v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Transkript

1 v0., Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 4 poäng från uppgifterna 9, varav minst 3 poäng från uppgifterna 7 9. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 9 minst 50% ( poäng) från uppgift 0 3, för betyg 5 minst 75% (8 poäng). Detta tentamenstillfälle tillhör inget kurstillfälle, därför kan inga tidigare duggaresultat tillgodoräknas. Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift 9 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 4 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift Låt f(x) = 3 + x (a) Bestäm ett uttryck för f (x), där f är den inversa funktionen till f. (b) Vilken är definitionsmängden för f, som inversfunktion till f? Svar räcker. (a) Vi har att y = f (x) x = f(y) = 3 + y för y. Om y så gäller x = 3 + y y = (x 3) y = (x 3) + = x 6x +. Alltså har vi att f = x 6x +, för x i sin definitionsmängd. (b) Definitionsmängden för en invers funktion f till en funktion f är lika med värdemängden för f, dvs möjliga värden på x = f(y). Eftersom y tar alla värden från och med 0 och uppåt för y < så är värdemängden till f mängden av x sådana att 3 x <, dvs [3, ). Alltså har f definitionsmängd [3, ).

2 . Låt f(x) = sin x x (x 3). Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Ett gränsvärde kan vara ett tal, + eller. Korrekt värde räcker. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange detta. (Tips: Se formelbladet för gränsvärden som kan behövas.) (a) f(x) x 0 (b) f(x) x 3 + (c) f(x) x + (a) x 0 (b) (c) x 3 + x + sin x x (x 3) = x 0 sin x x (x 3) = sin 3 6 sin x x (x 3) = 6 = 6. sin 3 +, eftersom x 3 + x 3 6 > 0 och x 3 + x 3 = +. sin x x (x 3) = 0, eftersom sin x och x (x 3) 0 då x. 3

3 3. Ekvationen y 3 + e 3x y = 0 definierar en kurva i xy-planet som innehåller punkten (x, y) = (0, ). Bestäm kurvans tangentlutning i denna punkt. Vi deriverar implicit, för att sedan kunna lösa ut. y 3 + e 3x y = 0 = d ( y 3 + e 3x y ) = 0. Vi utvecklar det deriverade vänsterledet Det ger oss ekvationen Med (x, y) = (0, ) har vi då d ( y 3 + e 3x y ) = d y3 + d = d y3 + ( e 3x y ) ( ) d e3x 3x y + e = 3y + 3e3x 3x y + e = ( 3y + e 3x) + 3e3x y. ( 3y + e 3x) + 3e3x y = 0 = 3e3x y 3y + e 3x. = 3e0 (x,y)=(0,) 3 + e 0 = 6 3. Kurvans tangentlutning i (x, y) = (0, ) är = 6/3. 4

4 4. Betrakta funktionen f(x) = x 3 6x (definierad för alla reella tal x). (a) Bestäm eventuella lokala extremvärden till f(x), för vilka x de antas och om de är lokala minima eller maxima. (b) Utred ifall f(x) har något absolut maximum eller minimum på intervallet x, dvs ett största och/eller minsta värde på det intervallet, och vad dessa i så fall är. För att studera lokala extremvärden till f(x) betraktar vi derivatan f (x) = 6x x = 6x(x ). Vi noterar att f (x) = 0 då x = 0 eller x = och gör en teckentabell för f (x) för att se växande/avtagande för f(x). x < 0 x = 0 0 < x < x = x > f (x) f(x) lok.max. lok.min. (a) Funktionen f(x) har ett lokalt maximum f(0) = 0 då x = 0 och ett lokalt minimum f() = 8 då x =. (b) Nu vill vi hitta absolut maximum på intervallet x. Eftersom f(x) är strängt växande på intervallet [, 0] och strängt avtagande på intervallet [0, ], så måste f(x) ha absulut maximum f(0) = 0 där x = 0 och absolut minimum antingen då x = eller då x =. Vi beräknar värdena f( ) = 8 och f() = 4, varav det minsta är f( ). Slutsats: På intervallet [, ] har f(x) absolut maximum f(0) = 0 och absolut minimum f( ) = 8. 5

5 5. Bestäm värdet av integralen π /3 0 x sin x 3. Integralen beräknas enklast genom att göra variabelsubstitutionen u = x 3. Då är du = 3x, så x = 3du och π /3 0 x sin x 3 = π 0 sin u du = [ 3 ] u=π 3 cos u = u=0 3 ( cos π + cos 0) = Utveckla den obestämda integralen (x + 3) cos x. Integralen utvecklas enklas med partiell integration, med sin x som primitiv funktion till cos x. där C är en allmän konstant. ( ) d (x + 3) cos x = (x + 3) sin x (x + 3) sin x = (x + 3) sin x sin x = (x + 3) sin x + cos x + C, 6

