Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
|
|
- Amanda Ekström
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n kallas koefficienter. Polynomets gradtal bestäms när man avgör hur stort n, ett positivt heltal, ska vara. p (x) = 7x 3 3x 2 +2x 00 p (x) är ett tredjegradspolynom. Koefficienterna kan vara 0, så därför är här p 2 (x) ett sjundegradspolynom. När man sätter p(x) = 0, som till exempel p 2 (x) = x 7 + x 3 +2x 0 = 0 får man en polynomekvation. Polynomekvationer med ett gradtal > 4 kan bara händelsevis lösas exakt. Detta visade för länge sedan en ung norsk matematiker vid namn Niels Henrik Abel. Läs mer om honom på nätet. Ekvationer av första graden, typ 3x 5 = 0 lär sig alla någon gång att lösa. Ekvationer av andra graden, till exempel x 2 +x 6 = 0, lär sig nästan alla att lösa. Ekvationer av tredje och fjärde graden kan nästan igen lösa utan hjälp av dator eller formelsamling. Då menar vi ekvationer med godtyckliga koefficienter. Däremot finns det vissa speciella polynomekvationer av gradtal högre än två, där man med hjälp av vissa trick kan finna rötterna. Lösningarna, det vill säga de x för vilka likhet råder, kallas rötter. En polynomekvation har lika många rötter som gradtal. En tredjegradsekvation har alltså tre rötter. I vår kurs finns det rötter vi inte kan ta reda på, de komplexa rötterna. Därför säger vi ibland, lite felaktigt, att vår andragradsekvation saknar rötter, och menar då att den saknar reella rötter. Håkan Strömberg KTH Syd
2 Exempel. Lös ekvationen t 3 +t = 0 Alltså en tredjegradsekvation, där koefficienten till t 2 är lika med 0, men framför allt den konstanta koefficienten är lika med 0. Detta gör det möjligt för oss att lösa ekvationen t 3 +t = 0 t(t 2 +) = 0 Detta är sant då t = 0 eller då t 2 + = 0. Vi har alltså hittat en av de tre rötterna t = 0. För att finna de andra två måste vi lösa ekvationen t 2 + = 0, en andragradsekvation. t 2 + = 0 t = 0± 0 t = 0± Diskriminanten är < 0, då finns inga reella rötter, det har vi redan talat om. Svar: t = 0 är enda reella roten. Ritar vi motsvarande graf, ser vi att den antagligen endast skär x-axeln en enda gång. Det är antalet skärningar med x-axeln, som är måttet på antalet reella rötter Exempel 2. Lös ekvationen x 4 3x 2 +2 = 0 Nu tror vi oss kunna lösa en ekvation av fjärde graden. Det kan vi också, just därför att koefficienterna till x 3 och x är 0. Vi ersätter helt enkelt x 2 = t. Detta kallas att substituera. Nu får vi istället ekvationen: t 2 3t+2 = 0 t = 3 2 ± (3 2) 2 2 t = 3 2 ± 2 t = 2 t 2 = Men det inte är slut här. Vi har ju ersatt x 2 med t. När vi nu går vidare får vi därför två enkla andragradsekvationer. x 2 = och x 2 = 2. Dessa har ju rötterna x =, x 2 = respektive x 3 = 2, x 4 = 2. Som väntat fyra rötter till en fjärdegradsekvation. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
3 Faktorsatsen Faktorsatsen säger att om a är en rot till polynomekvationen p(x) = 0 så gäller att p(x) = (x a) q(x) där q(x) är ett polynom med gradtal n då p(x) har gradtalet n. Exempel 3. Ekvationen x 2 +3x 08 = 0 har en rot x = 9 och vi söker den andra. Vi bortser nu från att vi kan finna den andra roten genom att lösa andragradsekvationen på vanligt sätt och funderar nu över x 2 +3x 08 (x 9)(ax+b) x 2 +3x 08 ax 2 +bx 9ax 9b q(x) = ax+b är ett förstagradspolynom, var koefficienter a och b vi nu söker. Vi identifierar nu de olika koefficienterna = a x 3 = b 9a konst 08 = 9b x 2 Ett ekvationssystem som kan lösas i huvudet ger a = och b = 2 och vi får x+2 som ger x 2 = 2. Vi har faktoriserat polynomet x 2 +3x 