Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten är uppfylld om och endast om en av olikheterna är uppfylld. Omskrivningarna 2x > 0 eller 2x < 0 och 2x + 1 2x + 1 2x + 1 3x = = x = 2x x 9 = 5 x 8 5 = 10 x = 5x 8 visar att olikheterna kan skrivas x 10 < 0 respektive x 8 5 < 0 Den första olikheten är uppfylld om och endast om x 10 < 0 <, alltså 3 < x < 10. Den andra olikheten är uppfylld om och endast om < 0 < x 8 5, alltså 8 5 < x < 3. Svar: 8 5 < x < 3 eller 3 < x < Skissa följande kurvor: (a) y = 1 x (b) y = 1 x (c) y = 1 x (d) y = 1 x 3. 1

2 y = 1 x y = 1 x Lösning. (a) (b) (c) y = 1 x (d) y = 1 x 3 2

3 Uppgifter till lektion 2: 1. (a) Beräkna, om det existerar, gränsvärdet (b) Beräkna, om det existerar, gränsvärdet x 2 1 lim x 1 1 x 3 lim x 1 x x 3 Lösning. (a) Genom att förkorta bort en gemensam faktor för täljare och nämnare får vi f (x) = x2 1 (x 1)(x + 1) = 1 x3 (1 x)(1 + x + x 2 ) = x x + x 2, då x = 1. Som vanligt försöker vi genast skissa kurvan y = f (x) för att få ett stöd för beräkningsarbetet: y = f (x), y = 2 3 Av figuren framgår att lim f (x) = 2 x 1 3, vilket vi nu visar: (b) I detta fall har vi lim f (x) = lim x + 1 x 1 x x + x 2 = = 2 3. f (x) = x2 1 1 x 3 = x2 1 x 3 1 (x 1)(x + 1) (x 1) = x 1 (x 2 = + x + 1) x 1 x + 1 x 2 + x + 1 = ± x + 1 x 2 + x + 1 beroende på om x > 1 eller x < 1. Denna gång blir kurvskissen 3

4 y = f (x), y = ± 2 3 av vilken framgår att lim f (x) = 2 x f (x) ej existerar. Vi beräknar gränsvärdena: lim x 1 och lim f (x) = 2 x 1 3. Det betyder speciellt att x + 1 lim f (x) = lim x 1 + x 1 + x 2 + x + 1 = = 2 3. lim f (x) = lim x + 1 x 1 x 1 x 2 + x + 1 = = Beräkna, om det existerar, gränsvärdet lim x 4x 2 + 2x + 1 2x 1 Lösning. Genom att förlänga med en konjugatkvantitet får vi Av kurvskissen f (x) = 4x 2 + 2x + 1 (2x + 1) = (4x2 + 2x + 1) (4x 2 + 4x + 1) 4x2 + 2x x + 1 = 2x 4x2 + 2x x + 1 y = f (x), y = 1 2 framgår att gränsvärdet bör vara 1 2. Vi visar nu detta: 2x lim f (x) = lim x x 4x2 + 2x x + 1 = = = x x 2 2x 2x [ 2x x x 2 2x = 1 2 ] 4

