4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
|
|
- Ingrid Andreasson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS Lösningar till tentan Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas som 5 x, vilket ger oss den ekvivalenta ekvationen + 4x 1 x 4x 1 (x 1). Kvadrering ger 4x 1 4(x x + 1) 4x 8x + 4, 4x 1x + 5 0, x 3x Den sista ekvationen har rötterna x 3 ± 9 5, alltså x 3±, x 5 eller x 1. Sätter vi in x 5 i ( ) får vi , vilket stämmer. Sätter vi däremot in x 1 i ( ) får vi , vilket inte stämmer alls, så x 1 är en falsk rot. Svar. x 5.. Bestäm centrum och radie för cirkeln med ekvationen Lösning. Ekvationen kan skrivas 16(x + y ) + 8x 4y x + y x 4 16 y 1 16 x + 1 x + y 1 4 y Genom kvadratkomplettering får vi Cirkeln har alltså ekvationen (x + 1 x + y 1 4 y) ( x + 1 x + 16) 1 ( + y 1 4 y + 1 ) ( x + 1 4) + ( y 1 8 ) 64 ( ) x + 1 ( 4 + y 1 ( 8) 3 ) 8 Det är alltså fråga om cirkeln med centrum i punkten ( 1 4, 1 8 ) och radien
2 3. Lös olikheten 3 + x > 7. Lösning. Den givna olikheten är ekvivalent med (3 + x < 7) (7 < 3 + x) (x < 10) (4 < x) (x < 5) ( < x). Svar. Olikheten har lösningen (x < 5) ( < x). 4. Lös ekvationen log 8 (x + 3x 1) log (x 1) Lösning. Vi observerar först att log (x 1) är definierat omm x > 1. Den viktiga formeln log b (y) log a (y) log a (b) ger log 8 (y) log (y) log (8) log (y) 3 alltså log (y) 3 log 8 (y) log 8 (y 3 ), y > 0. Det följer att då x > 1 kan ekvationen skrivas log 8 (x + 3x 1) log (x 1) 3 log 8 (x 1) log 8 (x 1) 3 log 8 (x 3 3x + 3x 1) x + 3x 1 x 3 3x + 3x 1 0 x 3 4x x (x 4), som har rötterna x 0 (ogiltig) och x 4. Svar. x Bestäm resten då x 3 x 3x + 1 delas med x + 1 och lös ekvationen p(x) x 3 x 3x 1 0. ( ) Lösning. Det här problemet handlar om faktorsatsen, som säger att polynomet p(x) är delbart med x a om och endast om p(a) 0. Som problemet är formulerat gissar vi därför genast att polynomet p(x) x 3 x 3x 1 bör ha nollstället 1 så att det är delbart med x + 1. Vi har p( 1) så vi gissade rätt! Genom att pröva oss fram får vi p(x) (x + 1)(x x 1) Av detta följer att ekvationen ( ) har rötterna x 1 och x 1 ±. För polynomet q(x) x 3 x 3x + 1 gäller att q(x) p(x) + (x + 1)(x x 1) + Det betyder att då q(x) delas med x + 1 får vi kvoten x x 1 och resten. 6. Hur många olika ord kan bildas genom att man flyttar om bokstäverna i TTTAENR under kravet att A måste stå till vänster om E? Exempelvis är ATTNERT tillåtet, medan TRETTNA är otillåtet.
