Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer
|
|
- Martin Åberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Sidor i boken -3, Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar ett positivt tal. Ekvationen x+ = 3 saknar därför rot. Däremot har ekvationen x+ = 3 roten x = 8, vilket man inser om båda leden i ekvationen kvadreras. x+ = 3 ( x+) = 3 x+ = 9 x = 8 För att förstå det här med rotekvationer måste vi införa några grafer (eller kurvor). Lite för tidigt måste vi här nämna ordet funktion. f(x) = x är just en funktion. När vi plottar dess graf får vi En graf till ska vi plotta, som ni säkert redan är bekanta med. Vi kallar den räta linjen. Ett exempel y = x Nu över till rotekvationer. Detta är en rotekvation som vi vill lösa Exempel. x = x + 3 Håkan Strömberg KTH STH
2 Här undrar vi som vanligt, när är vänstra ledet lika med högra? Om vi plottar de två graferna i samma figur får vi Rötterna får vi nu genom att läsa av var de två graferna skär varandra. På ett ungefär verkar de vara x och x 9. Observera dock att det aldrig i den här kursen är tillåtet att ge grafiska lösningar. Därför måste vi lösa ekvationen analytiskt. x = x+3 ( x) = ( x+3 ) x = (x+3) x = x +6x+9 6 6x = x +6x+9 x 0x+9 = 0 x = 5± 5 9 x = 5± x = 9 x = Det stämmer med vår grafiska avläsning! Lösningen är exakt x = 9 och x =. Vi utgår ifrån ( ) att alla vet att =. Idén med att lösa rotekvationer är alltså att kvadrera båda leden och hoppas att rottecknen försvinner. Men det finns komplikationer! Exempel. Lös ekvationen x = x Vi plottar funktionerna och får Här skär den räta linjen rotgrafen endast en gång. Vi gissar att roten är x =. Över till den analytiska lösningen x = x ( x) = ( x) x = x+x x = x+x x 5x+ = 0 x = 5 ± (5 ) 5 x = 5 ± x = 5 ± 3 x = x = Håkan Strömberg KTH STH
3 Men här får vi ju två rötter!. Ja, men en är falsk. När man kvadrerar båda sidor i en ekvation kan det uppstå falska rötter! Man avgör om roten är falsk genom att sätta in den i den ursprungliga ekvationen = ger = och verkar helt OK. Men ger, så x = är falsk. Svar: x =. Vi tar en till för säkerhets skull Exempel 3. = x = x+ Först den grafiska lösningen Oj då, här verkar inte de två graferna skära varandra över huvud taget! Det ska bli intressant att se vad den analytiska lösningen ger x = x+ ( x) = (x+) x = x +x+ x +x+ = 0 x = ± ( ) x = ± x = ± Negativt under rottecknet, lika med inga reella rötter. Svar: Ekvationen saknar lösning. 3 Mer om polynomekvationer Här några polynomekvationer Förstagradsekvation 0x + 53 = 73 x = Andragradsekvation x x = 0 x = 3, x = Tredjegradekvation x 3 +6x 63x 09 x =, x = 7, x 3 = 3 Fjärdegradsekvation x +x 3 x 9x+08 x = x = 3, x 3 = 3, x = Ekvationer av första och andra graden ska vi alltid klara av hur de än ser ut. En godtycklig ekvation av tredje graden, klarar åtminstone inte jag av utan dator eller tabell. Samma gäller :e-gradare. Då talar vi hela tiden om exakta lösningar. Allmänna 5:e-gradare och högre gradtal, klarar ingen av att lösa exakt, därför att man bevisat att det inte går. Men det hindrar inte att det finns speciella ekvationer av alla gradtal som man hädelsevis kan lösa. Till exempel Håkan Strömberg 3 KTH STH
4 Exempel. x 3 = 7 med som åtminstone har en rot x = 3 (och två andra imaginära). Här kommer en speciell typ av :e-gradare som du ska kunna lösa Exempel 5. Lös ekvationen x 5x + = 0 Ett krav är att ekvationen saknar termer av 3:e och :a graden, som här. Knepet är att man substituerar x = t och får ekvationen t 5t+ = 0 5 t = 5 ± t = 5 ± 5 t = 5 ± 9 t = 5 ± 3 t = t = Men nu har vi ju bestämt att x = t, så då får vi x =, x = ±, x =, x = och att x =, x = ± som ger x 3 = och x = Problem. Lös ekvationen x+ = x En rotekvation av den enklare sorten x+ = x ( x+) = ( x ) x+ = x x = Vi ser lång väg att detta är en äkta rot eftersom + Svar: x = Problem. Lös ekvationen x +5 = x 5 x = är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar rötter. x +5 = x 5 ( x +5) = (x 5) x +5 = x 0x+5 0x = 5 5 x = Vänstra ledet Högra ledet Håkan Strömberg KTH STH
