Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
|
|
- Niklas Håkansson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd c) För vilket x-värde antar y sitt största värde? Lösning: a) Eftersom det bara finns två trianglar, så måste det ju vara dessa två som är likformiga. Två trianglar är likformiga, speciellt om motsvarande vinklar är lika stora. Vi skriver y x = 6 x 4.5 som ger oss funktionen y(x) = x(6 x) 4.5 = 6x x 4.5 b) Vilka värden kan x anta? Tittar vi på funktionen verkar alla x vara tillåtna, men från figuren får vi definitionsmängden 0 x 6. c) Den gamla vanliga visan. Bestäm y (x). Lös ekvationen y (x) = 0. Använd y (x) för att bestämma typen hos eventuella extrempunkter. Håkan Strömberg 1 KTH Syd
2 Bestäm y(0) och y(6) och jämför med eventuell maxpunkt. Planen är klar! y (x) = 0 ger Vi deriverar en gång till. y (x) = 6 x x = x = 0 x = 3 y (x) = 4.5 y (x) är alltid negativ, och vi har en maxpunkt för x = 3. Då y(0) = 0 och y(6) = 0 måste y(3) = vara funktionens största värde på intervallet. Svar: x = 3 (Bokens nr 317) En rektangulär parkeringsplats med arean 900 m ska inhägnas med ett staket. Vilka dimensioner ska man välja om man önskar minimera staketkostnaden? Lösning: En uppgift där det är enkelt att gissa svaret. Vi har alltså en rektangel där vi kallar den ena sidan a och den andra b. Vi vet nu att a b = 900. Vi kan nu lösa ut b ur detta samband och få b = 900. Omkretsen kan nu skrivas a O(a) = a a För första gången har vi i dessa sammanhang fått en funktion som inte är ett polynom. Men planen är densamma. O (a) = 1800 a Var du med på den deriveringen? Vi får ekvationen 1800 a = 0 a = 1800 a = 900 a 1 = 30 (a = 30) Nu ska vi avgöra vilken typ av extrempunkt detta är och deriverar därför en gång till. O (a) = a 3 Håkan Strömberg KTH Syd
3 O (30) = 6 > 0. Vi har hittat en minpunkt! Då a = 30 så blir b = = 30 Svar: Vi får en kvadrat med sidan 30 meter, men det hade vi ju redan gissat. 3 (Bokens nr 31) Skissa grafen till tredjegradspolynom y = f(x) som uppfyller kraven. 1. f(0) = 1 och f (0) = 1. f (1) = 0 och f (3) = 0 Lösning: 1. Punkten (0, 1) ligger på kurvan. En tangent till kurvan i den punkten har k = 1.. För x = 1 och x = 3 har kurvan extrempunkter. Vi ska inte bara skissa kurvan här. Vi ska bestämma funktionen även om det är overkill och ganska svårt. Vi vet att vi söker ett tredjegradspolynom. Alla dessa kan skrivas f(x) = ax 3 + bx + cx + d där a, b, c och d är konstanter. När vi bestämt dem är hela polynomet bestämt. Tidigare har vi sagt att om vi har två punkter kan vi bestämma linjens ekvation. Har vi tre, kan vi bestämma parabelns ekvation (andragradspolynomet). Då gissar vi att om vi har fyra punkter, så kan vi bestämma ett tredjegradspolynom. Har vi fyra punkter här? Nej, men vi har fyra observationer och det duger. Med hjälp av dem kan vi ställa upp ett ekvationssystem. Men först bestämmer vi f (x) Nu till ekvationssytemet Utskrivet blir detta f(x) = 3ax + bx + c f(0) = 1 f (0) = 1 f (1) = 0 f (3) = 0 d = 1 c = 1 3a + b + c = 0 7a + 6b + c = 0 Eftersom vi redan har d och c, sjunker systemet ihop till { 3a + b + 1 = 0 7a + 6b + 1 = 0 Eftersom det var ett tag sedan vi hade ett ekvationssystem uppe på tavlan löser vi detta i detalj och multiplicerar båda leden i den övre ekvationen med 9. Vi får nu Håkan Strömberg 3 KTH Syd
