Funktioner: lösningar

Transkript

1 Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a)) < f (g (b)) g () = f () = f (g ()) = ( ) = 9. Om f () =a + b, så skall vi a a ( 1) + b<<a+ b m (a 1) + b a<0 < (a 1) + b m a =1oc b a<0 <b m a =1oc 0 <b<1 Ett kanske enklare alternativ, som tillåter oss att lätt besvara även frågan om icke-monotona funktioner, är att skriva om den vänstra oliketen till f () <+1 Vår dubbeloliket är alltså ekvivalent med <f() <+1 så varje funktion, vars graf svänger mellan linjerna y = oc y = +1duger. 10. a) 0 för alla, så 5+ 5 med liket för =0, d.v.s. 5 är uttryckets minsta värde / minimum/ oc det antas för =0. Något maimum finns inte, ty kan fås att anta ur stora positiva värden som elst genom att sätta in tillräckligt stora. b) ( 1) 0 för alla, så 3 ( 1) 3 med liket för =1, d.v.s. =1ger maimum. Något minimum finns inte, ty ( 1) kan fås att anta ur stora negativa värden som elst genom att sätta in tillräckligt stora värden på. c) 3+ är för alla värden på en kvot mellan positiva tal. Täljaren är dessutom konstant. ½ störst, när nämnaren är minst Kvoten är minst, när nämnaren är störst Nämnaren är 3 med liket då =0, så kvotens maimum = för =0 3 När ökas från 0 oc uppåt (det räcker att titta på positiva, eftersom( ) = ), så ökar nämnaren ockvotenminskar. Iocmedatt kan bli ur stor som elst, kan kvoten komma ur nära 0 som elst, dock blir den aldrig eakt = y = 3+ ( Minimum som inte antas, som y =0i detta fall, brukar matematiker kalla infimum. Motsvarande term för maimum som inte antas är supremum.) 1

2 De nya graferna är de tjockare. V f = {y :0<y 85} V g = {y :10 y<50} 1. a) f () = p 100, 6 8 f avtar när avlägsnar sig från origo. Vidare är f ( ) =f (). Därför - -6 b) ma 6 8 ma 6 8 p 100 = 100 = 10 p = 36 = 6 y = f () För varje -värde minskas y-värdet med. Grafen sänks nedåt längdeneter. f () = +, 0 4 Båda termerna väer, när ökar från 0. ma f = f (4) = 8 min f = f (0) = y = f ( 1) Den nya kurvans värde för ett visst är lika med den gamla kurvans värde för 1, som ligger 1 steg åt vänster. Alltså är den nya grafen en orisontellt translaterad kopia av den gamla. (Om vi tänker på som tid, så skulle f ( 1) föreställa samma förlopp som f (), men fördröjt 1 tidsenet.)

3 y = f () För varje byter y-värdet tecken. Den nya grafen fås ur den gamla genom spegling i -aeln y =f () För varje fördubblas y-värdet, d.v.s. avståndet från grafen till -aeln fördubblas överallt y = f ( ) Den nya funktionen antar för givet samma y-värde som den gamla antar för på andra sidan y-aeln. Den nya grafen fås ur den gamla genom spegling i y-aeln y = f () För varje får man från den nya funktionen samma y-värde som från den gamla för, som ligger dubbelt så långt från y-aeln. Den nya grafen är en sammanpressad version av den gamla. 3

4 y = f () y = f ( 1) Endast punkter med negativ y-koord. påverkas: deras y-koordinat byter tecken, d.v.s. de speglas i - aeln. Obs. att om vi inför f ( 1) = g (), g () =f ( 1) Kurvan y = g () fårviurdengivnagenomorisontell translation (beandlat ovan). Kurvan y = g () får vi sedan ur y = g () genom sammanpressning (också beandlat ovan). y = f ( ) Endast punkter med negativ -koordinat påverkas: de får samma y-värde som punkten med motsatt - koordinat. Den vänstra alvan av grafen (den som ligger till vänster om y-aeln) tas alltså bort oc ersätts av den ögras spegelbilden y = 1 f() Utnyttja att (även för negativa tal): Ju större f (), desto mindre 1/f (). Grafen väer obegränsat i näreten av = 1 oc =. Kurvornas eakta form låter sig dock inte kopplas till den givna grafen lika enkelt som i de föregående eemplen. 4