08 (x 9)(x+2) Exempel 4. Lös ekvationen x 3 2x 2 29x 42 = 0 Knepet här är att gissa en rot. Varken speciellt matematiskt eller verklighetstroget, men det är ofta så det går till i den väl tillrättalagda skolmatematiken. När man nu ska till att gissa, är det heltalsrötter man siktar in sig på. Det är mindre troligt att x = 7 är en bra gissning. Med största sannolikhet ska man gissa på ett heltal i intervallet 3 x 3. Efter en del tester finner vi roten x = 2. De andra två rötterna kan vi nu, via polynomdivision, bestämma utan att gissa. Alternativ möjlighet x 3 2x 2 29x 42 (x+2)(ax 2 +bx+c) x 3 2x 2 29x 42 ax 3 +(2a+b)x 2 +(2b+c)x+2c Vi kan nu direkt i huvudet identifiera koefficienterna a,b och c. a =, b = 4 och c = 2. Härifrån kan vi nu sätta upp ekvationen x 2 4x 2 = 0 Som har rötterna x 2 = 3 och x 3 = 7 och tredjegradsekvationen är nu löst och vi kan skriva den på faktoriserad form (x+3)(x 7)(x+2) = 0 Håkan Strömberg 3 KTH Syd
4 Exempel 5. Ekvationen x 3 +3x 2 0x 24 = 0 har en rot x = 2. Vilka är de två andra? Problemet löser vi med polynomdivision. Genom att dividera vänsterledet i ekvationen med (x+2) får vi ett andragradspolynom, vars nollställen vi erhåller genom att lösa motsvarande andragradsekvation. x 3 +3x 2 0x 24 : x+2 = x 2 +x 2 x 3 +2x 2 x 2 0x x 2 +2x 2x 24 2x 24 Ekvationen x 2 +x 2 = 0 har rötterna x 2 = 3 och x 3 = 4 Svar: x 2 = 3 och x 3 = 4 0 Lös värdet av följande uttryck för x = 3, x = 0 respektive x = 3 Lösta uppgifter. Uttrycket x 2 2 x = ( 3) 2 2 ( 3) = 5 5 = 0 x 2 2 x = = 0 x 2 2 x = = = 0 Är det så att f(x) = x 2 2 x 0? Javisst! Lösta uppgifter 2. Uttrycket x 2x = ( 3) 2( 3) = 3 7 = 4 x 2x = = 0 = x 2x = = 3 5 = 2 Plottar vi funktionen f(x) = x 2x får vi följande graf Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 Lösta uppgifter 3. Lös ekvationen 3x x + 2 x + =. Plottar vi ekvationen får vi men nu gäller det att lösa problemet analytiskt. Först måste vi söka upp de x då uttrycken i absolutbeloppen vänder. Detta leder till tre ekvationer x < x och x+ vänder < x < x vänder x > ingen vänder 3x (x+)+2(x+) = () 3x ( x)+2(x+) = (2) 3x (x )+2(x+) = (3) De tre ekvationerna har rötterna x = 7 2, x 2 = 5 3 respektive x 3 = 2. Det är endast x 3 = 2 som ligger i tillåtet intervall x >. Lösta uppgifter 4. Lös olikheten x+ x 2 < x+ Vi överför olikheten till x+ x 2 x + < 0 och nöjer oss med en grafisk lösning. En graf för varje term i olikheten, som summerar till graf (med tjockt streck) Svar: x < 3 eller < x < 3 Huvudräkning. Utgår vi från rötterna x = r och x 2 = r 2 till en andragradsekvation och utvecklar (x r )(x r 2 ) = 0 får vi x 2 (r +r 2 )x+r r 2 = 0 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 Använd detta samband mellan rötter och koefficienter genom att i huvudet lösa a) x 2 3x+2 = 0 b) x 2 5x+4 = 0 c) x 2 5x+6 = 0 d) x 2 2x 5 = 0 Huvudräkning 2. Vilken funktion har följande graf? Huvudräkning 3. Funktionen f(x) = x 2 4 har följande graf. Skissa g(x) = x Läxa..2 a) x 2 y xy 2 = xy(x y) Läxa 2..2 b) x 2 yz xy 2 z+2xyz 2 = xyz(x y+2z) Läxa 3..2 c) ax 2by 2ay+bx = x(a+b) 2y(a+b) = (a+b)(x 2y) Läxa 4..2 d) För att finna faktorerna till x 2 + 3x 0 måste man lösa motsvarande andragradsekvation x 2 +3x 0 = 0 x = 3 2 ± (3 2) 2 +0 x = 3 2 ± 49 4 Detta ger svaret (x + 5)(x 2) x = 3 2 ± 7 2 x = 5 x 2 = 2 Läxa 5..2 e) Med hjälp av konjugatregeln får vi x 2 y2 (x 4 = y )( x+ y ) 2 2 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 Läxa 6..2 f) Här använder vi konjugatregeln två gånger 8x 4 y 4 = (9x 2 y 2 )(9x 2 +y 2 ) = (3x y)(3x+y)(9x 2 +y 2 ) Läxa 7..3 a) Om vi faktoriserar