4 { 7a 18b 9 = 0 7a + 6b + 1 = 0 När vi sedan adderar vänsterleden och högerleden får vi 1b 8 = 0 b = 3 Återstår att finna a. Om vi stoppar in b = i vilken ekvation vi vill och 3 löser ekvationen får vi a = 1. Vi kan nu skriva ned funktionen f(x). 9 f(x) = x3 9 x 3 + x + 1 Vi avslutar med att plotta funktionen och se att det stämmer med facit: Figur : Vår kurva är mer riktig än den i facit, men nu var det ju bara en skiss det gällde här. Så här skriver man när man vill lösa problemet med hjälp av Mathematica. f[x_]:=a*x^3+b*x^+c*x+d Solve[{f[0]==1,f [0]==1,f [1]==0,f [3]==0}] och så här testar man att det fungerar f[x_]:=x^3/9-x^/3+x+1 f[0] f [0] f [1] f [3] Man skulle kunna tro att kurvan tangerar x-axeln men så är det inte. När man med datorn löser ekvationen, får man bara en reell rot. Plottar man funktionen just runt x = 3 får man följande kurva (figur 3 Det är alltså skalan i den första figuren som missleder oss. 4 (Bokens nr 3) Undersök om det finns en tangent med lutningen 4 till kurvan y = f(x) = 6x 3 + 5x 3. Lösning: Det luktar KS3! Om det finns en tangent till funktionen med k = 4, så finns det ett x 1 för vilket f (x 1 ) = 4. Normalt är vi ute efter tangenter till Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 Figur 3: kurvan där k = 0 vi letar extrempunkter. Man kan förstås leta efter tangenter med vilket k-värde som helst. Derivatan blir f (x) = 18x + 5 Vi löser sedan ekvationen f (x) = 4 och får 18x + 5 = 4 x = 1 18 x = ± 1 18 Ekvationen saknar reella rötter och därför finns ingen tangent med lutningen 4. 5 (Bokens nr 34) En tangent till kurvan y = f(x) i punkten x = 3 går genom punkterna (, 3) och (4, 1). a) Bestäm f (3) och f(3) b) Ge ett rimligt värde på f(3.05) Lösning: a) Vi har två punkter och kan ta reda på tangentens ekvation. Då får vi ju samtidigt k-värdet för en tangent till x = 3. Detta är samma sak som f (3). k = 3 ( 1) 4 = 4 6 = 3 Återstår m-värdet behöver vi det? Ja, vi ska ju bestämma f(3) och vet inget om f(x), så det blir tangentens ekvation, som får hjälpa oss. Vi har nu 3 = 3 ( ) + m m = 5 3 y = x Då x = 3 blir y = 1, vilket är liktydigt med att f(3) = och kurvan tangerar varandra i denna punkt. eftersom linjen Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 a) Eftersom det efterfrågade funktionsvärdet f(3.05) ligger så nära det kända funktionsvärdet f(3) är det (oftast) bara lite fel att betrakta funktionen som en rät linje och då passar tangentens ekvation perfekt för detta ändamål y = så därför säger vi att f(3.05) = även om det inte är helt sant. 6 (Bokens nr 36) Figur 4: Kurvan y = f(x) = x(3 x), 0 x 3, innesluter tillsammans med x-axeln ett område, se figur 4. Bestäm det största värde som triangelarean T kan anta. Lösning: Basen är bestämd till b = x. Det vill säga avståndet från origo till den punkt på x-axeln som vi bestämmer. Låt säga att vi väljer x =. Där blir basen b = och höjden h = (3 ) =. Höjden är ju fastställd av funktionen h(x) = x(3 x) så fort x är bestämd. Genom A = bh = = Nu kan vi teckna en funktion av arean som beror av x A(x) = x x(3 x) = 3x x 3 Nästan alla uppgifter vi har löst i denna kategori slutar med en andragradsfunktion. Men denna uppgift bryter mot mönstret. Vi söker triangelns största area, som vi får genom att sätta A (x) = 0. Ekvationen A (x) = 6x 3x 6x 3x = 0 3x( x) = 0 x 1 = 0 x = Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 Vi derivera en gång till och bestämmer A (x) s värde för rötterna. A (x) = 6 6x A (0) = 3 > 0 minpunkt. A () = 3 < 0 maxpunkt. Inte så oväntat. Eftersom definitionsmängden är 0 x 3 och både A(0) = 0 och A(3) = 0, så är den globala maxpunkten A() =. 