f(x) = x 2 g(x) = x3 100
|
|
- David Engström
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer när x växer för följande funktioner f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x x x 2 x 3 x Tal med fet stil visar största värdet hos de tre funktionerna. Vi ser alltså att h(x) så småningom tar över ledningen för att aldrig släppa den när x fortsätter att växa. Om vi studerar funktionsvärden för polynom av udda gradtal, ser vi att de antingen kommer nerifrån och försvinner uppåt mot. Koefficienten som tillhör termen med högsta gradtalet är > 0. eller kommer uppifrån och försvinner neråt mot. Koefficienten som tillhör termen med högsta gradtalet är < 0. Håkan Strömberg 1 KTH Syd
2 När det gäller polynom med jämna gradtal, ser vi att de antingen kommer nerifrån och försvinner neråt mot igen. Koefficienten som tillhör termen med högsta gradtalet är < 0. eller kommer uppifrån och försvinner uppåt mot igen Koefficienten som tillhör termen med högsta gradtalet är > 0. Vad kan man säga om termen med högsta gradtalet för dessa fyra grafer? (Vi antar att vi ser alla extrempunkter) Längst upp till vänster har vi en polynomfunktion av udda gradtal. Om det är så att man ser alla extrempunkter (en maxpunkt och en minpunkt) så måste det vara en 3:egradspolynom med positiv koefficient. Till exempel p(x) = 2x 3... Längst upp till höger har vi också ett 3:egradspolynom men denna gång med negativ koefficient framför x 3 -termen. Till exempel p(x) = x 3... Längst ned till vänster har vi en polynomfunktion av jämnt gradtal. Ser vi alla extrempunkter (en max- och två minpunkt) handlar det om ett 4:egradspolynom med positiv koefficient framför x 4 -termen. Till exempel p(x) = x 4... Längst ned till höger har vi också ett 4:egradspolynom, men denna gång med negativ koefficient framför x 4 -termen. Till exempel p(x) = 2x 4... Vi förstår av detta, att vilka koefficienter termer med lägre gradtal än har, så är det termen med högsta gradtalet som avgör kurvans utseende för stora negativa och positiva x. För att kunna skissa en funktion f(x) är det bra att känna till var funktionen kommer ifrån för stora negativa x vart funktionen tar vägen för stora positiva x Håkan Strömberg 2 KTH Syd
3 funktionens f(x) nollställen nollställen till funktionens derivata, f (x) ibland också andraderivatan, f (x) (nästa föreläsning) Om man har den här kunskapen kan man skissa funktionen f(x) Fjärdegradspolynom. Hur många olika skisser kan ett fjärdegradspolynom uppvisa? Figur 1: Maximalt kan det finnas tre extrempunkter. Det är rötterna till ekvationen f (x) = 0 som avgör hur många extrempunkter det finns. Då vi talar om f(x) som 4:egradspolynom vet vi att f (x) är av 3:e graden. Det betyder att f (x) = 0 har maximalt tre reella rötter. Vi vet också att grafen till ett 3:egradspolynom skär x-axeln minst en gång, vilket betyder att f (x) = 0 har minst en rot. Vilket betyder att f(x) har minst en extrempunkt. Vi ska nu skissa ett fjärdegradspolynom p(x) = x 4 12x x 2 80x + 48 Från tidigare vet vi att det är mycket svårt att lösa fjärdegradsekvationer, därför får vi här hjälp med rötterna. När vi deriverar p(x) får vi x 4 12x x 2 80x + 48 = 0 x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = 2 x 4 = 6 p (x) = 4x 3 36x x 80 Även rötterna till p (x) = 0 är svårfångade eftersom det är nästan lika svårt att lösa en tredjegradsekvetion. Även denna gång får vi hjälp 4x 3 36x x 80 = 0 x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = 5 Håkan Strömberg 3 KTH Syd
