lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

Transkript

1 Moment Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att ligga godtyckligt nära G för alla D f, som är tillräckligt stora. Vi skriver f) = G Eempel. Ange Vi ser att nämnaren blir större och större..., ju större -värde vi sätter in. Svar: = 0 Eempel. Ange Funktionen väer obegränsat då ökar. Man säger att gränsvärdet inte eisterar. Ibland skriver man dock oegentligt = Håkan Strömberg KTH Syd

2 Sats. Om så gäller f) = A och g) = B Eempel. Beräkna f)+g)) = A+B k f) = k A för varje konstant k f) g)) = A B f) g) = A B om B 0 + Lösning: Standardtekniken är att bryta ut snabbast väande termerna i täljare och nämnare Eempel 4. Beräkna Vi använder samma teknik + = Eempel 5. Beräkna Vi får ) + ) = = = ) ) = 4 = 4 4 ) = ) = + = ) ) = 0 ) ) = Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot a, om vi kan få f) att ligga godtyckligt nära G för alla D f, som ligger tillräckligt nära a. Eller lite mer matematiskt Definition. Funktionen f säges ha gränsvärdet G, då går mot a om till varje ǫ > 0 finns ett δ > 0, så att f) G < ǫ för alla sådana att 0 < a < δ. Vi skriver då a f) = G Håkan Strömberg KTH Syd

3 Eempel 6. Beräkna 0 = Lösning: Både täljare och nämnare går mot 0 när går mot 0. Nämnaren ej definierad då = 0. Standardteknik: Gör lämplig omskrivning, som här innebär att förlänga med konjugatet till. 0 = ) +) 0 = +) 0 +) = 0 + = 0+ = Standartgränsvärden l Hospitals regel ln e = 0 p e = 0 sin e 0 = 0 + b = e ) b n När vi har ett gränsvärde att bestämma f) a g) ln p = 0 = 0 ln+) a n n! = 0 n n a = sådant att både f) och g) går mot 0 då a kan följande regel användas. Sats. Om f och g är definierade och deriverbara med g ) 0 i en omgivning av = a samt om f) och g) 0 eller ), då a, så gäller det att f) a g) om det sista gränsvärdet eisterar. f ) eisterar och är lika med a g ) = Rationella funktioner Definition 4. En rationell funktion f, är en funktion av typen där p) och q) är polynom. f) = p) q) Definitionsmängden D f är hela R förutom nollställena till q). Håkan Strömberg KTH Syd

