LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Transkript

1 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN SF66 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE den januari 0 kl Hur många gånger antar funktionen f) = ) värdet när varierar i intervallet 9? LÖSNING: Vi ser att f är kontinuerlig på det slutna begränsade intervallet och att f) = och f9) = 9. Vi deriverar och får f ) = + = som eisterar för alla i intervallet. Det gäller att f ) = 0 om och endast om =. Ett teckenstudium av derivatan ger att då < < är f ) > 0 och det följer att f är strängt väande här, då < < 9 är f ) < 0 och det följer att f är strängt avtagande här. Det följer av ovanstående att f) först väer strikt från f) = till f) = 6, som är funktionens största värde, och därefter avtar f) strikt ner till f9) = 9. Alltså måste värdet antas eakt två gånger. SVar: Två gånger.. Beräkna integralen e + ln d.

2 LÖSNING: Med hjälp av substitutionen +ln = u, som ger d/ = du och nya gränser resp, får vi e + ln d = u du =. Svar: )/. En mjölkförpackning med temperaturen C tas ur kylskåpet och placeras i ett rum med konstant temperatur 0 C. Efter minuter har mjölken antagit temperaturen C. Efter hur lång tid ytterligare har mjölkens temperatur nått 8 C? Förutsätt att förloppet följer Newtons avkylningslag, dvs att mjölkens temperaturändring per tidsenhet är proportionell mot temperaturskillnaden mellan rummet och mjölken.) LÖSNING: Låt yt) betyda mjölkens temperatur t minuter efter uttagandet ur kylskåpet. Newtons avkylningslag ger att y t) = k0 yt)) för någon konstant k. Dessutom ska villkoret y0) = uppfyllas. Vi löser diffekvationen y t) = k0 yt)), som också kan skrivas y t) + kyt) = k0 Först söks y h, dvs allmänna lösningen till den homogena ekvationen y + ky = 0. Den karaktäristiska ekvationen r + k = 0 har lösning r = k varför y h t) = Ce kt. Sedan söks y p, dvs någon partikulärlösning. Vi ser att vi kan ta y p t) = 0. Vi konstaterar att differentialekvationens allmänna lösning är yt) = 0 + Ce kt. Begynnelsevillkoret y0) = ger oss att C = 6, så den funktion som löser differentialekvationen med det givna begynnelsevillkoret är alltså yt) = 0 6e kt. Vi kan nu bestämma konstanten k med hjälp av temperaturen efter minuter som ju var given: C. Vi ska alltså ha att y) = vilket är detsamma som att 0 6e k =. Vi får k = ln. Den funktion som beskriver mjölkens temperatur vid tiden t minuter efter uttagandet är alltså yt) = 0 6e t ln )/. Mjölkens temperatur är 8 när yt) = 8, dvs när 0 6e t ln )/ = 8. Löser vi för t får vi tidpunkten t = ln 8)/ ln = 6 minuter. Svar: Mjölkens temperatur når 8 C precis 6 minuter efter uttagandet ur kylskåpet.

3 . Ge eempel på följande endast svar krävs på denna uppgift): a. En funktion f som är kontinuerlig men inte deriverbar i punkten =. b. En funktion g som har definitionsmängd R och värdemängd R och som är inverterbar. c. En funktion h som har definitionsmängd R och värdemängd [0, [ och som inte är inverterbar. Svar: a. Till eempel f) = ]. b. Till eempel g) =. c. Till eempel h) =. Använd ett lämpligt valt Taylorpolynom för att bestämma ett närmevärde till ln. med ett fel som till absolutbeloppet är mindre än LÖSNING: Vi vet att för nära 0 är ln + ) med ett fel som ges av R) =, för något c mellan 0 och. Detta är en standardutveckling; man kan + c) förstås lika gärna räkna fram det lämpliga Taylorpolynomet från scratch och man måste inte heller ta ovanstånde Maclaurinpolynom till ln + ) utan man kan lika gärna välja Taylorpolynomet till ln kring punkten om man hellre vill det). Med hjälp av polynomet får vi att ln. = ln + 0.) = Felet i denna approimation är för något c mellan 0 och 0.) R0.) = 0. + c) 0.00 < 0.00 Svar: ln Betrakta initialvärdesproblemet { y ) + y ) = y)) y) =, y ) = a. Skatta y.) med hjälp av Eulers metod och steglängden 0..