6 7. Bestäm en lösning till differentialekvationen = x + x y + y 4 som uppfyller villkoret att y = då x = 0. (Det räcker att ge lösningen som en ekvation med analytiska uttryck i x och y, du behöver inte lösa ut y som en funktion av x). Differentialekvationen är separabel, så vi separerar variablerna och integrerar. = x + x y + y 4 (y + y 4) (x = + x ) 3 y3 + 5 y5 = 3 x3 + x + C. Konstanten C bestäms av villkoret att y = då x = 0. Vi sätter in (x, y) = (0, ) i allmänna lösningen och får då 3 y3 + y= 5 y5 = 3 x3 + x=0 x + C = C C = 8 5. Den sökta lösningen är alltså 3 y3 + 5 y5 = 3 x3 + x + 8 5, eller ekvivalent, om vi skulle föredra heltalskoefficienter, 0y 3 + 6y 5 = 0x 3 + 5x

7 8. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen för x > 0. + x y = 4 6x. För att kunna integrera fram lösningen behöver vi multiplicera med en integrerande faktor e G(x) där G (x) = x för x > 0. Vi kan ta G(x) = ln x och får då den integrerande faktorn e ln x = x. Vi har då att + x y = 4 6x d (xy) = x(4 6x) xy = (4x 6x ) xy = x x 3 + C y = x x + C x. Slutsats: Den allmänna lösningen till differentialekvationen för x > 0 är där C är en allmän konstant. + x y = 4 6x y = x x + C x 8

8 9. (a) [p] Bestäm den allmänna lösningen y = y(x) till den homogena differentialekvationen y + 3y + y = 0. (b) [p] Bestäm lösningen y = y(x) till begynnelsevärdesproblemet y + 3y + y = 3x, y(0) = 0, y (0) = 0. (a) För att bestämma den allmänna lösningen till y + 3y + y = 0 () bestämmer vi först rötterna till den karakteristiska ekvationen r + 3r + = 0, som är r = och r =. Det ger att den allmänna lösningen till () är y = C e x + C e x. (b) Den allmänna lösningen till en inhomogen linjär differentialekvation fås genom att addera den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation till en partikulärlösning. Homogenlösningen har vi bestämt i (a). Vi bestämmer en partikulärlösning till genom att ansätta y p = ax + b. Då är y p = a och y p = 0 så y + 3y + y = 3x () y p + 3y p + y p = 3a + (ax + b) = (3a + b) + ax. y p löser då differentialekvationen om 3a + b = a = 3 a = 3/ b = ( 3a) / = 3 4 Den allmänna lösningen till () är alltså y = C e x + C e x 3 x Konstanterna C och c bestäms av begynnelsevillkoren.y(0) = 0, y (0) = 0. Vi har att y = C e x + C e x 3 x = y = C e x C e x 3, så y(0) = 0, y (0) = 0 C + C = 3 4 C + C = 3 C + C = 0 C C 3 = 0 C = = 5 C = =

9 Den sökta lösningen är alltså y = 5e x e x 3 x

10 Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms. 0. Låt funktionen f definieras av f(x) = x(x 3). Vad är den maximala definitionsmängden för f bland de reella talen? Skissa grafen till funktionen så att relevanta delar kommer med. Ange särskilt asymptoter och lokala extrempunkter, med motivering och relevanta beräkningar.. Låt kurvan y = x+a, (a > 0) i xy-planet rotera kring x-axeln. Ytan som kurvan sveper mellan x = 0 och x = L innesluter då en rotationskropp. (a) Vad blir volymen av rotationskroppen, mellan x = 0 och x = L, uttryckt i koordinatsystemets volymenheter? (b) Har volymen ett gränsvärde då L, och hur stort är det i så fall? (c) För ett fixt L, har volymen ett gränsvärde då a 0 +, och vad är det i så fall? (a) Volymen av kroppen som bildas då y = x+a x = L (för a > 0) är, enligt skivmetoden L 0 ( ) L π = π (x + a) = [ π (x + a) ] x=l x + a 0 x=0 roterar kring x-axeln mellan x = 0 och = π (L + a) + πa = π ( a ) L + a (b) Vi har att ( π a ) π L + a a så volymens gränsvärde då L är då x, 0 ( ) π = π x + a a. (c) Om a 0 + så a, medan L+a L, så volymen divergerar mot då a 0+.. Bestäm en lösning till differentialekvationen som uppfyller villkoren d y + = e x y = och = 0. x x=0 Tips: Se standardgränsvärden i formelsamlingen för gränsvärdesvillkoret.