5 Problem 3. Lös ekvationen Vi testar x = x = är en äkta rot. Vi testar x = 7 x = 7 är en falsk rot Svar: x =. x x 8 = 0 x x 8 = 0 x 0 = x 8 (x 0) = ( x 8) x 0x+00 = x 8 x x+08 = 0 68 x = ± 08 x = ± 9 x = ± 7 x = x = 7 Vänstra ledet Högra ledet Vänstra ledet Högra ledet Problem. Lös ekvationen x+ x = x x+ x = x ( x+ x ) = ( x ) x+ x+ x +x = x x+ x = x x x+ (x+)(x ) = 7 x (x+)(x ) = 7+x ( (x+)(x )) = (7+x) (x+)(x ) = 9+x+x (x x+x ) = 9+x+x x +x 6 = 9+x+x 3x x 65 = 0 x x = 0 x = 3 ± x = 3 ± 3 x = 5 x = 3 3 Håkan Strömberg 5 KTH STH
6 Så är det dags att testa rötterna Vänstra ledet Högra ledet Roten x = 5 är en äkta rot Vänstra ledet Högra ledet I två av termerna blir det negativt under rottecknet vilket betyder att roten är falsk. Svar: x = 5 Problem 5. En bakteriekultur tillväxer enligt formeln N(x) = x+5x där N(x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början. Hur länge dröjer det innan antalet bakterier har fördubblats? Antalet bakterier i burken följer funktionen N(x) = x+5x. Efter minuter till exempel finns det N() = = Hur många bakterier finns det i burken när försöket startar? Får vi genom T(0) = 500. Vi vill alltså ha reda på hur lång tid det dröjer innan det finns dubbelt så många Detta ger oss ekvationen: x+5x = x+x = 00 x +x 00 = 0 x = 7± 9+00 x = 5. x = 9. Som du ser började vi dividera ekvationen med 5. Den här ekvationen är inte så enkel, det vill säga den ger inte heltalsrötter. Åter en ekvation där en av rötterna är omöjlig. Svaret blir då 5. minuter. Lös ekvationen Problem 6. x (x+) 6(x+) = 0 För att kunna lösa ekvationen x (x+) 6(x+) = 0 får man absolut inte starta med att utveckla parenteserna, för då hamnar man i en tredjegradsekvation, som vi inte har något verktyg för att lösa. Nej, titta i stället på ekvationen. Vad händer då x =? Båda termerna blir ju 0. Vi har hittat en rot x =. Dividerar vi nu båda sidor med (x+) återstår x 6 = 0 eller x = 6. Huvudräkning, x = 8 och x 3 = 8. Tre rötter!? Inte ett dugg överraskade, om en förstagradsekvation har en rot, en andragradsekvation två rötter, så är det väl logiskt att en tredjegradsekvation har tre. Lös ekvationen Problem 7. 3x 5 = x Ekvationen 3x 5 = x ser kanske besvärligare ut än den i verkligheten är. Rottecknet försvinner om upphöjer det till. Jag menar att ( x ) = x Vi kvadrerar alltså båda sidor i Håkan Strömberg 6 KTH STH
7 ekvationen: 3x 5 = x ( 3x 5 ) = (x ) 3x 5 = x + x x 5x+6 = 0 x = x = 3 Som tur är kan vi direkt se vilka rötterna är genom knepet som vi nämnt. Nu tillkommer en komplikation när det gäller rotekvationer. Vid kvadreringen kan falska rötter tillkomma och man är alltid tvungen att testa om de duger genom att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen. Som vi ser uppfyller x = villkoret att båda sidor ska vara lika 3 5 =. Detta gäller även för x = 3 som ger = 3. I figur visar vi grafen Figur : Problem 8. Lös ekvationen s+3 7 s = Den här ekvationen är verkligen besvärlig! Kvadrerar vi båda sidor får vi fortfarande ett rottecken kvar. Men varför skulle man då inte kunna kvadrera en gång till. s+3 7 s = ( s+3 7 s ) = 0 (s+3)(7 s) = 8 = (s+3)(7 s) 6 = (s+3)(7 s) 6 = 7s s +9 3s s +6s 7 = 0 s = 3 s = 9 OK, nu har vi funnit två rötter s = 3 s = 9. Innan vi ger dem som svar måste vi pröva dem. s = = = s = 9 ( 9)+3 7 ( 9) = Alltså är det bara s = 3 som fungerar. Men hur ska man förstå detta? Innan vi kvadrerar har vi funktionerna (VL) f (s) = s+3 7 s och (HL) f (s) =. Plottar vi dem får vi följande graf: Vi ser helt klart att ekvationen bara har en rot. Den ena kurva skär den andra på ett ställe, s = 3. Plottar vi nu de två funktionerna f 3 (s) = ( s+3 7 s ) och f (s) =, sådana de ser ut efter en kvadrering får vi En extra (falsk) rot har dykt upp för x = 9, som förresten inte försvinner då vi kvadrerar ytterligare en gång. Denna uppgift är kanske onödigt komplicerad i den här delen av kursen. Håkan Strömberg 7 KTH STH
