601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

Transkript

1 Kap Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. a. b. c (A) Bestäm Taylorutvecklingen av ordning av Resttermen ges på ordoform. + kring =. 60. (B) Bestäm Taylorutvecklingen av ordning 6 av =. Resttermen ges på ordoform. ( + )( ) kring 604. (B) Bestäm Taylorpolynomet av andra graden av f() = arcsin i punkten = / (B) a. Ange de tre första icke-försvinnande termerna (dvs termerna med koefficient 0) i MacLaurinutvecklingen av f() = e t dt (C) b. Vilket närmevärde för integralen e t dt får man ur detta. 0 Försök uppskatta felets storlek (B) a. Låt f() = cos. Beräkna f (8) (0). b. Låt f() = e /a. Beräkna f (n) (0), n heltal (B) Bestäm sjunde ordningens MacLaurinutveckling för f() = cos arcsin sin

2 608. (B) Enligt relativitetsteorin är en partikels energi E = mc, där massan m är relaterad till vilomassan m 0 enligt m = m 0 v c där v är partikelns och c ljusets hastighet. Rörelseenergin T definieras som skillnaden mellan total energi och viloenergi, dvs T = mc m 0 c Visa att den klassiska mekanikens uttryck för rörelseenergin: m 0 v stämmer bra för låga hastigheter och beräkna första ordningens relativistiska korrektion till rörelseenergin (A) Beräkna följande gränsvärden a. lim c. lim e. lim g. lim π/ i. lim k. lim m. lim sin arctan e + e + sin + 6 arctan + ln ( sin ) cos b. lim d. lim f. lim h. lim sin + sin sin j. lim e cos 4 l. lim ln (cos ) n. lim o. lim ln ln 60. (B) Beräkna följande gränsvärden a. lim ln b. lim ( ) e c. lim sin ln ( + ) arcsin arctan sin ln ( + ) cos cos sin sin sin ( cos ) ln ( + ) ( + ) + e e sin ln ( ) (ln )

3 60. d. lim cot ln (cos ) ln (e e. lim cos ) + ln ( + sin ) f. lim + ln (sin g. lim ) π/ cos ln ( + ) ln h. lim arctan π i. lim j. lim k. lim l. lim m. lim n. lim o. lim p. lim π/ q. lim π r. lim + ln + e( ) arctan sinh ln ( + + ) sin ( + ) + arctan ( + 4 ) sin + ln tan arctan + + π 4 cot e tan sin + sin sin 5 tan tan (sin ) π sin cos π cos 4 sin 4 cos (e ) ln ( + ) sin cos s. lim s 0 s ( + s) s ln ( + s) t. lim sin + sinh ln (e u. lim ) + ln ( )

4 6. (C) Beräkna följande gränsvärden a. lim ( 4 + ) ln + b. lim c. lim d. lim e. lim f. lim g. lim h. lim n ( sin ) cot α +β α β + (ln ) tan (arcsin ) sin (arctan ) arcsin sin ( arcsin ) 9 ( + ) (e + ) tan π 4 + n n n n e 6. (C) Bestäm konstanterna A, B och C så att lim ( 4 4 A B C) = 0 n är reellt och be- 6. (C) Bestäm konstanten a så att lim ln ( ) + a stäm detta tal. e 64. (C) Funktionen f() är godtyckligt många gånger deriverbar. Bestäm f(sin ) f(). lim 65. (A) Bestäm alla sneda såväl som lodräta asymptoter till kurvorna: a. y = b. y = c. y = + a + b, där a och b är konstanter. d. y = e. y = e + e f. y = g. y + 6 = 0 4

5 66. (A) Skissera kurvorna: a. y = b. y = e + e 5

6 Ledningar till uppgifterna a. Utför först polynomdivisionen, använd sedan känd MacLaurinutveckling för /( ). b. Använd utvecklingen för /( + t) med t = +. c. Bryt ut 5 ur nämnaren och använd utvecklingen fär /( t) med t = / Sätt = + t. 60. Sätt = + t, förenkla t e till 4 MacLaurinutvecklingar. t /4 och uttnyttja kända 604. Beräkna f, f och f i punkten = / och använd Taylors formel a. Utveckla först e t och integrera sedan. b. Använd t e Lagranges restterm för utvecklingen av e s, där s sedan sättes t och visa att denna restterm i intervallet 0 t 0. är < t 6 /6. Integrera sedan utvecklingen för e t och visa att resttermen < (0.) 7 / Utnyttja MacLaurinutvecklingens entydighet Använd kända utvecklingar för cos t, sin t, ( t) α. Användning av sambandet cos (/) = ( + cos )/ underlättar. Funktionen arcsin utvecklas kanske lättast genom att man först utvecklar dess derivata: ( ) / och sedan integrerar denna utveckling v c = v c / = + v c v c 6 + O v c 609. a d. MacLaurinutveckla. e. Jmfr a. utveckla ytterligare en gång. f. MacLaurinutveckla. g. Använd l Hospitals regel. h k. MacLaurinutveckla. 6