3 Lösning. Man kan se det som så att orden bildas genom att man på alla tillåtna sätt placerar ut de sju givna bokstäverna i de sju rutorna Vi väljer att placera ut bokstäverna i ordningen AENRTTT ( ) (alla andra val ger samma 7 resultat): De två platserna för A och E kan väljas på 1 sätt. Oavsett hur vi placerade A och E finns det fem tomma rutor där N kan placeras, så N kan läggas ut på 5 sätt. Därefter kan R placeras på 4 sätt, varefter det bara återstår tre tomma rutor för TTT, så utplaceringen av dessa kan bara göras på 1 sätt. Av multiplikationsprincipen följer att antalet olika ord som kan bildas är (1)(5)(4)(1) Lös ekvationen cos x sin x. Lösning. Ekvationen kan skrivas cos x sin x. Trigonometriska formler ger 1 + cos x cos x sin x cos x, 0 cos x + cos x 1 (1 + cos x)( 1 + cos x) ( 1 cos x) ( 1 Lösningarna ges alltså av cos x), (n + 1)π x (n ± 1 3 )π x, alltså x (n + 1 )π x (n ± 1 6 )π. Svar. x (n + 1 )π eller x (n ± 1 6 )π, där n är ett godtyckligt heltal. 8. Skriv talet z (1 + 7i)(3 i) 4 + 3i på formen a + bi och bestäm z. Lösning. Förenkling och konjugatförlängning ger Detta ger oss z (3 + 7) + (1 1)i 4 + 3i 10((4 + 6) + (8 3)i) i 4 + 3i 10(1 + i)(4 3i) (4 + 3i)(4 3i) 50( + i) 5 10(10 + 5i) 5 z i 9. Låt z 1 + i 1 + i 3. Skriv z, z och 1 z på polär form. 3
4 Lösning. Vi har 1 + i e i 3π 4 (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ), 1 + i 3 e i π 3 (cos π 3 + i sin π 3 ), vilket ger z e i 3π 4 e i π 3 1 e i( 3π 4 π 3 ) 1 e i 5π 1 z ( ) e i 10π 1 1 ei 5π 1 6, z 5π i e 1 Vi påminner om att för exponentialen gäller e iθ e iϕ e i(θ+ϕ), e iθ cos θ + i sin θ 1 e iθ e iθ, ( e iθ) n e inθ, där n är ett godtyckligt heltal. Varje komplext tal z x + yi har en polär framställning z x + yi r cos θ + ir sin θ r e iθ, där r z och θ är vinkeln som z, sett som en från origo emanerande vektor, bildar tillsammans med positiva reella axeln. z x + iy θ r z z x + iy r e iθ. 10. Förklara hur kurvan y 1 + x x kan fås från parabeln y x genom förskjutningar. Lösning. Med kvadratkomplettering får vi y (x x ) 5 4 (x 1 ) Förskjuter vi parabeln y x en halv enhet åt höger får vi kurvan y (x 1 ). Om denna kurva sedan förskjuts fem fjärdedels enheter uppåt får vi kurvan y 5 4 (x 1 ) 1 + x x. 4
5 11. Skissa kurvan med ekvationen 9x + 4y + 6x 0y 10. Förklara din skiss. Lösning. Ekvationen kan med kvadratkomplettering skrivas vilket ger (9x + 4y + 6x 0y) (9x + 6x + 1) + (4y 0y + 5) (3x + 1) + (y 5) 9(x ) + 4(y 5 ) 1 (x ) 4 + (y 5 ) 9 (x ) + (y 5 ) 3 Ekvationen beskriver alltså ellipsen med centrum i punkten ( 1 3, 5 ) och halvaxlarna respektive 3: 1. Låt mängden M bestå av punkterna i det komplexa talplanet som uppfyller z < z + i Skissa M. Förklara din skiss. Lösning. Låt z x + iy. Vi har då z + i x + (y + )i, z x + y och z + i x + (y + ) 5
6 Mängden M består alltså av alla z x + iy sådana att x + y z < z + i x + y + 4y < 4y + 4 y > 1. M består alltså av alla punkter z x + iy för vilka y > 1. Alternativt ser vi att M består av alla punkter z x + iy som har mindre avstånd till 0 än till i. Eftersom punkterna på den horisontella räta linjen z x i, x R har samma avstånd till 0 som till i följer att M består av alla punkter ovanför denna räta linje. Del B 13. Bestäm radien och medelpunkten för cirkeln som går genom de tre punkterna (5, 6), (9, 4) och ( 3, 0). Lösning. Antag att cirkeln har medelpunkten (a, b) och radien R. För varje punkt (x, y) på cirkeln gäller då att R (x a) + (y b) (a x) + (b y) Sätter vi här in (x, y) (5, 6), (x, y) (9, 4) och (x, y) ( 3, 0) så får vi R (a 5) + (b 6) a + b 10a 1b a + b 10a 1b + 61 R (a 9) + (b 4) a + b 18a 8b a + b 18a 8b + 97 R (a + 3) + (b 0) a + b + 6a + 9 Genom att subtrahera den första- respektive andra ekvationen från den tredje får vi som förenklas till vilket ger 0 16a + 1b 5 0 4a + 8b a + 3b 11 3a + b, b 11 3a, 13 4a a 33 5a, 5a 0, a 4, b Ekvationssystemet har alltså lösningen (a, b) (4, 1). För radien får vi sedan alltså R 5. R (a + 3) + (b 0) , 6
