När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

Transkript

1 GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( ) eventuella asymptoter, stationära punkter och deras typ Vi kan + dessutom bestämma eventuella infleionspunkter Genom att lösa olikheten f ( ) > 0 kan vi undersöka för vilka ligger grafen ovanför -aeln I några fall kan det vara nyttigt att bestämma om funktionen är jämn, udda eller "varken udda eller jämn" När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maimum ( största värde) eller globalt minimum ( minsta värde) Infleionspunkter: Infleionspunkt är en punkt där funktionen välar mellan att vara konve och konkav Anta att f () har kontinuerlig andraderivata Nödvändig och tillräckligt villkor för att 0 ska vara en infleionspunkt är att f ( 0 ) 0 och att andraderivatan välar tecken i 0 POLYNOM n Polynom dvs funktion f ( ) an + a + a + a0 har ingen asymptot Polynom är definierat, kontinuerligt och deriverbar för alla För att skissera polynomets graf undersöker vi eventuella skärningspunkter med och y-aeln, stationära (kritiska) punkter f ( ) 0) (och deras karakter) och eventuella infleionspunkter Uppgift Låt f ( ) a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med alarna b) Beräkna f ( ) och f ( ) + c) Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter d) Bestäm eventuella infleionspunkter e) Rita grafen till funktionen ( Tips Polynom har ingen asymptot) f) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maimum/minimum) om de finns? Lösning a) Funktionens definitionsmängd: Funktionen är definierad för alla Sida av 0

2 Skärningspunkter med alarna y-aeln : vi beräknar f (0) och får f ( 0) 0 Grafen skär y-aeln i punkten (0, 0) -aeln: f ( ) 0 0 ( ) 0 Tre skärnings punkter, 0 och b) Vi undersöker funktionen då + och ff() + ff() + ( ) + ( ) c) Stationära punkter (kritiska punkter): f ( ) 0 Vi har ff () ff () 6 Två stationära punkter: och ff () 0 0, ±, maimipunkt eftersom f ( ) 6 < 0 Maimivärdet är f ( ) Motsvarande punkt på grafen är S (,) är en minimipunkt eftersom f ( ) 6 > 0 Minimivärdet är f ( ) Motsvarande punkt på grafen är S (, ) d) Infleionspunkter: Infleionspunkt är en punkt där funktionen välar mellan att vara konve och konkav Anta att f () har kontinuerlig andraderivata Nödvändig och tillräckligt villkor för att 0 ska vara en infleionspunkt är att f ( 0 ) 0 och att andraderivatan välar tecken i 0 Vi löser ekvationen f ( ) 0 dvs Notera att f ( ) 6 ändrar tecken i punkten 0 Alltså är 0 en infleionspunkt Motsvarande punkt på kurvan är P(0,0) e) Funktionens graf Sida av 0

3 f) Grafen visar att funktionen saknar globalt maimum (dvs största värde) Samma gäller för globalt minimum (minsta värde) RATIONELLA FUNKTIONER P( ) f ( ), där P () och ) är två polynom ) TIPS: a) Funktionen Q ( ) 0 P( ) f ( ), där P() och ) är polynom, är definierad om nämnaren ) b) Vertikala (lodräta ) asymptoter letar vi bland nämnarens nollställen dvs bland lösningar till Q ( ) 0 (Nämnarens nollställen är vertikala asymptoter om de inte kan förkartas bort) Eempelvis + f ( ) har två vertikala (lodräta) asymptoter 0 och c) För sneda och horisontella(vågräta) asymptotter till rationell funktion P( ) f ( ) ) gäller följande: grad( P( )) grad( )) f ( ) har en vågrät asymptot grad( P( )) + grad( )) f ( ) har en sned asymptot grad( P( )) > + grad( )) f ( ) f har varken sned eller vågrät asymptot i) Om grad( P( )) grad( )) har funktionen en vågrät(horisontell) asymptot y b, (som är både vänster och höger asymptot) Sida av 0