7 609. l. MacLurinutveckla eller använd l Hospitals regel. m o. Använd l Hospitals regel. 60. a. Skriv på gemensamt bråkstreck. Använd sedan l Hospitals regel ggr. (Alternativt: Sätt = + t och MacLaurinutveckla.) b. Sätt = /t, bryt ut /t och MacLaurinutveckla. c. Sätt på ett bråkstreck. MacLaurinutveckla. d. cot ln cos = ln cos tan, använd sedan l Hospitals regel. e. l Hospitals regel ggr. Alternativt: Serieutveckla argumenten till logaritmerna och använd att ln ab = ln a + ln b för att få uttrycket + ln ( + O())/ln + ln ( + O())/ln f. Gränsvärdet är av typen " ". Beräkna t e först gränsvärdet av logaritmen för uttrycket med hjälp av logaritmlagar och MacLaurinutveckling. Utnyttja sedan logaritmfunktionens kontinuitet. g. Använd l Hospitals regel eller sätt cos = t varur man får ln ( t) t lim t 0 h. l Hospitals regel. [Alternativt: Skriv täljaren som ln( + /), obs att nämnaren = arctan (/) och MacLaurinutveckla i /] i. MacLaurinutveckla med hjälp av kända utvecklingar. (Observationen att logaritm-termen i täljaren = ln( + ) ln( ) underlättar!) j. MacLaurinutveckla. k. MacLaurinutveckla först logaritm-faktorn: sin + ln = ln + O( ) + tan + O( = ln + + O( ) ) + O( = ) = ln ( + + O( )) ln ( + O( )) = + O( ) l. Uttrycket kan skrivas arctan + + π 4, använd l Hospitals re- gel. Alternativt kan man förenkla bråkets täljare. Man har att tan (täljaren) enligt additionssatsen för tan är 7

8 = + Detta kan utnyttjas för en MacLaurinutveckling i variabeln +. m. Nämnaren 0. Bevisa, t e med hjälp av serieutveckling, att också täljaren 0. Använd sedan l Hospitals regel. n. MacLaurinutveckla. o. MacLaurinutveckla. Om man är osäker på tredje ordnings term i utvecklingen av tan kan man skriva: tan tan (sin ) = sin sin (sin ) cos cos (sin ) = sin cos (sin ) cos sin (sin ) = = Subtraktionssats = cos cos (sin ) sin ( sin ) = cos cos (sin ) = sin ( /6 + O( )) + O( = ) /6 + O( 5 ). Ett alternativ är att utnyttja subtraktionssatsen för tan-funktionen: tan α tan β = ( + tan α tan β ) tan (α β ). Man får tan tan (sin ) = ( + tan tan (sin )) tan ( sin ) = = ( + O( )) tan ( /6 + O( 6 )) = /6 + O( 5 ). p. Sätt = π/ + t. MacLaurinutveckla sedan. q. Sätt = 4t. Använd trigonometriska samband för att skriva funktionen som en rationell funktion av sin t och cos t, faktorisera och förkorta (Alternativt kan l Hospitals regel tillämpas två gånger.) r. MacLaurinutveckla. s. Skriv på gemensamt bråkstreck och MacLaurinutveckla eller använd l Hospitals regel ggr. t. MacLaurinutveckla. u. Tillämpa l Hospitals regel ggr. 6. a. Sätt = /t, sätt på ett bråkstreck och MacLaurinutveckla. b. Funktionen kan skrivas (cos ) cot = e cot ln (cos ) = e MacLaurinutveckla sedan eponenten. ln (cos ) tan. (Alternativt kan man t e sätta cos = t varvid man i eponenten får uttrycket t ln t där t ) t 8

9 6. c. Använd l Hospitals regel ggr eller sätt = + t och MacLaurinutveckla. Alternativt: Observera att bråket kan skrivas α ln β ln och att lim α = α enligt l Hospitals regel. ln d. Täljaren kan skrivas som en algebraisk funktion. e. arcsin = /6 + O( 5 ), y sin y = y /6 + O(y 5 ) f. Studera gränsvärdet för logaritmen av funktionen. Använd l Hospitals regel, obs att tan = /cot. g. MacLaurinutveckla (e + ) = e ( + ln ( + /e)) till ordning. h. MacLaurinutveckla de tre parentesuttrycken i variabeln /n = 4, ( + t)α = + αt + α(α ) t + O(t ). 6. Sätt på ett bråkstreck. MacLaurinutveckla täljare och nämnare. För att gränsvärdet skall vara egentligt måste täljarens ordoeponent nämnarens. 64. Enligt medelvärdessatsen har vi att f(sin ) f() = f (ξ) (sin ) där ξ är ett tal mellan sin och. Alternativt kan l Hospitals regel tillämpas ggr. 65. Jämför eemplen , sid Utnyttja att kurvorna har asymptoter. 9

10 Svar till uppgifterna a O( ) b. + + O( ) c O( ) ( ) 7 + O(( ) ) ( ) 6 ( )4 64 ( ) O(( ) 8 ) 604. π + π a b. 0.94, Felet < a. 8! 4 = 680 b. ( )n n(n ) a n O( 8 ) m 0 v4 c 609. a. c. 4 d. e. 4 f. g. i. j. k. 4 l. b. h. m. n. 4 o. 0

11 60. a. b. c. e. f. d. 0 g. h. i. 0 j. e k. l. m. n. 5 o. q. 6 s. u. p. r. t a. b. e c. αβ d. e. 6 4 = 96 g. e + f. ( 4 9 ) 4/π = h. e (4 98) 4/π 6. A =, B =, C = 6. a =, gränsvärdet är då = f (0). 65. a. = 0, = 7, y = 7 b. = 0, = 7 c. y = ±( + a/) d. y = / + /8 e. = 0, y =, y = f. y = 0 g y = +

12 66. a. b. y y y = 7 y = + 7 y =