Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Transkript

1 Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna till f() h(g()) om g() och h() sin. Lösning: f() h(g()) sin g() sin. Här krävs att och definitionsmängden är. Värdemängden blir densamma som för sinusfunktionen: y.. Lös ekvationen 3 + ln ln. Lösning: Vi har ln ln 3 och vänsterledet är ln ln. Eponentiering ger e 3 och kvadrering ger svaret e Visa att arctan < om >. Lösning: Bilda funktionen f() arctan. Vi ska visa att f() > för >. Vi har f () > då >. Det följer att + + f() > f() om >. Saken är klar!. Approimera med ett lämpligt första ordningens Taylorpolynom i punkten och visa att felets absolutbelopp är 5. Lösning: Tag f() +. Vi Taylorutvecklar f till grad : f() f() + f () + R, där resttermen, dvs felet, kan skrivas R f (t) med t mellan och. I vårt fall fås f() ( + t) 3/ ger, och felet kan uppskattas med R ( + t) 3/ () 3/ 3 5.

2 5. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y + y + 5y 8 cos. Lösning: Karakteristiska ekvationen är r + r + 5. Kvadratkomplettering ger (r + ), varav r ± i. Den allmänna lösningen till den homogena ekvationen är då h e (C cos + C sin ). För partikulärlösningen gör vi ansatsen p A sin + B cos. Insättning i ekvationen p + p + 5p 8 cos ger villkoren A + B och A B varav A, B. Den allmänna lösningen till hela ekvationen är därför y h + p e (C cos + C sin ) + sin cos. 6. Bestäm alla primitiva funktioner till f() ( ) + 3. Lösning: Substitutionen u + 3 ger ( ) + 3 d ( u) y du u3/ 3/ u5/ 5/ + C 3 ( + 3)3/ 5 ( + 3)5/ + C. 7. Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna y 3 och y 3 +. Lösning: Låt f() 3 och g() 3 +. Skärningspunkter för de två kurvorna ges av f() g(), dvs 3 + med lösningar,,. Kontroll visar att g() f() för medan g() f() för. Arean blir därför A (g() f()) d + ( 3 + ) d [ ] (f() g()) d ( 3 + ) d [ Beräkna längden av kurvan y 3/, 8. Lösning: + (y ) + 9, varför längden blir d 9 9 3/ ] [ ] ( 9 u du 9 3 u3/ 8 9 3/ 3/ 7 ( ) ) 3 3/.

3 9. Beräkna lim sin cos. Lösning: Vi använder Maclaurinutvecklingarna sin t t+o(t ) och cos t t + O(t 3 ), t. Det ger sin cos ( + O( )) () + O( 3 ) + O( 3 ) + O( 3 ). Beräkna ( n ) n 3. 3n + O(),. + O() Lösning: Vi skall använda att n n /( ) < < (geometrisk serie). Observera att n ( ) n n och 3 3n (3 3 ) n 7 n. Vi får ( n ) 3 3n n ( n ) 7 n n n ( n ) 3 3n a) Man vet att Bestäm b) Är det sant att f() 9 lim. lim f() och lim arcsin d arccos + C, resp. f() 3. cos d sin + C? Motivera ordentligt! Lösning: a) Gränsvärdeslagarna ger f() 9 lim(f() 9) lim lim( ), dvs f() 9 då. Vi antar att f() 9. 3

4 Funktionen f() är definierad i något intervall kring. f är deriverbar i punkten och f (). Kedjeregeln ger nu lim f() 3 ( f() ) f() f () 3 3. b) Vi vet att arccos har derivatan /. Den första identiteten säger därför arcsin (arccos ) /. ger motsägelse. Den andra identiteten säger att cos är lika med ( ) sin cos sin ().. cos sin, vilket är nonsens. Slutsats: båda formlerna är falska!. Bestäm värdemängden till funktionen f() e,. Lösning: f () ( )e, så f () då. ( tillhör inte intervallet.) Om gäller f (), dvs f väer. För är f (), så f avtar. Alltså är f() e ett lokalt maimum. f() /e och f() då visar att f:s värdemängd är < y e. 3. Låt f() Bestäm det största intervall som innehåller och i vilket f är inverterbar. Lösning: Vi skall studera funktionens derivata. Vi har f () ( ) ( ) 3, så f() > för >. På intervallet är f är strängt (strikt) väande och därmed inverterbar. Uppenbarligen är det det största intervallet med denna egenskap. Svar:.. Vilken är den maimala arean av en rätvinklig triangel med omkrets? Lösning: Låt a, b > beteckna längden av katetrarna. Då gäller a + b + a + b, eller a + b a b. Kvadrering och förenkling ger ab a b +, varför b ( a) a varav A ab a( a) a a a a. Derivering ger A ( a)( a) (a a )( ) ( a)... a a + ( a),

5 så derivatan är noll precis då a a + vilket leder till a (den andra lösningen förkastas). Kontroll visar att b antar samma kritiska värde. I ändpunkterna a resp. b blir arean. Den kritiska punkten måste alltså vara ett maimum. Den maimala arean blir således ( ) Bestäm en primitiv funktion till /3 + /. Lösning: Vi gör substitutionen u /6 så att /3 u och / u 3. Då blir u 6, varför d 6u 5 du. Alltså gäller d u 5 du u 3 du (t ) 3 dt /3 + / 6 u + u 3 6 ( t 6 t (t3 3t 3 + 3t ) dt 6 + u 6 t ) 3 3t + 3t ln t + C (u + ) 3 9(u + ) + 8(u + ) ln u + + C, där u /6. 6. a) Låt tan t/. Härled formlerna b) Man vet att cos t, sin t + +, dt + d. d (+ )(+) (ln + ). Beräkna integralen π/ + cos t + sin t dt. Lösning: a) Se läroboken. b) Vi använder formlerna i a) och får π/ + cos t + sin t dt ( + + ) ( + )( + + ) d enligt förutsättningen. d + d ( + )( + ) ln + 5

6 7. Givet en konvergent serie n a n där a n > för n,,... Visa att serien också är konvergent. n ( sin a ) n a n Lösning: Skriv f() sin. Maclaurin ger en punkt t mellan och så att sin sin ( + f (t) ) sin t sin t. Det följer att sin sin an, varför a n a n a n. Konvergensen av serien a n ger alltså att serien sin an ( a n ) är absolutkonvergent, och därmed konvergent. 6