5 Uppgifter till lektion 3: 1. Funktionen f definieras på följande sätt: { x 2 + 1, x > 1, f (x) = ax + b x 2, x < 1. (a) Skissa kurvan y = f (x) i fallet då a = 2, b = 0. (b) Hur skall f (1) definieras för att f (x) skall bli kontinuerlig från höger då x = 1? (c) Antag att f (1) är definierat enligt (b). För vilka värden på a och b blir f en kontinuerlig funktion? Lösning. (a) Kurvskissen, i fallet då a = 2, b = 0, blir: y = f (x) då a = 2, b = 0. Vi ser att i detta fall (a = 2, b = 0) gör kurvan ett språng vid x = 1. Eftersom f (x) ej är definierad för x = 1 så är f ändå kontinuerlig, för alla värden på a och b. När man gör kurvskisser underlättar det givetvis att ha tillgång till någon form av grafisk programvara. Du har förmodligen tillgång till MATLAB, som kan användas för detta ändamål. Samtidigt innebär tekniska hjälpmedel en fara för att man passiviseras och inte övar upp sin förmåga att handräkna och att göra enkla kurvskisser (för att inte tala om överslagsräkning och rimlighetskontroller). Fall inte i den fällan! (b) Att f (x) är kontinuerlig från höger i x = 1 är ekvivalent med att formeln f (x) = x är giltig för alla x 1. Vi måste alltså definiera f (1) = = 2 för att f (x) ska bli högerkontinuerlig för x = 1. (c) Här utgår vi ifrån att f (1) = 2, enligt (b). För x < 1 har vi f (x) = ax + b x 2 som ju är kontinuerlig (för alla x < 1). Enda kravet som återstår för att f ska bli kontinuerlig (överallt) är därför att 2 = f (1) = lim f (x) = lim ax + b x 1 x 1 x2 = a + b 1, alltså a + b = 3. Exempelvis får vi, då a = 1, b = 2, kurvskissen 5

6 y = f (x) då a = 1, b = Om fjärdegradspolynomet p(x) vet du följande: p( 6) = 216, p( 5) = 103, p( 2) = 16, p( 1) = 21, p(0) = 12, p(1) = 1 och p(2) = 72. (a) Hur många reella nollställen har p(x)? (b) Gör en skiss av kurvan y = p(x). (c) En frivillig uppgift: Polynomet kan skrivas p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 ( ) Med hjälp av funktionsvärdena p(0), p(±1) och p(±2) kan du bestämma koefficienterna a 0,..., a 4. Ange därefter, för varje nollställe, ett öppet intervall (b, b + 0.5) sådant att nollstället ligger i intervallet. Du kan nu även göra en bättre kurvskiss. Lösning. (a) Eftersom p( 6), p( 5), p( 2), p( 1) p(0), p(1) och p(1), p(2) har olika tecken så finns det, enligt satsen om mellanliggande värden, tal c 1,..., c 4 sådana att 6 < c 1 < 5, 2 < c 2 < 1, 0 < c 3 < 1, 1 < c 4 < 2 och p(c 1 ) = p(c 2 ) = p(c 3 ) = p(c 4 ) = 0. Polynomet har alltså minst fyra nollställen. Å andra sidan har ett fjärdegradspolynom högst fyra reella nollställen så det finns inga fler än dessa fyra. (b) Vi avstår från denna uppgift, eftersom vi ska göra en mer noggrann skiss nedan. (c) Genom insättning av x = 0, ±1, ±2 i ( ) får vi ekvationerna 12 = p(0) = a 0 1 = p(1) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 21 = p( 1) = a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4 72 = p(2) = a 0 + 2a 1 + 4a 2 + 8a a 4 16 = p( 2) = a 0 2a 1 + 4a 2 8a a 4 6

7 Detta ekvationssystem har lösningen a 0 = 12, a 1 = 22, a 2 = 4, a 3 = 11, a 4 = 2. Alltså gäller p(x) = x + 4x 2 11x 3 2x 4 En kontroll visar att p( 6) = 216 och p( 5) = 103. Vi skissar kurvan: y = x + 4x 2 11x 3 2x 4 Det framgår att 5.5 < c 1 < 5, 2 < c 2 < 1.5, 0.5 < c 3 < 1, 1 < c 4 < 1.5 7