täljare och nämnare kan vi alltid hoppas att någon av faktorerna kan förkortas bort. För att klara faktorisering av täljaren behöver vi lösa en andragradsekvation. Vi gör inte det i detalj här. Rötterna är x = 4 och x 2 = 3. Vi använder konjugatregeln för nämnaren och får: (x 4)(x+3) (x 4)(x+4) = x+3 x+4 Läxa 8..3 b) Här har vi att lösa en andragradsekvation och därefter att göra liknämnigt. Ekvationen har rötterna x = och x 2 = 3 och ger x (x+)(x 3) 2 x+ x (x+)(x 3) 2(x 3) (x+)(x 3) x 2(x 3) (x+)(x 3) 5 x (x+)(x 3) Läxa 9..3 c) Här måste vi lösa två andragradsekvationer för att komma vidare. x 2 +3x 0 = 0 har rötterna x = 5 och x 2 = 2 och ger (x + 5)(x 2). x 2 + 7x + 60 = 0 har rötterna x = 2 och x 2 = 5 och ger (x+2)(x+5). Vi får nu (x+5)(x 2) + (x+2)(x+5) = (x+2)+(x 2) (x 2)(x+5)(x+2) vidare Läxa 0..3 d) 2(x+5) (x 2)(x+5)(x+2) = 2 (x 2)(x+2) (3x+2y)(x 2y)+4xy = 3x 2 6xy+2xy 4y 2 +4xy = 3x 2 4y 2 Läxa..8 u = x2 +t x 2 t u(x 2 t) = x 2 +t ux 2 ut = x 2 +t ux 2 x 2 = t+ut x 2 (u ) = t(+u) t = x2 (u ) u+ Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 Läxa a) Vi följer idéerna från föreläsning. 5 x < 2; 5 x 2 < 0; 5 2x < 0 x Uttrycket är < 0 då x < 0 eller x > 5 2 Läxa b) x < 0 x = 0 0 < x < 5 2 x = 5 2 x > x x x x+2 odef x < ; 2 x < 0; (2 x) < 0; 2 x x 2 x < 0 Uttrycket är < 0 då x < eller x > 2 Läxa c) x < x = < x < 2 x = 2 x > 2 x x x 2 x 0 + odef 3x 2 x > 2; 3x 2 x 2 > 0; 3x 2 2(x ) > 0; x x x > 0 Uttrycket är > 0 då x < 0 eller x > Läxa d) x < 0 x = 0 0 < x < x = x > x x 0 + x x + 0 odef + 3 3x 2 > x+4 ; 3 3x 2 x+4 > 0; 3(x+4) (3x 2) > 0; (3x 2)(x+4) 4 (3x 2)(x+4) > 0 x < 4 x = 4 4 < x < 2 3 x = 2 3 x > x x (3x 2)(x+4) + odef odef + Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 Uttrycket är > 0 då x < 4 eller x > 2 3. Så här ser grafen ut Läxa Vi börjar med att skriva om uttrycket till x 2 2 x < 0. Då x 0 övergår uttrycket i x 2 2+x < 0 och då x 0 är det x 2 2 x < 0 som gäller. Problemet har nu delats upp i två problem, ett då x 0 och ett då x Vi börjar med x 0 och faktoriserar x 2 2 x genom att lösa motsvarande andragradsekvation. Vi får (x )(x+2) < 0. Vi ställer upp tillhörande tabell. -0 x < 2 x = 2 2 < x < x = x > x x 0 + (x )(x+2) Ur detta kan vi läsa att uttrycket är sant då 2 < x < och x 0. Alltså då 2 < x 0. Dags för x 0. Vi faktoriserar nu x x och får nu (x 2)(x + ) < 0. Tillhörande tabell: x < x = < x < 2 x = 2 x > 2 x x (x 2)(x+) Ur detta kan vi läsa att uttrycket är sant då < x < 2 och x 0. Alltså då 0 x < 2. Som svar får vi då 2 < x < 2. Så här ser motsvarande graf ut: Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 Läxa a) Uttrycket till vänster ska skrivas om till det till vänster. Detta kallas partialbråksuppdelning. Vi måste bestämma A och B (x+)(x 2) A x+ + B x 2 Vi starta med att göra uttrycket till höger liknämnigt A x+) + B x 2) = A(x 2)+B(x+) = Ax 2A+Bx+B) = (A+B)x+B 2A) (x+)(x 2) (x+)(x 2) (x+)(x 2) Vi identifierar så koefficienterna och får ekvationssystemet { A+B = 0 B 2A = Vi får A = 3 och B = 3. Detta betyder att vi ni kan skriva uttrycket 3(x+) + 3(x 2) Läxa b) På liknande sätt, som i föregående uppgift, ska vi identifiera A och B. Men nu enklare: 3x+2 A(x )+B(x 2) Vi fortsätter med högra ledet A(x )+B(x 2) = Ax A+Bx 2B = (A+B)x A 2B Vi får ett ekvationssystem att lösa { A+B = 3 A 2B = 2 som har lösningen A = 8 och B = 5, vilket betyder att vi kan skriva det ursprungliga uttrycket som 8(x ) 5(x 2) Läxa c) 5x+ x 2 +x+ A(2x+)+B x 2 +x+ Vi kan släppa nämnaren och koncentrera oss på täljaren Ekvationssystemet blir denna gång { A(2x+)+B 2Ax+A+B A+B = 3 A 2B = 2 Som har lösningen A = 5 2 och b = 3 2, vilket betyder att vi kan skriva uttrycket som 5 2 (2x+) 3 2 x 2 +x+ Håkan Strömberg 0 KTH Syd