4 Nu har vi tillräckligt med kunskap om funktionen för att kunna skissa den. Vi ställer upp följande diagram för teckenstudier. x x < 2 x = 2 2 < x < 5 x = 5 x > 5 f (x) f(x) ց terrass ց min ր Vi sätter in ett stort negativt tal, till exempel 1000, och ser att f ( 1000) < 0. Det betyder att f(x) är avtagande. Vi ritar in en pil som pekar nedåt. Då x = 2 är f (x) = 0, alltså har vi träffat på en extrempunkt. Vi vet dock inte ännu vilken typ av punkt det handlar om. Då vi rör oss i intervallet 2 < x < 5 väljer vi ett möjligt x 1 och bestämmer f (x 1 ) till exempel f (3) = = 8 (De gånger talet x = 0 ingår i intervallet är det ett lämpligt värde, missa inte det när det är möjligt). Vi ser att f (3) < 0. Då måste f(x) åter vara avtagande. Vi ritar in en ny pil som pekar nedåt. Nu kan vi också avgöra vilken typ av extrempunkt vi har i x = 2 en terrasspunkt! Då x = 5 har vi en ny extrempunkt, vilken kan vi ana om vi studerar figur 1, men vi väntar med avgörandet. Nu är det dags att sätta in ett stort positivt x-värde dödar allt. Vi ser att f (1000) > 0 och att funktionen (äntligen) växer. Vi förstår då också att vi har en minpunkt för x = 5. Nu är det dags att visa grafen och konstatera att den överensstämmer med vår skiss Figur 2: 1 Skissa funktionen f(x) = x 4 8x 3 26x x 135 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 Vi får reda på att f(x) har följande nollställen, f(x) = 0 har följande rötter (som vi egentligen inte behöver för denna uppgift) x 1 = 5 x 2 = 1 x 3 = 3 x 4 = 9 f (x) = 0 har följande rötter, som är betydligt viktigare för denna uppgift Rita diagrammet för teckenstudier Lösning: x 1 = 3 x 2 = 2 x 3 = 7 f (x) = 4x 3 24x 2 52x x x < 3 x = 3 3 < x < 2 x = 2 2 < x < 7 x = 7 x > 7 f (x) f(x) ց min ր max ց min ր Så här ser funktionen ut Figur 3: 2 Skissa funktionen f(x) = x 4 12x x 2 108x + 81 Vi får reda på att f(x) har följande nollställen, f(x) = 0 har följande rötter f (x) = 0 har följande rötter Rita diagrammet för teckenstudier Lösning: x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 3 x 4 = 3 x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 3 f (x) = 4x 3 36x x 108 x x < 3 x = 3 x > 3 f (x) 0 + f(x) ց min ր Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 Funktionens utseende Figur 4: 3 Skissa funktionen f(x) har följande nollställen: f (x) = 0 har följande rötter: Rita diagrammet för teckenstudier Lösning: f(x) = x 4 4x x 2 20x + 7 x 1 = 7 x 2 = 1 x 3 = 1 x 4 = 1 x 1 = 5 x 2 = 1 x 3 = 1 f (x) = 4x 3 12x x 20 x x < 5 x = 5 5 < x < 1 x = 1 x > 1 f (x) f(x) ր max ց terrass ց Så här ser funktionen ut Figur 5: Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 1 Skissa funktionen f(x) = x 2 + 2x 8 Här får du inga rötter eftersom du själv kan ta reda på dem! Rita diagram för teckenstudier. 2 Skissa funktionen f(x) = x 3 6x 2 135x Här får du rötterna till f(x) = 0, fast du inte behöver dem: x 1 = 11 x 2 = 4 x 3 = 13 Rötterna f (x) = 0 kan du ta reda på själv. Rita diagram för teckenstudier. 3 Skissa funktionen f(x) = 0 har följande rötter: f (x) = 0 har följande rötter: Rita diagrammet för teckenstudier f(x) = x x 3 4x 2 192x 320 x 1 = 4 x 2 = 2 x 3 = 4 x 4 = 10 x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 8 1 f (x) = 0 ger x = 1 f (x) = 2x + 2 x x < 1 x = 1 x > 1 f (x) 0 + f(x) ց min ր Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 2 f (x) = 0 ger ekvationen f (x) = 3x 2 12x 135 3x 2 12x 135 = 0 x 2 4x 45 = 0 x = 2 ± x = 2 ± 7 x 1 = 9 x 2 = 5 x x < 5 x = 5 5 < x < 9 x = 9 x > 9 f (x) f(x) ր max ց min ր Så här ser funktionen ut Figur 6: 3 f (x) = 4x x 2 8x 192 x x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 3 < x < 8 x = 8 x > 8 f (x) f(x) ր max ց min ր max ց Så här ser funktionen ut Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 Figur 7: Räkna bokens uppgifter: 3112, 3114, 3117, 3118, 3119, 3121, 3122, 3125, 3126, TB: Här blir det inte