8 Figur : Figur 3: Räkna i första hand uppgifterna på sidan 7 73 och 3. Läxa. Lös ekvationen x+ = x Läxa. Lös ekvationen x++ x = 3 Läxa 3. Lös ekvationen x+5 = x Läxa. Bestäm konstanten a, så att ekvationen får en rot x = ax (a 5)x (a ) = 0 Läxa 5. Lös ekvationen x 0x +9 = 0 Läxa Lösning. x+ = x ( x+ ) = ( x ) x+ = x x = Varje gång vi i en ekvation kvadrerar båda sidorna, måste vi testa att att rötterna vi fått inte är falska. Håkan Strömberg 8 KTH STH
9 Sätter vi in x = får vi 6 = 6 Vilket betyder att roten är äkta! Svar: x = Läxa Lösning. x++ x = 3 ( x++ x ) = 3 (x+)+(x )+ x+ x = 9 x++ (x+)(x ) = 9 = 7 x ( (x+)(x )) = (7 x) (x+)(x ) = (7 x) (x x+x 8) = 9+x 8x Denna rot måste prövas och det visar sig att den fungerar. x +8x 3 = 9+x 8x 8x 3 = 9 8x 36x = 8 x = 9 Svar: x = 9 Läxa Lösning 3. x+5 = x ( x+5 ) = ( x) x+5 = x+x x 3x = 0 0 = 3x+x x = 3 ± 9 + x = 3 ± 5 x = 3 ± 5 Vi testar x = som är falsk. Sedan testar vi x = x = x = V.L. +5 = 3 H.L. = 3 V.L. +5 = H.L. ( ) = Håkan Strömberg 9 KTH STH
10 som är äkta Svar: x = Läxa Lösning. Vi vet att en rot är x = och sätter därför in den Båda dessa ekvationer har en rot x = och Läxa Lösning 5. Vi substituerar t = x. ax (a 5)x (a ) = 0 a (a 5) (a ) = 0 a a+5 a + = 0 a +a 6 = 0 a = ± +6 a = ± + a = ± 5 a = a = 3 x ( 5)x ( ) = 0 x +x 3 = 0 x = x = 3 ( 3)x ( ( 3) 5)x (( 3) ) = 0 3x +x 8 = 0 x = x = 8 3 x 0x +9 = 0 t 0t+9 = 0 t = 5± 5 9 t = 5± t = 9 t = I nästa steg löser vi först och sedan Svar: x = 3, x = 3, x 3 =, x = 9 = x x = ± 9 x = 3 x = 3 = x x = ± x 3 = x = Håkan Strömberg 0 KTH STH
11 Problem 9. (a b)(a +ab+b )+(a+b)(a ab+b ) (a b)(a +ab+b )+(a+b)(a ab+b ) (a 3 +a b+ab a b ab b 3 )+(a 3 a b+ab +a b ab +b 3 ) a 3 +a b+ab a b ab b 3 +a 3 a b+ab +a b ab +b 3 3 a 3 +a 3 +a b a b a b+a b+ab +ab ab ab b 3 +b 3 a 3 När man multiplicerar en parentes med 3 termer med en med termer får man total 3 = 6 termer. Total ska vi här alltså hantera termer (). I (3) har vi samlat ihop liknade termer. Den som har en administrativ vana kan gå direkt från () till svaret. Svar: a 3 Problem 0. a a 3 a+ a 3 a a 3 a+ a 3 3a 3 a 3 3a 3 + a 3 3a a 3 3a+a 3 3 a 3 3 a Vi startar med att göra de liknämnigt i täljaren och nämnaren oberoende av varandra. Nu råkar båda ha samma minsta gemensamma nämnare (). Nu kan vi skriva termerna på samma bråkstreck (). Division av två bråk är samma sak som att multiplicera det första med det andra inverterat (3). Efter förkortning får vi Svar: Håkan Strömberg KTH STH
12 Problem. (6a+9) (a+9) (a+6) (6a+9) (a+9) (a+6) (36a +36+8a) (a +8+36a)) a +36+a 3 3a 9a+80 a +a+35 8(a a+35) a +a+35 8 Två gånger första kvadreringsregeln i täljaren och en gång i nämnaren ger (). Sammanslagning av termer ger (). I () ser vi att det är möjligt att bryta ut 8 i täljaren som ger (3). Svar: 8 Problem. a b a + a a b ab+b a ab a b a + a a b ab+b a ab (a b) (a b) (a b) a + a a a (a b) b(a+b) a(a b) (a b) +a b(a+b) a(a b) 3 5 a +b ab+a ab b 3a 3ab a(a b) 3a(a b) a(a b) a(a b) 6 3 Vi strävar nu efter att kunna skriva de tre bråken på samma bråkstreck. a(a b) är en gemensam nämnare (för övrigt den minsta). Vi förlänger bråken med lämpliga uttryck (). Nu har vi nått första målet (). I (3) förenklar vi täljaren till resultatet i (). I () ser vi att det är möjligt att bryta ut 3a. Efter förkortning av (5) för vi Svar: 3 Håkan Strömberg KTH STH