11 Läxa a) a 0 = 2,a =,a 2 = 4,a 3 = 5,a 4 = 3 ger för 4 a i = 2+( )+( 4)+5+3 = 5 i=0 Läxa b) a 0 = 2,a =,a 2 = 4,a 3 = 5,a 4 = 3 ger för 3 a i = ( )+( 4)+5 = 0 i= Läxa a) 5! = = 20 Läxa b) Läxa c) Läxa d) ( ) 5 = 2 Läxa e) ( ) 9 = 3 Läxa f) ( ) 8 = 4 3! 4! = = 4 7! 3! 4! = = 35 5! (5 2)!2! = = 0 9! (9 3)!3! = = 84 8! (8 4)!4! = = 70 Läxa a) Med toppen av Pascals triangel: kan vi med hjälp av 5:raden utveckla (a+b) 4. Vi får först Med vårt uttryck (x 3) 4 får vi så a 4 b 0 +4a 3 b +6a 2 b 2 +4a b 3 +a 0 b 4 x 4 ( 3) 0 +4x 3 ( 3) +6x 2 ( 3) 2 +4x ( 3) 3 +x 0 ( 3) 4 Till sist x 4 2x 3 +54x 2 08x+8 Håkan Strömberg KTH Syd
12 Läxa c) Nu ska vi använda 5:e raden i Pascals triangel och utveckla (a+b) 5 som blir a 5 b 0 +5a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 +5a b 4 +a 0 b 5 Med vårt uttryck (2x+3) 5 får vi (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) 3 4 +(2x) Till sist 32x x x x 2 +80x+243 Läxa a) Vi behöver en rot till ekvationen x 3 2x 2 x+2 = 0. Det finns inget annat än att gissa. x = brukar vara en högoddsare : = 2 +2 = 0 Ja! Då måste en faktor vara (x ). Nästa faktor kan vi nu erhålla genom polynomdivision. x 3 2x 2 x +2 : x = x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x x 2 +x 2x +2 2x 2 0 Återstår sedan att faktorisera x 2 x 2 eftersom andragradsekvationen x 2 x 2 = 0 har rötterna x = 3 och x 2 = 4. (Vi ger fortsättningen inga detaljer lösandet av andragradsekvationer). Detta leder till svaret (x )(x + 3)(x 4) Läxa b) Den här gången fungerar inte x =. Klurigt ska vi satsa på x = eller x = 2? Det visar sig att båda fungerar och då har vi egentligen redan hittat två faktorer x 2 och x+. Eftersom (x 2)(x+) = x 2 x 2 kan vi nu använda polynomdivision för att få fram den tredje faktorn. x 3 +2x 2 5x 6 : x 2 x 2 = x+3 x 3 x 2 2x 3x 2 3x 6 3x 2 3x 6 0 Vi kan skriva svaret (x 2)(x+)(x+3). Självklart hade det räckt med att hitta nollstället för x = (eller x = 2) och sedan gå vidare som i läxa 30. Läxa c) Ekvationen x 4 + x 2 2 = 0 kan lösas utan att gissa, trots att det är en polynomekvation av fjärde graden. Idén består i att substituera t = x 2 och får andragradsekvationen t 2 + t 2 = 0 som har rötterna t = och t 2 = 2. Vi har nu att lösa ekvationerna x 2 = och x 2 = 2. Den första har rötterna x = och x 2 =. Den andra saknar reella rötter och kan inte faktoriseras. Detta ger (t )(t+2) = (x 2 )(x 2 +2) = (x )(x+)(x 2 +2) Håkan Strömberg 2 KTH Syd
13 För att partialbråksuppdela uttrycket (x+)(x 2) convert(/((x+)*(x-2)), parfrac); och vi får det resultat som ges i läxa 7 För att bestämma till exempel skriver vi i Maple sum(/i, i =.. 20); 20 i= i och vi får det exakta resultatet Fakultet skrivs rakt av != Binomialkoefficienter, till exempel ( 20 8) skrivs och bestäms genom binomial(20, 8); Med hjälp av expand kan man utveckla (a+b) 7 expand((a+b)^7); och vi får a 7 +7a 6 b+2a 5 b 2 +35a 4 b 3 +35a 3 b 4 +2a 2 b 5 +7ab 6 +b 7 Koefficenterna känner vi igen som den åttonde raden i Pascals triangel. Med hjälp av factor får man enkelt resultatet till läxa 30 factor(x^3-2*x^2-*x+2); Ett lite omständligare sätt att nå samma resultat. Så här definierar man en funktion f := x -> x^3-2*x^2-*x+2; som vi nu kan använda för att snabbt få fram till exempel f() Håkan Strömberg 3 KTH Syd