11 Låt z =. Då är ekvationen d ekvivalent med y + = e x (3) dz + z = e x, (4) en linjär första ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Med integrerande faktor e x har vi att (4) d (ex z) = e x e x z = e x e x z = e x + C z = e x ( e x + C) = e x + Ce x Villkoret ger att C =, så vi har alltså att = 0 x=0 = e x + e x Vi integrerar och får då y = ( e x + e x) = e x e x + D. För att bestämma konstanten D så att villkoret x y = gäller konstaterar vi att ( ) y = x x e x e x + D = D, så vi får vår sökta lösning med D =. Slutsats: Den sökta lösningen är y = e x e x +. (Alternativt kan man integrera båda led i den ursprungliga ekvationen så man får ekvationen och lösa för y ur denna differentialekvation.) + y = e x + C, 3. (a) Bestäm en lösning y = y(x) till differentialekvationen = y + 4 x 4 som uppfyller begynnelsevillkoret y(0) = 0.

12 (b) På vilket intervall blir denna funktion definierad (så att den är kontinuerlig i hela intervallet)? (c) Bestäm en lösning till samma differentialekvation som istället uppfyller begynnelsevillkoret y(0) =. Differentialekvationen är separabel. Vi har, = y + 4 x 4 (5) = y + 4 x 4 y + 4 = (6) x 4. (7) Vi utvecklar integralerna var för sig. För vänsterledet har vi att y + 4 y=u = du 4u + 4 = du u + = [ ] arctan u = [ arctan y ] För högerledet behöver vi göra en partialbråksuppdelning av den rationella integranden Vi ansätter x 4 = (x )(x + ). (x )(x + ) = a x + b x +. Vi kan bestämma a och b genom handpåläggning. efter multiplikation med (x ) har vi att Med x = ger det att a + b (x ) x + a = 4 = x +. Motsvarande procedur med multiplikation med (x + ) följt av att sätta x = ger b = 4. Alltså har vi att ( /4 x 4 = x /4 ) [ = x + 4 ln x ] ln x

13 Sätter vi samman har vi att = y + 4 x (8) 4 arctan y = 4 ln x ln x + + C (9) ( 4 y = tan ln x ) ln x + + C (0) ( y = tan ln x ) ln x + + C () ( ) x y = tan ln c, () x + där c = e 4C är en allmän positiv konstant. Med begynnelsevillkoret y(0) = 0 har vi från ekvation (9) att C = 0, så den sökta lösningen är ( y = tan ln x ) ( ) x ln x + = tan ln. x + (b) Observera singulariteter (funktionen odefinierad) i x = och x =. Den kontinuerliga lösningens definitionsmängd är alltså intervallet (, ). (c) Om vi istället har begynnelsevillkoret y(0) = ger ekvation (9) att C = arctan = π 8 och lösningen ( y = tan ln x ln x + + π ) ( ) x = tan ln eπ/ 4 x + SK, v0.,

14 Formelsamling för matematisk analys Trigonometriska identiteter sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β ( ) ( ) sin α + sin β = sin α+β cos α β ( ) ( ) cos α + cos β = cos α+β cos α β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β ( ) ( ) sin α sin β = cos α+β sin α β ( ) ( ) cos α cos β = sin α+β sin α β sin α sin β = (cos(α β) cos(α + β)) cos α cos β = (cos(α β) + cos(α + β)) sin α cos β = (sin(α β) + sin(α + β)) sin α = sin α cos α cos α + sin α = cos α = cos α sin α = cos α = sin α ) = +cos α sin ( α ) = cos α cos ( α Eulers formel: e iθ = cos θ + i sin θ cos θ = (eiθ + e iθ ), sin θ = i (eiθ e iθ ) Standardgränsvärden x ± x ( + x) x = e x ± x p a x = 0 om a > xp (ln x) q = 0 om p > 0 x 0 + sin x x 0 x = x 0 ( + t x) x = e t x x x = x xp e qx = 0 om q > 0 m a m m! a x x Elementära derivator och integraler f(x) f (x) = 0 för heltal m x (ln x) p x q = 0 om q > 0 ln( + x) = ln a om a > 0 = x 0 x f(x) x a ax a a+ xa+ + C om a /x /x ln x + C e x e x e x + C ln x /x x ln x x + C sin x cos x cos x + C cos x sin x sin x + C tan x cos x = + tan x arcsin x x arccos x x ln cos x + C x arcsin x + x + C x arccos x x + C arctan x +x x arctan x ln( + x ) + C a x a x ln a ln a ax + C log a x x ln a a +x a x a+x cos x sin x Derivering och integrering x ln x x ln a + C a arctan ( ) x a + C arcsin ( ) x a + C ln x + a + x + C tan x + C cot x + C d (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), d (f(x)/g(x)) = f (x)g(x) f(x)g (x) d, (g(x)) (f(g(x)) = f (g(x))g (x) f(x)g (x) = [f(x)g(x)] f (x)g(x), f(g(x))g (x) = f(u)du