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merLektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1
Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar
Läs merLinjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merAvsnitt 2, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merAlgebra och rationella uttryck
Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs mer1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merÖvningar - Andragradsekvationer
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs mersanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs mer8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merRäta linjens ekvation & Ekvationssystem
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35
Läs merAvsnitt 4, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 4:1 4:1 Avsnitt 4, introduktion. Potensregler. Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt: Ex 1: 2 3 2-2 = 2 3-2 =2 1 = 2. Ex 2: 8 4 = (2 3
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1
Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att
Läs mer8-5 Ekvationer, fördjupning. Namn:.
8-5 Ekvationer, fördjupning. Namn:. Inledning Du har nu lärt dig en hel del om vad en ekvation är och hur man löser ekvationer som innehåller en eller fler x-termer (om vi betecknar den okända med x).
Läs merAvsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merRepetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014
Repetitionskurs i elementär algebra, matematik för DAI och EI ht 04 Chalmers Tekniska Högskola Reimond Emanuelsson II August 5, 04 Förord Detta kompendium är tänkt som en repetition av elementär algebra
Läs mer3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd
I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 4.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 4 handlar om en viss typ av ekvationer där man skall vara försiktig med de lösningar som
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 4.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 4 handlar om en viss typ av ekvationer där man skall vara försiktig med de lösningar som
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merRepetition ekvationer - Matematik 1
Repetition ekvationer - Matematik 1 Uppgift nr 1 I en 2-barnsfamilj är alla tillsammans 107 år. Sonen är 7 år yngre än dottern. Mamman är 4 år äldre än pappan. Pappan är 4 gånger äldre än dottern. Hur
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs merNpMa2a ht Max 0/0/3
14. Max 0/0/3 Godtagbar ansats, t.ex. sätter ut lämpliga beteckningar och tecknar någon ekvation som krävs för bestämning av a +1 A PL med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( a = 12 ) +1 A PL
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs merx+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0
Onsdag oktober kl :5, Sal 09, Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Variabelsubstitution Sats. Antag att funktionen f(x) har en primitiv funktion F(x) och att funktionen t(x) är deriverbar. Då gäller:
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merx = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z
Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning
Läs mer1 Förändingshastigheter och derivator
Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2
Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.
Läs mer2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/
Nästan vanliga tal 1. Beräkna1 2+3 4+5 2000+2001 Lösning. 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) +... + ( 2000 + 2001) = 1+ 142 +... 43 + 1 = 1001 2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/10000001 1000 gnr Lösning.
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs mer