4 Talet b f ( ) + ii) Om grad ( P( )) + grad( )) har funktionen en sned asymptot y a + b (som är både vänster och höger asymptot) Vi kan bestämma a och b med hjälp av formlerna f ( ) a, b [ f ( ) a] + + eller (enklare sätt) genom att utföra polynom division P( ) ) R( ) a + b + ) iii) Om grad ( P( )) > + grad( )) har funktionen varken sned eller vågrät asymptot Eempel: i) f + + ) har en vågrät asymptot {y eftersom ( } f ( ) har en vågrät asymptot {y0 eftersom } ii) f ( ) har en sned asymptot, eftersom grad(täljaren) + +grad(nämnaren Vi kan bestämma asymptoten med hjälp av ovanstående formler eller direkt med polynom division f ( ) Därför är y + en sned asymptot ( både vänster och höger) Förklaring: Vi ser att termen + går mot 0 om ± och därför f ( ) ( + ) iii) f ( ) har varken sned eller vågrät asymptot eftersom 4 grad ( P( )) > + grad( )) Uppgift Låt + f ( ) i) Bestäm Sida 4 av 0

5 a) funktionens definitionsmängd b) eventuella skärningspunkter med alarna c) Beräkna f ( ) + och f ( ) d) asymptoter e) stationära (kritiska) punkter f) infleionspunkter ii) Rita grafen till funktionen iii) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maimum/minimum) om de finns? Lösning: + f ( ) + ( polynomdivision) a) Funktionens definitionsmängd: Funktionen är definierad om b) Skärningspunkter med alarna y-aeln: f ( 0) Grafen skär y-aeln i punkten (0, ) -aeln: Ekvationen f ( ) har inga reella lösningar ingen skärnings punkt med -aeln cc) ff() + ( + + ) + 0 ff() ( + ) + 0 d) asymptoter d Funktionen har en lodrät asymptot eftersom f () då d Vågräta asymptoter saknas eftersom ff(), ff(), ( se frågan c) + d Sneda asymptoter Sida 5 av 0

6 Metod ( Passar bra för rationella funktioner) Om vi analyserar funktionen på formen f ( ) + då ser vi att bråkdelen går mot 0 då ± Eftersom f ( ) då ± d v s f ( ) 0 då ± har funktionen en sned asymptot y då ± Metod ( Kan användas för alla funktioner) Vi beräknar kk ff() + + ( + ( ) ) nn (ff() kkkk) + ( + + ) ( + ) 0 därför y är en höger sned asymptot ( samma resultat gäller för rationella funktioner om e) Stationära punkter (kritiska punkter): f ( ) 0 ( )( ) ( + ) ( ) Första derivatan: f ( ) ( ) ( ) Andra derivatan: f ( ) ( ) ( ) Stationera punkter: f ( ) 0 0 0, ( ) Två stationära punkter:, 0 0 är en maimipunkt eftersom f ( 0) < 0 Maimivärdet är f ( 0) Motsvarande punkt på grafen är S (0, ) är en minimipunkt eftersom f ( ) > 0 Minimivärdet är f ( ) Motsvarande punkt på grafen är S (, ) f) Infleionspunkter: ff () 0 Funktionen har ingen infleionspunkt g) funktionens graf 0 (iiiiiiiiii llössssssssss) ( ) Sida 6 av 0

7 iii) Funktionen saknar globalt maimum/minimum (största/ minsta värde) Uppgift Låt f ( ) Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen Bestäm funktionens största och minsta värde (dvs globalt maimum och minimum) om de finns? Lösning: (Definitionsmängd) Ekvationen ± 5 saknar reella lösningar (nämnaren har inga reella nollställen) Därmed är funktionen definierad (och kontinuerlig) för alla (Asymptoter) a) (Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla ) (Ingen vertikal (lodrät) asymptot) Sida 7 av 0