7 (Bokens nr 337) Figur 5: a) Bestäm en ekvation för linjen genom punkterna A(0, 3) och B(6, 0) i figur 5. b) Bestäm det största värde som rektangelarean R kan anta när P rör sig mellan A och B. Lösning: a) Vi är på jakt efter k och m till y = kx + m. k = = 1 Vi har nu y = 1 x + m och får m genom 3 = m m = 3 vilket vi hade kunna se direkt från punkten A. Ekvationen blir alltså y = x + 3 b) Rektangelns area bestäms som bekant genom A = b h. För att kunna teckna en funktion väljer vi en bas b = x i intervallet 0 x 6 (definitionsmängd). För detta x (som alltså är basen) kan vi bestämma h = y som vi får genom y = x + 3. Arean kan nu tecknas som funktion av x. A(x) = x(3 x x ) = 3x Det är den här funktionen vi ska bestämma en maxpunkt för. Vi deriverar A (x) = 3 x Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 A (x) = 0 då x = 3. Även om vi är helt säkra på att detta är en maxpunkt måste vi enligt reglementet visa detta. För omväxling skull gör vi det med ett teckenschema. x x < 3 x = 3 x > 3 f (x) + 0 f(x) ր max ց Så fort det handlar om ett intervall, som här, måste vi dessutom ta reda på funktionsvärdena i intervallets ytterkanter. A(0) = 0 och A(3) = 0. 1 Kaninen Tösen från Danmark satte 1997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en modell gäller att Tösens höjd under hoppet ges av h(x) = 4x 4x där h är höjden i meter över golvet och där x är avståndet i meter längs golvet från avstampet. Beräkna med hjälp av derivata Tösens maximala hopphöjd. Bestäm funktionens f(x) = x3 3 + x 1x största och minsta värde i intervallet x. 3 Bestäm extrempunkterna till f(x) = x4 4 x3 3 + x 4 Lite svårare. Lösningen får du under nästa föreläsning. En varg har blivit skjuten av en tjuvskytt. Du, som är känd under smeknamnet Skärlock Holm, är ombedd att utreda fallet. De tre misstänkta till dådet, Darth Vadar, Jokern och Al Capone har alla alibi för dagen utom under följande tider. Darth har inget alibi för tiden kl 8 11 den aktuella dagen. Jokern har inget alibi för tiden kl den aktuella dagen. Al har inget alibi för tiden kl 15 1 den aktuella dagen. De misstänkta kan endast ha begått brottet under den tidsperiod de inte har alibi. Ditt uppdrag, som du väljer att acceptera, är att fastställa tidpunkten för dådet och besvara frågan vem av de misstänkta som kan ha begått brottet. För att bestämma tidpunkten för vargens död mäter du dess kroppstemperatur vid två tillfällen. Den första mätningen gör du kl 1.00 den dag vargen blev skjuten och vargens temperatur är då 8.0 C. Tre timmar senare mäter du vargens temperatur till 5.6 C. Du antar att kroppstemperaturen efter vargens död avtar exponentiellt med tiden och att en levande vargs kroppstemperatur är 36.9 C. Vem av de misstänkta kan ha begått brottet? På grund av situationens allvar är det naturligtvis viktigt att du visar dina beräkningar och motiverar ditt svar. Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 5 Lite svårare. Lösningen får du under nästa föreläsning. Kurvan f(x) = ax + bx + c tangerar linjen y = x i origo. Kurvan tangerar också linjen y = x 3. Bestäm konstanterna a, b och c. 6 Lite svårare. (Lösningen får du under nästa föreläsning) Figur 6 visar det linjära sambandet mellan priset per enhet, p kr och såld kvantitet av en vara, x enheter. Figur 6: Den totala kostnaden T(x) kr, för att tillverka och försälja x enheter ges av uttrycket T(x) = 10x Vinsten vid tillverkning och försäljning av x är V(x) kr a) Bestäm uttrycket V(x). Svara på enklaste form. b) Det finns ett värde på x för vilket vinsten blir maximal. Bestäm detta x-värde med hjälp av derivata. 1 Vi deriverar h (x) = 4 8x h (x) = 0 då x = 1. Vi tar fram andraderivatan h (x) = 8 Då h ( 1 ) = 8 < 0 har vi funnit en maxpunkt. Vi bestämmer funktionsvärdet för x = 1 Svar: 1 meter h( 1 ) = ( ) 1 = 1 Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 Vi startar direkt med att bestämma f (x) och därefter lösa ekvationen f (x) = 0 f (x) = x + x 1 f (x) = 0 leder till x + x 1 = 0 1 x = 1 ± x = 1 ± 7 x 1 = 4 x = 3 Observera att ingen av dessa x ligger i intervallet. Detta betyder att vi får svaret genom att bestämma f( ) = 70 och f() = Kurvan måste ju vara 3 avtagande eller växande i hela intervallet (avtagande i detta fall). Svar: Största värde är 70 och minsta värde är Figur 7: 3 Vi deriverar och får och löser nu f (x) = 0 f (x) = x 3 x + x x 3 x + x = 0 x(x x + 1) = 0 x(x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 x 3 = 1 Vi har funnit för vilka x det finns extrempunkter och ska nu med hjälp av f (x) avgöra vilken typ de tillhör f (x) = 3x 4x + 1 Vi får och f (0) = 1 > 0 alltså en minpunkt f (1) = 0 Håkan Strömberg 10 KTH Syd
