ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet p () av grad två till e cos. (.5) e / + b) Beräkna gränsvärdet lim. (.5). a) Lös ekvationen z 6 +. Svara på formen a + bi. (.6) b) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y (6) + y. (.4). a) Lös begynnelsevärdesproblemet (.5) ( + sin())y + cos()y ln( + ),, y(). b) En tunn homogen skiva beskrivs av olikheterna y +,. Bestäm -koordinaten för dess tyngdpunkt, dvs mc M dm. (.5) 4. Beräkna den generaliserade integralen + 6 ( + )( + + 5) d. 5. a) Formulera analysens huvudsats. Använd huvudsatsen för att bevisa insättningsformeln. (.5) b) Finn en lösning till integralekvationen y() + + y(t) dt,. (.5) 6. En kurva γ är definierad på parameterform y γ : { (t) t sin t, y(t) cos t, t, π] a) Beräkna längden av γ. (.5) b) Beräkna arean av den yta som bildas då γ roteras ett varv kring -aeln. (.5) LYCKA TILL!

2 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR ANALYS DELKURS A/B kl 8-. a) Derivera f() e cos : f () e (cos sin ), f () e sin p () f() + f () + f () +. b) Skriv ner några första termer för Maclaurinutvecklingar till täljarens funktioner e t + t + t + t! +... t/ e / ( + ) / + + ( ) för att se att det räcker med utvecklingen till ordning två (eftersom andragradstermer inte tar ut varandra), dvs e / ( ) + + B() B() då. 4. a) Vi löser den binomiska ekvationen z 6 på polär form. Ansats z re iθ ger { r 6 r 6 e i6θ e iπ, r, 6θ π + πk θ θ k π + πk. 6 Vi får 6 olika lösningar z k e iθ k cos θk + i sin θ k då k,,,, 4, 5, dvs z + i, z i, z + i, z 4 i, z 5 i, z 6 i. Svar: ±i, / ± i/ och / ± i/. b) Lösningar till den linjära dierentialekvationen bildas som y y p + y h. y p Man ser omedelbart att y p. y h Det karakteristiska polynomet för y (6) + y är p(r) r 6 + med par komplekonjugerande rötter (se ovan i a) som ger upphov till baslösningar: ± i A cos() + B sin(), / ± i/ e / (A cos(/) + B sin(/)), / ± i/ e / (A cos(/) + B sin(/)). Sammanlagd får vi y h A cos()+b sin()+e / (A cos(/)+b sin(/))+e / (A cos(/)+b sin(/)). Svar: y() + y h () där y h () ges ovan.

3 . a) Lägg märke till att vänsterledet är egentligen redan derivata av produkt ( + sin())y + cos()y ( + sin())y + ( + sin()) y ( ( + sin())y ) vilket ger direkt (OBS att F () + tas som en primitiv till f().) ( + sin())y ln( + ) d partialintegration med f(), g() ln( + )] ( + ) ln( + ) ( + ) d ( + ) ln( + ) + C. + För att bestämma konstanten sätter vi in och använder y() Svar: y() ( + ) + C C C. ( + ) ln( + ) +. + sin b) Eftersom skivan är homogen kan vi anta att dess densitet är, dvs ρ, och uttrycka massan dm av en liten bit av skivan mellan och + d som dm ρ da da + d. För att beräkna skivans massa M skall vi integrera dm M dm d ] Nu använder vi formeln (OBS att vi byter gränser vid variabelbyte ) mc M dm t t dt t t +, t d + d t dt t (t ) dt ] ] t Enligt denitionen har vi att + 6 b + 6 d lim ( + )( + + 5) b ( + )( + + 5) d. För att beräkna den sista integralen skall vi använda insättningsformeln och måste således bestämma en primitiv till integranden. För rationella funktioner använder vi partialbråksuppdelning. Eftersom ( + ) + 4 saknar reella nollställen har partialbråksuppdelning endast två termer + 6 ( + )( + + 5) A + + B + C ( + + 5)A + ( + )(B + C) ( ) Det går även att följa standardreceptet med integrerande faktor som ger eakt samma vänsterled. Alternativt: partialintegrera eller använda omskrivningen

4 Insättning i (*) ger 4 4A + A. Nu kan (*) omskrivas som ( + )(B + C) + 6 ( + + 5) ( + )( ). Efter förkortning med + fås B+C +, dvs partialbråksuppdelningen blir + 6 ( + )( + + 5) Nu kan vi prova integrera bråket + 6 ( + )( + + 5) d d ln(+) d. ( ) För att beräkna den andra integralen behöver man jobba lite mer + t + d t + ] ( + ) + 4 t + 4 dt t t + 4 dt + ln(t + 4) + t + 4 dt ( t ) + dt ln t arctan t + c ln arctan + + c. Tillsammans med (**) ger detta en primitiv till vår integrand då c ln( + ) ln arctan + ln arctan + ln och integralen beräknas med hjälp av insättningsformeln arctan + ] b ln + b ln + arctan b + + ln π b b b + b + b arctan b + ln arctan 8 b ln + π + ln π 4 π 4 + ln. 5. a) Se boken, sid 5, 7. b) Vi delar med och sedan deriverar m.h.a. analysens huvudsats y() + + y(t) dt y() + y () + + y() y() + y () + + y() ( y + ) y. }{{} g() Vi skall använda integrerande faktor. En primitiv till g() är G() således integrerande faktor kan väljas som ln, e G() e / ln e /. Alternativt: A, B och C kan fås genom att likställa koecienterna i höger- och vänsterledet av (*).

5 Efter att ha multiplicerat båda led av dierentialekvationen ovan med den integrerande faktorn får vi ( ) e / / y() e / e y() e / d e / + C y() + Ce /. Observera att insättning i den ursprungliga integralekvationen ger att y() + +, dvs y(). Med detta begynnelsevärde kan man bestämma konstanten + Ce / C e /, och lösningen blir då y() + e / e / ( e ( )/ ). 6. a) Intervallet, π] delas i små bitar med längd ds mellan t, t + dt] och integreras ds d + dy π (t) + y (t) dt L ds (t) + y (t) dt. Vi deriverar (t) cos t, y (t) sin t och beräknar uttrycket under rottecknet (t) + y (t) ( cos t) + sin t cos t + } cos t {{ + sin } t ( cos t). Eftersom vi behöver ta roten ur detta är det bekvämt att omskriva cos t som en kvadrat med hjälp av formeln för dubbelvinkel cos t sin (t/) (t) + y (t) 4 sin (t/) sin(t/) t π ] sin(t/). Nu blir integralen för kurvlängden lätt L π sin(t/) dt 4 π sin(t/) dt 4 cos(t/) ] π 4( + ) 8. b) Om man strimlar ytan i små remsor så kan en small remsa som motsvarar kurvstycket mellan t och t + dt approimeras med en rektangel πy ds med area 4 da πy ds πy(t) (t) + y (t) dt. Integrationen över alla remsor ger rotationsarean som integral π A da π y(t) π (t) + y (t) dt π ( cos(t)) sin(t/) dt. Vi använder först samma formel som ovan cos t sin (t/) A π π sin (t/) sin(t/) dt 8π π sin (t/) dt. Udda potenser av sinus integreras m.h.a. kedjeregeln efter omskrivningen π π ( A 8π sin (t/) sin(t/) dt 6π cos (t/) ) sin(t/) dt ] π ( 6π cos(t/) + cos (t/) 6π + ) 64π. 4 Detta är helt analogt med approimationen i boken, sid 5, där man har ett specialfall y(t) f().