4 Eempel 7. Bestäm asymptoterna till y = f) där f) = I. När går f) mot ±? Det vill säga hur ser funktionerna ut nära de -värden där f ej är definierad? f) är ej definierad då + 4 = = 0 = ± ) +4 = ± 5 = 4 = Linjerna = 4 och = är lodräta asymptoter. II. Vad händer då går mot ±? = och då på liknande sätt = Linjen y = är en vågrät asymptot. + ) + 4 ) = + ) + 4 ) = = = = = Observera att ekvationen f) = 0 saknar reella rötter, grafen skär aldrig -aeln. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Kontinuitet Definition 5. En funktion y = f) är kontinuerlig i punkten 0 om f) är definierad i 0 f) = f 0 ) 0 Eempel 8. Vi kan tänka oss följande funktion { f) = då 0 då = 0 Funktionen är inte kontinuerlig i = 0 Definition 6. En funktion f som är kontinuerlig för alla i sin definitionsmängd, sägs vara en kontinuerlig funktion Sats. Satsen om mellanliggande värden. Funktionen y = f) är kontinuerlig i det slutna intervallet a b och fa) fb) Detta medför att funktionen antar alla värden mellan fa) och fb) i intervallet a b. Sats 4. Om funktionen y = f) är kontinuerlig i det slutna intervallet a b, så antar funktionen ett största och ett minsta värde i intervallet. Anmärkning. Kandidater till största respektive minsta värdet De punkter då f ) = 0 fa) och fb), intervallets ändpunkter. Enkelsidiga gränsvärden I nedanstående uppgifter använder vi följande beteckningar a f) Vänstergränsvärdet av funktionen f) i punkten a. a + f) Högergränsvärdet av funktionen f) i punkten a. Eempel 9. Vi har funktionen för < f) = för = 4 för > Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 vars graf ser ut så här 4 4 Vi bestämmer nu gränsvärdena f) = f) = + f) = 4 Om de två ensidiga gränsvärdena är lika a f) = A och a + f) = A så betecknar vi det dubbelsidiga gränsvärdet f) = A a Det betyder att det dubbelsidiga gränsvärdet endast eisterar då de enkelsidiga gränsvärdena är lika. Om a f) = fa) betyder det att funktionen är kontinuerlig i punkten a Definition 7. Funktionen f) är kontinuerlig i punkten = a då a f) = +f) = f) = fa) a a Eempel 0. Givet funktionen för < f) = för = för > Med hjälp av funktionens graf kan vi bestämma )f) = f) = + )f) = ) f) = Eftersom )f) = + )f) = är ) f) =. Däremot är inte funktionen kontinuerlig eftersom ) f) f). Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Eempel. Givet funktionen för < f) = för = för > Enda skillnaden från det tidigare eemplet är att fa) = Vi har nu grafen Alla gränsvärden är de samma, med tillägget att nu är funktionen kontinuerlig för = eftersom f) = f) ) Beräkning av gränsvärden Rationella uttryck där går mot ett reellt tal Eempel. Beräkna följande gränsvärden Om vi substituerar = i får vi 0 0. Om vi faktoriserar täljaren och nämnaren får vi = )+) = + ) efter förkortning och nu går det utmärkt att substituera = och vi får och kan skriva = = Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Eempel. Beräkna följande gränsvärde = 4 Om vi sätter in = i uttrycket får vi åter 0 0. Detta betyder att är en faktor i båda uttrycken, eller en rot till både = 0 och 4 = 0. För att kunna faktorisera täljaren behöver vi ta till polynomdivision 4 : = ++ Vi kan nu skriva om den rationella funktionen 0 f) = 4 Vi kan nu substituera = och får = ) ++ )+) = ++ + Eempel 4. Beräkna = ++ = Om vi direkt försöker sätta in = får vi det numera bekanta 0 0. Men genom att bryta ut och förkorta kan vi fia det hela 0 0 = 0 ) ) = 0 = 0 Eempel 5. Beräkna Med samma teknik som ovan får vi 5 0 Eempel 6. Beräkna 5 0 = 5 ) ) = 5 = Lite jobbigare vi måste faktorisera nämnaren genom att lösa 0+ = 0 med rötterna = och = 7. Vi får = 5 ) ) 7) = 5 7 = 5 4 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Eempel 7. Beräkna För fjärde gången i rad får vi då vi direkt sätter in = 4. Vi ser direkt omskrivningen 4 Var kom minustecknet ifrån? Jo, Men det kunde du väl redan? 4 4 = 4 4 4) = 4 = 4 4 4) = 4) 4) = Eempel 8. Beräkna + Här har vi andra kvadreringsregeln i täljaren Eempel 9. Beräkna + ) = ) = = Blev du lurad nu? Det är här inga problem att substituera = 0 0 Eempel 0. Beräkna Vi får = 0 0 om vi substituerar = 0 direkt 0 Eempel. Beräkna Här kan vi substituera = 0 direkt Eempel. Beräkna Vi får = = = 5+0) 0 +0) = 5 0 = = 5 0)+50) 0 0) +0 = = = ) = 4 40 = 40 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Eempel. Beräkna + Vi startar med att faktorisera täljaren. + = 0 ger = och = och ) ) + ) ) = = = ) Eempel 4. Beräkna Vi startar med att faktorisera nämnaren = 0 ger = 5 och = och +5)+) Eempel 5. Beräkna = 5+) +5)+) = = 5 Vi löser först = 7. Ekvationen har tre rötter, två komplea och en reell =. Med hjälp av polynomdivision får vi Nu kan vi skriva = : = ) ) ++9) = = 5 7 Håkan Strömberg 0 KTH Syd

11 Eempel 6. Beräkna Det går uppenbarligen inte att direkt substituera =. Det betyder att = är en rot till både 6 = 0 och 6 = 0. En gemensam faktor är alltså då Efter polynomdivision av både täljare och nämnare med kan vi förkorta bort denna faktor. Vi startar med täljaren 4 4 och så över till nämnaren Nu kan vi skriva : = : = = ) ) ) = ++) = ++ Rationella uttryck där går mot Vi beräkning av gränsvärden där går mot utnyttjar vi ofta att om Eempel 7. Beräkna Vi bryter i täljaren ut den potens som har störst eponent och samtidigt nämnarens största potens och därefter förkortar bråket = + ) ) = = = Håkan Strömberg KTH Syd

12 Eempel 8. Beräkna = 4+ ) 4 + ) = 4+ ) ) = = 0 Eempel 9. Beräkna = + ) ) = + ) = = Eempel 0. Beräkna = +5 Eempel. Beräkna Eempel. Beräkna Eempel. Beräkna = ) ) ) = ) = = ) = 4 = ) + +5 = 5 4+ ) + 5 ) = = 4 = = ) 4+ ) = + 5 = Håkan Strömberg KTH Syd