11 Aj då! det är första gången vi träffat på detta. Om f (x) = 0 kan man inte avgöra vilken typ av extrempunkt vi har. Tyvärr är vi tvungna att gå över till teckensschema x x < 1 x = 0 0 < x < 1 x = 1 x > 1 f (x) f(x) ց terrass ց min ր Svar: Vi har funnit två extrempunkter. En minpunkt för x = 0 och en terrasspunkt för x = 1. Räkna bokens uppgifter: 315, 318, 319, 30, TB: Normalt räknar man ut arean hos en triangel med formeln A T = b h/, men här finns vare sig höjd eller bas given till den skuggade triangeln. Hur gör man då? KTH: Tänk en liten stund så kommer du säkert på det. TB: Arean för hela rektangeln kan man räkna ut A R = 16 1 = 19. Sedan finns det tre rätvinkliga trianglar där höjd och bas alla är givna, eller åtminstone uttryckta med hjälp av x. Jag tror att jag får rita en ny figur. Figur 8: Nu kan jag skriva arean A(x) för den grå triangeln: ( 16(1 x) A(x) = x A(x) = 19 (96 8x + 1x + 8x x ) A(x) = 96 1x + x + ) x(16 x) Håkan Strömberg 11 KTH Syd
12 Vad ska jag nu med denna funktion till? Jo jag vill veta för vilket x som A(x) blir så liten som möjligt. Derivera mera... A(x) = 96 1x + x A (x) = x 1 A (x) = 0 då x = 6 A(6) = 60 är den minsta arean. En ny figur visar när detta inträffar. Figur 9: KTH: För vilket x har triangeln så stor area som möjligt? TB: Nu kommer du med egna frågor igen. Vad vill du jag ska svara? Det handlar om ett polynom av andra graden med positiv koefficient till x. Det finns bara en extrempunkt och det är ett minimum. Alltså finns det ingen största triangel. KTH: Du behöver väl inte brusa upp! Mellan vilka värden kan x ligga? TB: 0 x 6 eller hur. KTH: Ja, då plottar vi funktionen så kommer du att få en aha-upplevelse Figur 10: 318 Minimum får vi mycket riktigt för x = 6 och maximum i en av intervallens ändpunkter, för x = 0, då triangeln utgör halva rektangeln A(0) = 96 TB: Problemen har blivit lite svårare plötsligt. Här handlar det om en kartong. Jag måste rita den med mina egna beteckningar insatta. Är du med på mina beteckningar? Jag har bestämt att de kvadrater, som ska skäras ut och som alla är lika stora har sidan x. Nu kan jag sätta upp en funktion V(x), volymen som funktion av x Håkan Strömberg 1 KTH Syd
13 Figur 11: 160 3x V(x) = x(100 x) Det är den här funktionen jag ska derivera och finna eventuella extrempunkter för. Jag ser att det rör sig om ett polynom av tredje graden. Men innan jag kan derivera måste jag förenkla funktionen multiplicera samman parenteserna. Jag tar inte med alla stegen här: V(x) = 8000x 310x + 3x 3 V (x) = x + 9x x 1 = , x = Två rötter men x fungerar inte, så stora kvadrater kan man inte skära ut. Maximal volym blir då V[ ] = Taskiga siffror den här gången. Nej, det stämmer inte med facit! KTH: Jaså. Nu förstår jag inte... Nu ser jag. Jämför din figur med den i boken. TB: Åh, nej jag orkar inte. KTH: Bit ihop och kom igen. Vad jag kan se har du funnit korrekt lösning till fel problem. TB: Hur skulle du ha bedömt detta på en tentamen? KTH: Fullt rätt kan du aldrig få även om du beräkningarna blivit svårare. En tröstpoäng möjligen får du nöja dig med. TB: OK, här är min nya figur. Vad tycker du om den? Funktionen blir nu istället: V(x) = x(80 x)(100 x) V(x) = 8000x 60x + x 3 V (x) = x + 6x x 1 = 0, x = 00/3 x är på tok för stort, ligger utanför intervallet 0 < x < 50. Så svaret är alltså x = 0 och V(0) = Du, en sak som jag kom att tänka på. Då vi maximerade areor, så handlade det alltid om andragradare och nu när det är volymer så är det tredjegradare som gäller. Så är det väl? Håkan Strömberg 13 KTH Syd