14 f(); Nu har vi x som en faktor. Polynom divisionen utförs genom en vanlig division och genom funktionen simplify simplify(f(x)/(x-)); eller ännu bättre factor(simplify(f(x)/(x-))); som ger oss de andra två faktorerna (x+3)(x 4). Funktionen plot ger oss möjlighet att studera grafen till en funktion. plot(x-2-abs(x),-3..3); ger oss grafen i läxa 6. Svar till: Dela bröd och pengar Luffarna åt 8/3 bröd var. Luffare A gav bort 3 8/3 = /3 bröd till C och luffare B gav bort 5 8/3 = 7/3 bröd till C. Alltså ska A ha kr och B 7 kr. De fyra korten Det ligger fyra kort, med baksidan upp, i en rad på bordet, spaderkung, spaderdam, hjärterkung och hjärterdam. I vilken ordning ligger korten om vi vet att: det ligger en kung direkt till höger om en dam det ligger en dam direkt till höger om en kung det ligger en kung direkt till höger om en kung det ligger en spader direkt till höger om en spader det ligger en spader direkt till höger om en hjärter Svar huvudräkning. a) x =, x 2 = 2 b) x =, x 2 = 4 c) x = 2, x 2 = 3 d) x = 3, x 2 = 5 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
15 Svar huvudräkning 2. f(x) = x 3 Svar huvudräkning Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merLektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1
Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0
Onsdag oktober kl :5, Sal 09, Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Variabelsubstitution Sats. Antag att funktionen f(x) har en primitiv funktion F(x) och att funktionen t(x) är deriverbar. Då gäller:
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merRepetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014
Repetitionskurs i elementär algebra, matematik för DAI och EI ht 04 Chalmers Tekniska Högskola Reimond Emanuelsson II August 5, 04 Förord Detta kompendium är tänkt som en repetition av elementär algebra
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merLinjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merx+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merManipulationer av algebraiska uttryck
Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merDockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats:
Kapitel Introduktion I detta kapitel kommer vi främst att behandla grundbegrepp. Vi undersöker några speciella samlingar av tal (kallas mängder), matematiska symboler och ser på vissa räkneregler. Dessa
Läs merAvsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Läs merx = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z
Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merAlgebraiska räkningar
Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merHär studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera
Läs merAvd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.
STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.
Läs merLite om räkning med rationella uttryck, 23/10
Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar
Läs merMatematik 1. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merMatematisk Grundkurs
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merAvsnitt 2, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel
Läs merVektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merFaktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran.
Per-Eskil Persson Visst kan man faktorisera x 4 +1 Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och senare
Läs merMoment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e
Moment 0.,0. Viktiga exempel 0.-0.5 Övningsuppgifter T0.,T0.,T0.3a,b,c,e,Ö0.a-f,Ö0.3b-e Integraler Definition. F(x) sägs vara primitiv funktion till f(x) på intervallet I om F (x) = f(x) Anmärkning. Det
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs mer