Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

Transkript

1 Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion är integrerbar på ett intervall och vad i så fall integralen av f över det intervallet är. Men det är inte definitionen man normalt använder för att räkna ut integraler, utan andra metoder som bygger på definitionen. Den viktigaste satsen är integralkalkylens huvudsats (the fundamental theorem of calculus) som säger att derivata och integral i någon mening är inversa operationer. En följd av detta är att man kan använda primitiv funktion (på engelska anti-derivative) för att räkna ut integraler. Eftersom det ofta är svårt att hitta primitiva funktioner, så har ett antal tekniker utvecklats för detta ändamål. De viktigaste är variabelsubstitution och partiell integration. För rationella funktioner kan partialbråksuppdelning (på engelska partial fractions) användas. I praktiken är förstås också numeriska metoder och programvara viktiga verktyg. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket. KAN DU DET HÄR TILLRÄCKLIGT BRA? TESTA DIG SJÄLV! Uppgift. Beräkna nedanstående integraler (när ska svaret innehålla en godtycklig konstant och när ska det inte göra det?) +, 3/2 (,, 2 + 2, 3 + ). 3 /2 Uppgift 2. Beräkna nedanstående integraler med hjälp av angiven substitution. (c) 3/2 / (sätt u = 2). + 2 (sätt t = + 2 ). e 2 (sätt t = 2 ).

2 SF625 Modul 5 Läsåret (d) (e) e π/2 π/6 ln (sätt t = ln ). cos sin 3 (sätt u = sin ). Uppgift 3. Beräkna nedanstående integraler med hjälp av partiell integration. e, e ln, π/2 sin, π/2 2 sin. Uppgift 4. Finns det några symmetrier som gör dessa integraler lättare att beräkna? Beräkna dem! sin, i e, ii arctan. Uppgift 5. Beräkna nedanstående integraler med hjälp av partialbråksuppdelning 2 9, i , Uppgift 6. Beräkna följande integraler. metoder. arctan, i /2 ii Du kan behöva kombinera flera arcsin t dt, ii e Uppgift 7. Derivera nedanstående uttryck med avseende på. (ln u) 2 du. 2 + t dt, i + t dt, ii + t dt. Uppgift 8. Låt F () = beräkna sedan lim F (). cos(t 2 ) dt. Beräkna F (), F () och F () och Uppgift 9. Bevisa följande olikheter med hjälp av de grundläggande egenskaperna för integraler. b a sin 2 < e < 2 b a sin om a < b. 2

3 SF625 Modul 5 Läsåret (c) e 2 < Uppgift. Vi ska approimera integralen med Riemannsummor. Ange en Riemannsumma med två termer som är en undersumma till integralen. Ange en Riemannsuymma med fyra termer som är en undersumma till integralen. (c) Använd svaret i uppgift b) för att ge ett närmevärde till ln 2. Förklara! Uppgift. Här är en uppgift om Riemannsummor. ( ) 3 k Ange en integral som k= är en Riemannsumma till. n Beräkna (med hjälp av en integral) gränsvärdet lim n k= ( ) 3 k n n. 3

4 SF625 Modul 5 Läsåret Svar till Uppgift : FACIT OCH LÖSNINGSTIPS arctan + C där C är en godtycklig konstant C där C är en godtycklig konstant. (c) π/6 (obs ingen konstant C här!) (d) ln + C där C är en godtycklig konstant. (e) C där C är en godtycklig konstant. 22 Svar till Uppgift 2: π/24 (c) e 2e (d) /2 (e) 3/2 Svar till Uppgift 3: 2 e 4 (c) (d) π 2 (e) 4/5 Svar till Uppgift 4: 2e 2 (integranden är jämn och integralen = 2 e.) (c) (integranden är udda och intervallet symmetriskt runt origo.) (d) 6 ln 5 (e) 2 ln 9 5 Svar till Uppgift 5: ln ln 5 Svar till Uppgift 6: (utför polynomdivision först.) π 4 2 ln 2 π (c) e 2 Svar till Uppgift 7: + + (c)

5 SF625 Modul 5 Läsåret Svar till Uppgift 8: Vi har F () =, F () = och F () = 2 sin 2 som är begränsat nära origo så det sökta gränsvärdet fås med Taylorutveckling eller l Hospials regel till. Svar till Uppgift 9: Tips: om en funktion är mindre än en annan i ett helt intervall så är integralen över det intervallet mindre än motsvarande integral för den andra funktionen. Svar till Uppgift : 3/ = 7/2 5/ / / = 533/ (c) Eftersom integralen är eakt ln 2 approimerar Riemannsumman i B (och A) detta tal. Så ln Felet i approimationen har vi nu inte analyserat så vi vet inte hur bra den är. Svar till Uppgift : /4 3 5