13 Eempel 4. Beräkna = ) + 5 ) = 4+ ) + 5 = 4 = Eempel 5. Beräkna ) = + 5 ) = ) = 4 = 0 Rotuttryck Eempel 6. Beräkna följande gränsvärde 4 ) + ) + = ) 4) Eempel 7. Beräkna följande gränsvärde + ) )+) = + )+) = 8 ) +) ) +) = ) +) = + = Eempel 8. Beräkna följande gränsvärde ) ++) + 4 = ++)6 ) ++) ) = Eempel 9. Beräkna följande gränsvärde 0 ++) = ) ) = 5 +4+) +4 ) +4+) = 5 +4+) 5 +4+) = = ) 0 4 Håkan Strömberg KTH Syd

14 Eempel 40. Beräkna följande gränsvärde )+) + ) ) + = ) Eempel 4. Beräkna följande gränsvärde 9 )+) + ) 4 4 = +) + ) = )+ ) ) = ) 4) 4 + ) 4) = 4 + = 4 Eempel 4. Beräkna följande gränsvärde )+5) +4+) 5 +4 ) +4+) = 5)+5) +4+) = +5) +4+) = Övrigt Eempel 4. Kan man bestämma a så att f) blir kontinuerlig? för < f) = för = a för > Genom att studera grafen för de två kända delarna ser vi att funktionen f) = a ska gå genom punkten,4) vilket betyder att a = 4 som ger f) = 4 och vi får den kontinuerliga funktionen i grafen Håkan Strömberg 4 KTH Syd

15 Eempel 44. Kan man bestämma a så att f) blir kontinuerlig? a för < f) = 4 för = + för > Genom att studera grafen för de två kända delarna ser vi att funktionen f) = a ska gå genom punkten,4) vilket betyder att a = 4 och vi får den kontinuerliga funktionen f) = i grafen Eempel 45. Kan man bestämma a så att f) blir kontinuerlig? a för < f) = 5 för = + för > Redan när vi plottar de två kända delarna av funktionen ser vi att den aldrig kan bli kontinuerlig Håkan Strömberg 5 KTH Syd

16 Problem. Bestäm Lösning: Vi ser att funktionen inte är definierad för =. Vi försöker faktorisera täljare och nämnare. I täljaren kan vi tillämpa konjugatregeln. I nämnaren löser vi andragradsekvationen + 6 = 0 och får rötterna = och = Problem. Bestäm = )+) +) ) = + = Lösning: Funktionen är inte definierad för = 9. Förläng med nämnarens konjugat. 9 9 = 9) +) 9 ) +) = 9 9) +) 9 = 9 + = 6 Problem. Bestäm Lösning: Sätter vi in = 0 ser vi att vi får 0 0. En möjlighet är att förlänga med täljarens konjugat Problem 4. Bestäm Lösning: 5 = 5) 5 +5) 0 = 5 +5) = ) ) ) / + ) / + / 5 9 ) / / 4 + ) / ) + / ) / + 5 ) / Håkan Strömberg 6 KTH Syd

17 Problem 5. Bestäm Lösning: Problem 6. Bestäm = ) ) = +4 4 = = Lösning: 4 8 = 4 4 Problem 7. Beräkna gränsvärdet ) +) +9) 9) +) = 9 +9) 9) +) = 4 +9) +) = 4+9) 4+) = 5 = 65 0 Lösning: Först fiar vi till ett standarduttryck sin7 0 sin7 = 0 Vi utnyttjar nu standardgränsvärdet sin7 = 0 7 sin7 7 = 0 7 sin7 7 och får till svar sina 0 a = 0 Här kan vi också använda l Hospitals regel 0 sin7 = 0 sin7 = 7 7 cos7 = 7 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

18 Problem 8. Bestäm gränsvärdet sin ) cos ) = = ) = + Problem 9. Bestäm gränsvärdet Problem 0. Bestäm gränsvärdet Problem. Bestäm gränsvärdet Problem. Bestäm gränsvärdet ln+) 0 ) = ln0+) 0) = ln 9 = )+) = +) = 6 + )+) = 4 )+) = ) ) = = + ) + + ) ) = 0 ) + ) + + ) = 0 Problem. Bestäm gränsvärdet = ) +) ) = +) Problem 4. Bestäm gränsvärdet Problem 5. Bestäm gränsvärdet + + ) = sin ) cos ) = = ) = ) +) = = + Eisterar inte. Se grafen Problem 6. Bestäm gränsvärdet + + = ) + ) )+ = 0 = 0 Håkan Strömberg 8 KTH Syd