5 14. (fg) 00 =(f 0 g + fg 0 ) 0 = =(f 0 g) 0 +(fg 0 ) 0 = = f 00 g + f 0 g 0 + f 0 g 0 + fg 00 = = f 00 g +f 0 g 0 + fg 00 Iocmedattf (π/4) = 1+ =3+, kan vi skärpa oliketen till µ 1+ 1 µ sin cos med liket då oc endast då = π/4 (När man kommer upp i tredje- oc fjärdederivata, så brukar man skriva siffror inom parentes, i stället för primtecken) (fg) (3) = =(f 00 g +f 0 g 0 + fg 00 ) 0 = f (3) g + f 00 g 0 +f 00 g 0 +f 0 g 00 + f 0 g 00 + fg (3) = f (3) g +3f 00 g 0 +3f 0 g 00 + fg (3) (fg) (4) = = ³f (3) g +3f 00 g 0 +3f 0 g 00 + fg (3) 0 =... = f (4) g +4f (3) g 0 +6f 00 g 00 +4f 0 g (3) + fg (4) Lägg märke till analogin med binomialutvecklingar: (a + b) = a +ab + b (a + b) 3 = a 3 +3a b +3ab + b 3 (a + b) 4 = a 4 +4a 3 b +6a b +4ab 3 + b Studera vänsterledet med derivata: f () =1+ 1 cos + 1 sin + 1 cos sin f 0 () = sin cos cos sin cos sin cos sin = = sin3 cos 3 +sin cos cos sin = Bryt ut oc kvar ar vi sin cos cos sin sin +sincos +cos +sin +cos =1+sin +cos +sincos = =(1+sin)(1+cos) > 0 Härav ses att ½ avtagande för 0 <<π/4 f () är väande för π/4 <<π/ oc minimum antas alltså för = π/ f (g ()) + p p p p +4 1 ³p +4 = g (f ()) s µ = Ã µ = 1 1! + r = 1 µ 1 s µ = 1 µ = Funktionerna f oc g föråller sig till varandra som oc ln oc e tan 1 oc tan,... De är inversa funktioner till varandra. 17. Kurvan y = f (a)+f 0 (a)( a) är tangenten till y = f () i = a Låt alltså f () =(1+) p,a=0. Derivatan f 0 () =p (1 + ) p f 0 (0) = p 5

6 Anm. Ett beändigt skrivsätt, som tillåter oss undvika att införa f oc g stupikvarten,är d d (någonting) = d d (1 + )p = p (1 + ) p 1 derivatan med avseende på av detta någonting Obs. fördelen med d i nämnaren när man ar ett uttryck med flera bokstäver den anger variabeln vi ska derivera efter. T.e. är d dp (1 + )p = derivatan med avseende på p Tillbaka till aproimerandet: = d dp eln(1+) p = = e ln(1+) p ln (1 + ) =(1+) p ln (1 + ) (1 + ) p 1+p för 0 Om p = positivt eltal, så kan vi komma fram till detta med jälp av binomialutvecklingen: (1 + ) =1+ + (1 + ) 3 = (1 + ) 4 = (1 + ) n =1+n Närviutvecklarparenteserna,fårvipotenserav enligt ovanstående mönster. För tillräckligt små är 1 À À À 3 À... där À står för mycket större än Vad vår approimation (1 + ) n 1+n kan sägas andla om, är att vi tar med de två största termerna oc försummar resten. 18. Kvoten kan förväntas approimera andraderivatan: = f ( + ) f ()+f ( ) f(+) f() f 0 () f 0 ( ) f() f( ) f 00 () 6