4 b. Skatta y.) med hjälp av Eulers metod och steglängden 0.. c. Skriv ett matlabprogram som plottar funktionsgrafen till funktionen w) som definieras genom w) = y) y ) på intervallet 0. LÖSNING: a+b Eulers metod klarar bara första ordningens differentialekvationer. Vår differentialekvation är av andra ordningen y ). Vi måste därför skriva om den till ett system av första ordningens differentialekvationer. En andra ordningens differentialekvation innebär två stycken första ordningens differentialekvation. Vi inför därför två hjälpvariabler. Vi kallar dem u och u. Vi måste nu ge uttryck för dessa förstaderivator utan att använda några derivator. Vi sätter u = y vilket ger u = y men skrivs som u = u. Vi sätter u = y vlket ger u = y = y y vilket vi skriver som u = u u. I vektorform blir det då ū = ) u u ) och ū u = u u Eulers metod säger att y + h) skall skattas med y) + h f, y) där f, y) = y ) och vi har nu u i stället för y). Från = till =. med steget 0. innebär steg och h = 0.). Startvärdena för är dvs 0 =. Startvärdet för u är u 0 = y) =. Startvärdet för u är u 0 = y ) =. Vi får och nya u-vektorn ) ) ū u 0 = 0 0 u 0 u = 0 = ū = ū 0 + h ū 0 = ) ) + 0. = 0 ) 0 ) dvs u = och u = och = 0 + h = + 0. =.. I nästa steg blir då derivatorna ) ) ) ū u = u u =. =.6

5 och nya u-vektorn ū = ū + h ū = ) ) ) = dvs u =.6 och u = 0.68 och = + h = + 0. =.. Alltså skattar vi y.) till.6 och y.) till 0.68 c I Matlab är det lättast att använda ode till detta. Då behöver man lägga derivataberäkningarna i en funktionsfil. function uprim=dud,u); uprim = [u); *-u)*u)-u)]; Och då blir programmet [ut, uut] = ode dud,[ 0],[ ]); % funktion, intervall & startvärden y = uut:,); yprim = uut:,); w = y-yprim; plotut,w) 7. Beräkna, eakt eller approimativt, integralen π π sin d. LÖSNING: Eftersom det verkar svårt att hitta en primitiv funktion använder vi trapetsregeln. Med steglängd π/ får vi: π π sin d π 0 + π + 6π + 7π + 0 ) = 7 0 Svar: Integralens värde är ungefär 7/0 0.8)

6 8. Låt f) = + +. Hur många nollställen har derivatan f )? Beräkna, eakt eller approimativt, en lösning till f ) = 0. Skissa kurvan y = f). LÖSNING: Vi ser att f är ett polynom så f är deriverbar överallt hur många gånger som helst. Vi deriverar och får f ) = + +. Frågan är nu hur många nollställen detta har. Vi deriverar igen och får f ) = + vilket är positivt för alla. Eftersom f ) > 0 för alla så är f ) strängt väande och kan därför ha högst ett nollställe. Men eftersom f ) = och f 0) = så följer av satsen om mellanliggande värden då f är kontinuerlig) att det finns ett nollställe till derivatan någonstans i intervallet mellan och 0. För att approimera detta nollställe använder vi Newton- Raphsons metod med start i 0 = 0. Eftersom f 0) = och f 0) = får vi som första approimation av nollstället = 0 =. För att få bättre noggrannhet gör vi en iteration till. Eftersom f /) = / och f /) = får vi som andra approimation av nollstället = / = 0.. Vi har alltså att f ) = 0 = 0.. För < är f ) < 0 så f är strängt avtagande här. För > är f ) > 0 så f är strängt väande här. Det följer att f har en lokal och global minpunkt i = och det är lätt att se att funktionsvärdet i denna punkt är negativt, ungefär 0.. Vi observerar också att f0) = 0 och att lim ± f) =. Nu kan vi skissa kurvan, se svaret nedan. Svar: Derivatan har eakt ett nollställe och 0.. Kurvskiss: 6

7 9. Formulera och bevisa analysens huvudsats, som relaterar begreppen derivata och integral. Använd sedan huvudsatsen för att också bevisa insättningsformeln, som säger hur man kan beräkna integraler med hjälp av primitiva funktioner. LÖSNING: Se läroboken. 7