14 Figur 1: KTH: Ja, det är en korrekt upptäckt. 319 TB: Det här är faktiskt en ganska rolig uppgift. Ja, jag tycker det. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi bestämma den tredje och just nu obekanta sidan y, i triangeln behövs det? y + 40 = 58 y = y = 4 y = 4, det blev ett heltal, vilken tur vi hade. Figur 13: Nu blir det lite geometri här. Topptriangeln är likformig med hela triangeln och vi kan sätta upp följande samband som bygger på likformighet: x 4 = 40 z 40 Löser jag ut x ur denna funktion får jag x = 1(40 z) 0 Håkan Strömberg 14 KTH Syd
15 Nu kan jag teckna rektangelns area A(z) = 1(40 z)z 0 A(z) = 4z 1z 0 A (z) = 4 1z 10 A (z) = 0 då 4 1z 10 = 0 z = 0 30 Jag har en andragradspolynom med ett maximum. Jag vet att 0 z 40. Alltså ger z = 0 maximalt värde. Jag får x = 1 och att den maximala tomten är 40 m. TB: En uppgift utan tillhörande historia. Jag börjar med att derivera: 33 f(x) = x 3 + x + 3x + 4 f (x) = 3x + 4x + 3 f (a) = då 3a + 4a + 3 = a 1 = 1 3, a = 1 Det finns två värden på a sådana att f (a) =. TB: Funktionen har en positiv derivata fram till x = a då ett maximum inträffar. Sedan har kurvan en negativ lutning fram till x = b då den åter blir 0. Vi har nått fram till ett minimum. Nu är lutningen positiv tills den åter blir 0 i x = c. Eftersom lutningen fortsätter att vara positiv så finns det en terrasspunkt i x = c. Håkan Strömberg 15 KTH Syd
Gamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs merTentamen Metoder för ekonomisk analys
Tentamen Metoder för ekonomisk analys 014-08-7 Instruktioner: Denna tentamen består av två delar. Del 1 skall lösas utan miniräknare. När uppgifterna på del löses får miniräknare användas. Miniräknaren
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag.6.8 4.3 6.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merHF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTAMEN HF0021 Matematik för basår I TEN2 Tekniskt basår Marina Arakelyan, Jonass Stenholm
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merDel I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merRepetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merKarolina Klü ft (4/2/0)
Karolina Klü ft (4/2/0) Klüft tävlade i sjukamp och var en av Sveriges främsta medaljkandidater i VM i friidrott 2005. I sjukamp tävlar deltagarna i olika grenar. För att kunna summera resultaten från
Läs merKONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:
KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merDel I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?
Axel Weüdelskolan/Komvux Matematik/Sibe 1. Förenkla x 1 1 1 1 1 x 2. Förenkla 5 3. Beräkna värdet av a 2 b om a = -3 och b = 2 4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? 5. Vilket
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merNpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merAllt du behöver veta om exponentialfunktioner
Allt du behöver veta om exponentialfunktioner Problem 1. Funktionerna a) a(x) = e x b) b(x) = e x c) c(x) = 4 x e x ln4 d) d(x) = 3 10 x 3 e x ln10 e) e(x) = ex 3 avbildas i figuren. Vilken är vilken?
Läs mer7. Max 0/1/1. Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar
7. Max 0/1/1 Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar +1 C PL +1 A PL 8. Max 0/1/1 a) Korrekt svar (Alternativ E: 5 y 3 ) +1 C B b) Godtagbart svar (0) +1 A B 9. Max
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merAvd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.
STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS..07 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Läs mer