så mycket räkna, eller hur? Vi har funktionen f(x) = x 3 + 5x 1. När x är stort, typ är det förstås x 3 -termen som dominerar. Dess värde överskuggar förstås alla andra termer i polynomet. Samma sak gäller för x = När x är litet, till exempel , så är det 1:an som dominerar över de andra två termerna. TB: Du, jag orkar inte bestämma f (x) = 0 en gång till. Har jag inte visat att jag kan det? KTH: I en skiss behöver du bara plocka fram vilken kategori kurvan tillhör Figur 8: TB: Det måste vara B TB: Vilken dålig variation det är. Vad skiljer denna funktion från de jag redan bestämt i de andra uppgifterna? Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 KTH: Räkna på får du väl se! f(x) = x 3 + 3x 2 f (x) = 3x 2 + 6x f (x) = 0 då 3x 2 + 6x = 0 x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 f(0) = 0 och f( 2) = 4. Maxpunkt i ( 2, 4) och minpunkt i (0, 0). När jag plottar den får jag: Figur 9: 3117 Den enda skillnaden från tidigare uppgifter är att man kan bestämma nollställena till f(x) därför att det är möjligt att lösa ekvationen f(x) = 0. Man ser från grafen att detta är riktigt. x 3 + 3x 2 = 0 x 2 (x + 3) = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 3 TB: En fjärdegradspolynom. En nyhet! f(x) = 25+28x 2 x 4. Den här kan ha enda upp till tre extrempunkter. Men kan man verkligen ta reda på var de finns eftersom vi varken kan lösa 3 eller 4 gradsekvationer. KTH: Vi har tidigare lös denna typ av ekvationer. Den då x 3 och x termer saknas. Hur gör man? TB: Grubbel, grubbel... KTH: Nyckelordet heter substitution TB: Då vet jag, vi substituerar t = x 2 i ekvationen och får t t 2 = t t 2 = 0 t 2 28t 25 = 0 t = 14 ± t 1 = t 2 = Nu vet ja alltså vad t är då ska jag lösa t = x 2. Det måste bli två ekvationer en för t 1 och en för t 2. Varje ekvation ger mig två rötter till den ursprungliga Håkan Strömberg 10 KTH Syd
11 ekvationen: x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 1 och x 2 är inte reella eftersom vi får ett negativt tal under rottecknet. Återstår de de två reella x och x Här är grafen som bekräftar: Figur 10: KTH: Du vet nu att det finns två nollställen till funktionen och i grafen kan vi se att det finns tre extrempunkter, två maximum och ett minimum. Kan du ta reda på i vilka punkter de ligger? TB: Principen för hur det ska gå till, känns som jag har visat många gånger nu, men eftersom derivatan är ett polynom av tredje graden kan det bli knepigt, om inte omöjligt att finna rötterna. Jag gör ett försök: 3118 f (x) = 56x 4x 3 f (x) = 4x(14 x 2 ) x 1 = 0 x 2 = 14 x 2 = 14 Det blev ju inga problem alls. f(0) = 25 ger minimum i punkten (0, 25) och f( 14) = 221 och f( 14) = 221 ger maximum i punkterna ( 14, 221) och ( 14, 221) TB: En funktion given på ett lite annorlunda sätt f(x) = 4x(x 6)(x 10). Detta gör att det blir huvudräkning att bestämma rötterna till f(x) = 0. De blir x 1 = 0, x 2 = 6 och x 3 = 10. KTH: Är du säker på att det inte finns fler rötter. TB: Ja, för om jag skulle utveckla parenteserna så skulle det sluta i en polynom av tredje graden. Det ser man på långt håll. Men när jag nu ska ta reda på Håkan Strömberg 11 KTH Syd
12 extrempunkterna kommer jag inte ifrån att utveckla parenteserna: f(x) = 4x(x 6)(x 10) f(x) = 4x 3 64x f (x) = 12x 2 128x f (x) = 0 då 12x 2 128x = 0 ( 2 8 ) 19 x 1 = ( ) 19 x 2 = Det blev inga snälla värden f(x 1 ) = och f(x 2 ) = Vi har en maximipunkt i (2.4274, ) och en minpunkt i ( , ) Figur 11: KTH: Det blev lite mer än en skiss av kurvan, eller hur? TB: Jag har en uppgift kvar. När är f(x) > 0. Dels när 0 < x < 6 och då x > 10. Lätt att säga när man har grafen TB: Vi känner alltså rötterna x 1 = 2, x 2 = 1 och x 3 = 4 till ekvationen p(x) = 0 