7 Alternativt inser vi att mittpunktsnormalen till sträckan mellan två punkter på cirkeln alltid går genom cirkelns medelpunkt. Mittpunkten på sträckan mellan ( 3, 0) och (5, 6) är (1, 3). Eftersom linjen mellan ( 3, 0) och (5, 6) har lutningen 3 4 så har mittpunktsnormalen lutningen 4 3 och därför ekvationen y (x 1) 1 3 (13 4x) Mittpunkten på sträckan mellan (5, 6) och (9, 4) är (7, 5). Eftersom linjen mellan (5, 6) och (9, 4) har lutningen 1 så har mittpunktsnormalen lutningen och därför ekvationen y 5 + (x 7) x 9 Skärningspunkten mellan dessa båda mittpunktsnormaler ges av 13 4x 3y 6x 7, 10x 40, x 4, y ()(4) 9 1, alltså (a, b) (4, 1), vilket sedan ger R (4 + 3) + ( 1 0) Lös andragradsekvationen (3 i)z + (4 + i)z 0. Lösning. Efter division med 3 i får vi 0 z i z 0 3 i 3 i z (4 + i)(3 + i) 0(3 + i) + z (3 i)(3 + i) (3 i)(3 + i) z i i + z z + (1 + i) z 6 i ( z i ) 6 5 i ( z i ) 6 i 0 + i 4 Sätter vi nu a + bi z + (1 + i)/ så kan ekvationen skrivas (a b ) + (ab)i i. Identifikation av real- och imaginärdelar ger oss ekvationssystemet { a b 6 ab 5 7
8 Den andra ekvationen ger b 5 4a, vilket sätts in i den första ekvationen: a 5 16a 6, a4 6 a 5 16, a Detta ger oss a + ib ±( i) och Svar. z 1, z 3 i. z 1 + i ± 5 + i eller 3 i 15. En talföljd definieras rekursivt genom a 0 0 och för n 1,, 3,.... Visa med induktion att a n a n 1 + 3n(n + 1) a n n(n + 1)(n + ) ( ) för alla n. Lösning. Eftersom (0)(0 + 1)(0 + ) 0 stämmer ( ) för n 0 (basfallet). Antag nu att ( ) är sann för n < p (induktionsantagande). Nu återstår det för oss att, med hjälp av induktionsantagandet och rekursionsformeln bevisa att ( ) stämmer även för n p (induktionssteget): a p (rekursionsformeln) a p 1 + 3p(p + 1) (( ), då n p 1) (p 1)p(p + 1) + 3p(p + 1) p(p + 1)(p 1 + 3) p(p + 1)(p + ) Enligt induktionsaxiomet har vi nu visat att ( ) gäller för alla n. 16. Hur många positiva fyrsiffriga tal finns det om vi kräver att siffrorna ska ha avtagande storlek? Om talet är abcd ska alltså gälla att 9 a b c d 0 och a > 0. Exempelvis är talen 9998 och 1000 tillåtna, medan 9979 och 0000 är förbjudna. Lösning. Beteckna en siffra med symbolen #. Bildandet av ett tal abcd kan ses som att vi har tio lådor, numrerade från nio ner till noll, som vi ställer från vänster till höger, där vi, på alla möjliga sätt, slänger ner fyra #. Om vi, till exempel, får # # # # så svarar det mot bildandet av talet Ett annat exempel är att talet 900 svarar mot # # # #
9 Vi drar alltså slutsatsen att antalet fyrsiffriga tal, inkluderande 0000, med avtagande sifferstorlek är lika med antalet sätt att placera fyra identiska föremål i tio olika lådor. Om vi betecknar gränsen mellan två lådor med en etta så betyder det att det sökta antalet fyrsiffriga tal är lika med antalet sekvenser bestående av nio ettor och fyra #. Exempelvis svarar sekvensen 11#11##11#111 mot talet 7553, medan # #11## svarar mot 900. Antalet sekvenser (se övningstentan, problem 14) bestående av nio ettor och fyra # är ( ) 13 (13)(1)(11)(10) (13)(1)(11)(5) (4)(3)()(1) Här är dock sekvensen svarande mot 0000 inkluderad, så det sökta antalet är 714. Alternativt kan vi resonera så här: Antalet fyrsiffriga tal abcd, där a > b > c > d, är lika med antalet sätt att välja fyra siffror bland tio, alltså ( ) 10 (10)(9)(8)(7) (10)(3)(1)(7) (4)(3)()(1) Antalet fyrsiffriga tal abcd, där a b > c > d, är lika med antalet sätt att välja tre siffror bland tio, alltså ( ) 10 (10)(9)(8) (10)(3)(4) (3)()(1) På samma sätt är antalet tal abcd, där a > b c > d eller a > b > c d, lika med Antalet tal med två lika siffror är därför 360. Antalet tal abcd, där a b > c d, är ( ) Antalet tal abcd, där a b c > d eller a > b c d (tre lika siffror), är ( ) ( ) Slutligen gäller att antalet tal abcd, där a b c d > 0, är 9. Antalet tal abcd, där 9 a b c d 0 och a > 0, är därför
Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs mer1. (a) Formulera vad som skall bevisas i basfallet och i induktionssteget i ett induktionsbevis av påståendet att. 4 5 n för alla n = 0, 1, 2, 3,...
UPPSALA UNIVERSITET PROV I MATEMATIK Matematiska institutionen Baskurs i matematik Vera Koponen 2008-02-2 Skrivtid: 8-. Tillåtna hjälpmedel: Inga, annat än pennor, radergum och papper det sista tillhandahålles).
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merA-del. (Endast svar krävs)
Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merLösningar till Algebra och kombinatorik
Lösningar till Algebra och kombinatorik 091214 1. Av a 0 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 1 = 1 + a 0 1 a 0 = 1 + 1 1 1 = 2, a 2 = 1 + a 1 1 a 0 + 1 a 1 = 1 + 2 1 + 1 = 4, 2 a 3 = 1 +
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merLösningar till Algebra och kombinatorik
Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merDugga 2 i Matematisk grundkurs
Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merTentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast
Läs merKompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merden reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM79 016-09-6 1 a) Vi isolerar x + och kvadrerar ekvationen observera att det då bara blir en implikation!): + x + = x x + = x ) x + = x ) = x 1x + 1 x 1 x + 10 = 0 x = 1 6 ± 7 6 Eftersom
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merÖvningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor
LMA100 VT2006 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor Övning A 1. Kan ni fortsätta följden 1,3,5,7,9,11,...? 2. Vilket är det 7:e talet i följden? Vilket är det 184:e?
Läs merFöreläsning 9: Komplexa tal, del 2
ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag
Hans Thunberg KTH Matematik SF66 Perspektiv på matematik Tentamen 0 oktober 0 kl 08.00.00 Svar och lösningsförslag () Bestäm ekvationen för den cirkel som passerar genom punkten (, 4) och har sin medelpunkt
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs mer2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat
2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs mer= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)
Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs mer2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs merKomplexa tal. z 2 = a
Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 55, 1972 Första häftet 2863. Lös ekvationssystemet { 2sin x cos x = 1 (Svar: π + 2nπ, n Z) 2864. Visa att (1,000001) 1000000 > 2. sin x 2cos x = 2 2865. Visa att ekvationen x 4 x 2 + 2x + 3 = 0
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall
Läs merx) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merComplex numbers. William Sandqvist
Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den
Läs merSKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merAvd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.
STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merVektorgeometri och funktionslära
Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras),
Läs merInociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson
Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merinte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
Läs merFinaltävling i Uppsala den 24 november 2018
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Uppsala den 4 november 018 1. Låt ABCD vara en fyrhörning utan parallella sidor, som är inskriven i en cirkel. Låt P och Q vara skärningspunkterna
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs mer2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 05-0-5
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Läs merManipulationer av algebraiska uttryck
Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merMatematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering
Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs mer