 2 ) 2 ( 3)( + 3). Vi har alltså tre stationära punkter, i 4 = ± 3 och = 0. Om den senare vet vi redan att den är en terrasspunkt 5 (varför? [7] ). Vi gör nu följande teckentabell 6 : f () : f() : 0 Från detta kan vi nu skissera grafen ovan. 2 3 Eempel 0 Vi avslutar med att skissera grafen till f() = 2 2 som vi diskuterade sneda asymptoter till i Eempel 7. Den har uppenbarligen en vertikal asymptot i = och nära denna gäller att f() /( ), vilket gör att 2 2 =, =. Vidare har vi sett att den har asymptoten y = i oändligheten och asymptoten y = + 3 i minus oändligheten. Det återstår att identifiera eventuella lokala etrempunkter. För detta behöver vi derivatan, och denna får olika uttryck på de två sidorna om origo p.g.a. absolutbeloppet. Detta gör också att funktionen inte är deriverbar i origo, vilket vi måste

11 III. Analys av rationella funktioner 0 () komma ihåg när vi gör teckentabellen nedan. Derivatan blir = ( )2 +, > 0, f ( ) () = 2 ( ) = (. )2 3, < 0 ( ) 2 ( ) 2 Vi ser att då > 0 finns ingen stationär punkt, medan då < 0 har vi den stationära punkten = 3. När vi nu gör en teckentabell ska denna förutom stationära punkter och vertikala asymptoter innehålla de punkter där funktionen inte är deriverbar. Vi ser att vi har följande tabell: : 3 0 f () : f() : Detta i sin tur ger oss följande figur: Vi kan notera att funktionen har nollställen då = 2, 0, 2, vilket förbättrar figuren. Vi kan också notera i detta eempel att det faktum att funktionen inte är deriverbar i = 0 visar sig genom att grafen har en spets i den punkten.

12 III. Analys av rationella funktioner () Noteringar. En omgivning till a har formen a < δ för något δ > Själva formeln härleds enklare genom att vi deriverar relationen f()g() =. Vi får då att f ()g() + f()g () = 0, vilket ger att f () = f()g ()/g() = g ()/g() 2. Men den räkningen är gjord under förutsättning att vi verkligen kan derivera f, vilket måste bevisas först! 3. Se kapitlet Analys av polynomfunktioner 4. Strikt set är den snabbast väande termen i täljaren 5 2, men det viktiga är faktorn 2 som framgår av räkningarna. 5. Strikt sett: ( 2 )/ 2 = 2 då är stor. 6. Man kan också använda sig av följande trick: Vi vill få en faktor ( ) i täljaren genom att lägga till och dra ifrån en konstant A till så att A får en faktor ( ). Enligt faktorsatsen ska då A väljas så att A = 0, alltså A = Vi vet att f() välar tecken i origo, så origo kan inte vara en lokal etrempunkt, och är därför en terrasspunkt.