och vet att a < 0 i f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d. Nu ska jag skissa kurvan. Man kan inte bestämma a, b, c och d eftersom man har fyra obekanta och tre villkor, de tre rötterna. Tidigare har vi sagt att det finns oändligt många polynom av tredje graden med de givna rötterna. Så därför måste det verkligen bli frågan om en skiss den här gången. Ekvationen (x + 2)(x 1)(x 4) = 0 har de tre givna rötterna. Om jag expanderar detta uttryck får jag x 3 3x 2 6x + 8 = 0. Motsvarande funktion p(x) = x 3 3x 2 6x + 8 är alltså en av många. Så här skulle man kunna skriva alla p(x) = m(x 3 3x 2 6x + 8). m kan nu vara vilket tal som helst. Speciellt i texten står det att koefficienten till x 3 ska vara negativ, så varför inte låta m = 1. Genom att plotta denna funktion får vi svaret. Håkan Strömberg 12 KTH Syd
13 KTH: Kan du inte istället resonera dig fram till hur grafen ser ut. TB: Vi har alltså p(x) = x 3 + 3x 2 + 6x 8. När x är ett stort negativt tal är p(x) > 0 vilket betyder att kurvan kommer snett uppifrån vänster, skär x-axeln i x = 2, når ett minimum någonstans mellan x > 2 och x < 1. Vänder förstås där till positiv lutning och skär x-axeln igen i x = 1. Snart når den ett maximum för att åter vända ner, skära x-axeln i x = 4 och försvinna snett ned åt höger. Rörigt eller hur. "En bild säger mer än tusen ord". Här kommer grafen Figur 12: 3121 TB: Den här gången får vi våra ledtrådar i form av en tabell 3122 x f(x) Jag ska nu försöka finna a, b, c och d till funktionen f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d. Det lär gå bra eftersom det finns fyra obekanta och fyra punkter givna. Vi har lite tur eftersom tre av punkterna samtidigt är nollställen till funktionen. Då kan man skriva f(x) = m(x + 3)(x + 1)(x 4). m kan nu ha vilket värde som helst eftersom vi kan förkorta bort m när vi ska lösa ekvationen f(x) = 0, m(x + 3)(x + 1)(x 4) = 0. Oavsett m har vi de tre rötterna. Men vi har en fjärde punkt given, (2, 5), som vi nu ska utnyttja för att bestämma m. f(2) = 5 leder till ekvationen m(2+3)(2+1)(2 4) = 5 som ger m = 1/6. Funktionen är alltså f(x) = 1 (x + 3)(x + 1)(x 4). Om jag utvecklar parenteserna så får 6 jag: f(x) = x 6 x3 6 TB: Jag är säker på att jag aldrig kommer att glömma denna teori efter denna exercis. En uppgift till, med samma innehåll. Man vill att jag ska skissa kurvan utan att försöka bestämma vare sig nollställen för f(x) eller f (x). Funktionen f(x) = 4x 3 3x 4 kan ha fyra nollställen och tre extrempunkter. Men samtidigt kan ett polynom av fjärde graden helt sakna nollställen och bara ha en extrempunkt. Hur ska jag veta vilket, bara genom att stirra på funktionen. KTH: Du måste förstås försöka få fram nollställena till f(x). Håkan Strömberg 13 KTH Syd
14 TB: Jag ser nu att vi kan skriva f(x) = x 3 (4 3x). Ekvationen f(x) = 0 har två rötter x 1 = 0 och x 2 = 4/3 KTH: Vilka rötter har då ekvationen x x x(4 3x) = 0? TB: Det är ju samma ekvation!? Aha, nu förstår jag vad du menar. Rötterna är x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0 och x 5 = 4/3. För f(10000) < 0, som betyder att funktionen kommer nedifrån vänster, skär x-axeln i punkten (0, 0). Når sedan ett maximum, för att vända nedåt igen, skära x-axeln för x = 4/3 och försvinna ned till höger. KTH: Nästan rätt. Frågan är vad som händer i (0, 0). TB: Jag vet inte. Får jag plotta funktionen? Figur 13: Nu ser jag det finns en terrasspunkt i (0, 0). Hur skulle jag kunna se det? KTH: Jag vet inte! Men du kommer säker att se det då du löser f (x) = f(x) = 4x 3 3x 4 f (x) = 12x 2 12x 3 f (x) = 0 då 12x 2 12x 3 = 0 x 2 x 3 = 0 x 2 (1 x) = 0 x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1 Ekvationen har en dubbelrot i (0, 0), som betyder att det finns en terrasspunkt här. Jag konstruerar en teckentabell TB: Varför denna enkla uppgift? f (x) x 0 1 KTH: Boken vill fästa din uppmärksamhet på att en funktion kan vara definierad endast i ett intervall på x-axeln. Den här är bara definierad för 2 x 12. TB: Så när man ska ta reda på funktionens maximum, så är det inte bara maxoch minpunkter man ska titta på. Man måste också ta reda på vilka värden funktionen har i början och slutet av intervallet. Håkan Strömberg 14 KTH Syd