8 Uppgifter till lektion 4: 1. Låt f (x) = x2 x = x2 (x 3 + 4) 1 (a) Bestäm definitionsmängden D f, derivera f (x) och bestäm alla x för vilka f (x) är positiv, negativ respektive noll. (b) Bestäm intervallen där f (x) är växande respektive avtagande och gör en ungefärlig skiss av kurvan y = f (x). (c) Bestäm alla punkter på kurvan där tangenten är horisontell. Lösning. (a) Funktionen är definierad för alla x sådana att x = 0, alltså alla x = Derivatan ges av f (x) = 2x(x 3 + 4) 1 x 2 (x 3 + 4) 2 (3x 2 ) = x(8 x 3 )(x 3 + 4) 2 = 0 då x = 0 eller x = 2. Vi får följande teckentabell (där xx betecknar att funktionen ej är definierad): x f (x) 0 xx f (x) 0 xx (b) Av tabellen ser vi att f (x) är strängt växande för 0 x 2 samt strängt avtagande för < x < , 4 3 < x 0 och 2 x <. En kurvskiss: y = x 2 (x 3 + 4) 1 (c) Av ovanstående ser vi att tangenten är horisontell i punkterna (0, 0) och (2, 1 3 ). 2. Funktionen f definieras på följande sätt: { x 2 + 1, x 1, f (x) = ax + b x 2, x < 1. 8

9 (a) Bestäm de värden på a och b för vilka funktionen blir deriverbar överallt. Skissa kurvan y = f (x) i ett sådant fall. (b) Undersök, i fallen då funktionen är deriverbar överallt, om funktionen har andraderivata för x = 1. Lösning. (a) För att f (x) ska kunna vara deriverbar då x = 1 måste f (x) vara kontinuerlig då x = 1, vilket är fallet omm 2 = f (1) = lim x 1 ax + b x2 = a + b 3 b = 3 a, vilket vi antar i fortsättningen. Vi har då { x 2 + 1, x 1, f (x) = ax + 3 a x 2, x < 1, vilket medför att f +(1) = 2 och f (1) = a 2 Funktionen är deriverbar för x = 1 omm f +(1) = f (1), alltså 2 = a 2, a = 4, b = 3 a = 1, vilket innebär att { x 2 + 1, x 1, f (x) = 4x 1 x 2, x < 1, En kurvskiss i detta fall är y = f (x) då a = 4, b = 1. (b) I det enda fallet, a = 4 och b = 1, då funktionen är deriverbar har vi { f 2x, x 1, (x) = 4 2x, x 1, För derivatan har vi kurvskissen y = f (x) då a = 4, b = 1. 9

10 Kurvan y = f (x) har ett hörn då x = 1. Andraderivatan ges av { f 2, x > 1, (x) = 2, x < 1, Då x = 1 finns ingen andraderivata. Närmare bestämt gäller att f +(1) = 2 och f (1) = 2. För fullständighetens skull skissar vi även y = f (x): y = f (x) då a = 4, b = 1. 10

11 Uppgifter till lektion 5: 1. Betrakta kurvan y = f (x) = 2x x 2 4. (a) Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan i punkten där x = a. (b) För vilka a gäller att tangentlinjen går genom origo? Rita en skiss! Lösning. (a) Vi har f (x) = 3 (x 1) 2 och f (x) = 2 2x. Enpunktsformeln för tangentens ekvation ger i detta fall y = f (a) + f (a)(x a) y = 2a a (2 2a)(x a) = a (1 a)x (b) Av ovanstående följer att tangentlinjen går genom origo om och endast om 0 = a 2 4, alltså a = ±2. Då a = 2 är tangeringspunkten (2, 4) och tangenten har ekvationen y = 2x. Då a = 2 är tangeringspunkten ( 2, 12) och tangenten har ekvationen y = 6x. En kurvskiss med tangenterna inlagda: y = 2x x 2 4, y = 6x och y = 2x. 2. Visa att för alla x > 1. 2x 3 2 > 3x 1 Lösning. Låt f (x) = 2x 3 2 3x + 1. Vi ska visa att f (x) > 0 då x > 1. Kurvskissen y = f (x), x 1. 11

12 stöder detta påstående, som nu ska visas med matematisk analys: Eftersom f (1) = 0 och f (x) = 3(x 1 2 1) > 0, då x > 1, får vi följande teckentabell: Av denna framgår att f (x) > 0 då x > 1. x 1 f (x) 0 + f (x) 0 12