15 KTH: Precis. TB: De skiljer på lokala och globala extrempunkter. Jag tror att jag förstår att, till exempel, ett lokalt minimum är ett minimum bara runt omkring en given punkt. Globalt däremot gäller, i hela intervallet. I så fall finns det fyra lokala extrempunkter. Två maxpunkter (5, 9) och (12, 11) och två minpunkter (2, 5) och (9, 2). Globalt kan det aldrig finnas fler än ett maximalt och ett minimalt värde. Här är (12, 11) den globala maxpunkten och (9, 2) den globala minpunkten TB: Som en repetition på förra uppgiften kan jag säga att man måste beräkna f(0.5), f(1), f(3) och f(4.5). Inte i någon annan punkt kan max- och minpunkterna ligga. Om nu funktionen är f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 3, kan jag då lita på texten ovan att f (x) = 0 för x = 1 och x = 3? KTH: Ja, det kan du. TB: I så fall är det bara att utföra det jag sagt ovan f(0.5) = 6.125,f(1) = 7,f(3) = 3 och f(4.5) = Maxpunkten är alltså (4.5, ) och minpunkten (3, 3) 3128 b) TB: Nu är det tydligen intervall som gäller. Intervallet denna gång är 1 x 0 och funktionen är f(x) = x 3 x 2 x + 2. Det finns ju den möjligheten att en extrempunkt jag finner inte ligger inuti intervallet, så man får se upp f(x) = x 3 x 2 x + 2 f (x) = 3x 2 2x 1 f (x) = 0 då 3x 2 2x 1 = 0 x x 1 3 = 0 x = 1 3 ± x = 1 3 ± 2 3 x 1 = 1 x 2 = 1 3 Ja, titta x 1 = 1 tillhör inte intervallet. Återstår då att beräkna f( 1) = 1, f( 1/3) = 59/27 och f(0) = 2. Det minsta värdet funktionen antar i det givna intervallet är alltså 1 och det sker i en av intervallets ändpunkter. Håkan Strömberg 15 KTH Syd
f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================
H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merEnvariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13
Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merMatematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler
Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs mer1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag.6.8 4.3 6.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs mer7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter
TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
TM-Matematik Mikael Forsberg ovntenta Envariabelanalys ma3a Skrivtid: ::. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa på de uppgifter som kräver lösning. Frågorna till 6 ska
Läs merHantera andragradskurvor del 2
Hantera andragradskurvor del I den första aktiviteten om andragradsfunktioner tittade vi på hur utseendet på kurvorna när vi hade olika värden på k, a och b i ut- trcket k ( x a) b. Se nedan. Vi ser att
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merMatematik 5000, kurs 3b Grön lärobok. Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029
Matematik 5000, kurs 3b Grön lärobok Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029 Läraranvisningens innehåll Läraranvisningen är till för att du som undervisande lärare ska få information om hur den pedagogiskt
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merOptimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut
Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs mer