8 4 ( + + ) b) (y är en höger horisontell (vågrät) ( + + ) asymptot) Samma resultat får vi i detta eempel om ( + + ( ) 5 ) (y är en höger horisontell (vågrät) asymptot) Alltså har funktionen en horisontell (vågrät) asymptot y (Stationära punkter) Inga sneda asymptoter Vi har ( + )( f ( ) + + 5) ( + + 4)( + ) ( + + 5) f ( ) ( + + 5) ( + )( ) f ( ) 0, och ( + + 5) ( + + 5) 5 f ( ),5 och f () 0, Derivatans teckentabell: Notera att nämnaren ( + + 5) är >0 för alla och därmed inte påverkar derivatans tecken Vi behöver inte inkludera denna term i tabellen f () f () MAX MIN visar att är en lokal maimipunkt, funktionens maimivärde är 5 f ( ), 4 Sida 8 av 0

9 medan är en lokal minimipunkt, funktionens minimivärde är f ( ) 4 5 Motsvarande punkter på grafen är S(, ) och S(, ) 4 4 4Funktionens graf Funktionen har globalt maimum (största värde) 4 5 Funktionens globalt minimum (minsta värde) 4 Uppgift 4 Låt y f ( ) a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med alarna b) Bestäm eventuella asymptoter c) Bestäm stationära (kritiska) punkter och deras typ e) Rita grafen till funktionen Lösning a) (Definitionsmängd) Funktionen är definierad om nämnaren 0 dvs om ± Sida 9 av 0

10 f ( ) 0 0 Grafen går genom origo b) (Asymptoter) (Funktionen har två vertikala (lodräta) asymptoter och f ( ) asymptot) f ( ) 0 asymptot) (ingen höger horisontell (vågrät) + (ingen vänster horisontell (vågrät) För att bestämma eventuella sneda asymptoter för en rationell funktion, i vårt fall y utför vi först polynomdivision: y (kontrollera själv) Vi ser direkt att 0 om ± Därför är y en sned asymptot då ± c) Stationära punkter f ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) ( ) f ( ) 0 ger tre stationära punkter, 0 och Lägg märke till att endast utrycket 9 ändrar tecken + -värden (9 ) ( f () 0 + ej def ej def + 0 ) f () MIN ej def terrassp ej def MAX Sida 0 av 0

11 9 Funktionen har (lokalt) minimum f ( ) i punkten, terrasspunkt i 0 och 9 (lokalt) maimum f ( ) i + Grafen till f ( ) NÅGRA EXEMPEL MED EXPPONENTIAL- LOGARITM- OCH ANDRA FUNKTIONER Uppgift 5 Låt f ( ) e a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med alarna b) Bestäm eventuella asymptoter c) Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter d) Bestäm eventuella infleionspunkter e) Rita grafen till funktionen f) Bestäm funktionens värdemängd Sida av 0

12 g) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maimum/minimum) om de finns? Lösning a) Funktionens definitionsmängd: Funktionen är definierad för alla Skärningspunkter med alarna y-aeln: f ( 0) Grafen skär y-aeln i punkten (0, ) t -aeln: f ( ) 0 e 0, ingen lösning ( e > 0 för alla t) Ingen skärning punkt med -aeln b) Ingen vertikal asymptot ( f() är definierad och kontinuerlig för alla ) + f ( ) e 0, f ( ) e 0 + Därför har funktionen en vågrät asymptot y0 ( dvs -aeln) c) Stationära punkter (kritiska punkter):, f ( ) e f ( ) e + 4 e f ( ) 0 e 0 0 En stationär punkt 0, maimipunkt eftersom f ( 0) < 0 Mutsvarande punkt på grafen är S(0,) d) Infleionspunkter: f ( ) 0 e + 4 e 0 e ( + 4 ) 0, ± Två infleionspunkter, ± Motsvarande punkter på grafen: II, ee / och II, ee / e) Funktionens graf: Sida av 0

13 Notera att funktionen är jämn eftersom f ( ) f ( ) och därför är funktionens graf symetrisk i y-aeln f) Funktionen antar alla värden i intervallet 0<y Därför är funktionens värdemängd lika med intervallet V f (0, ] g) Funktionen har globalt maimum (största värde) Globalt minimum (minsta värde) saknas Uppgift 6 Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen a) f ( ) ( ) e b) f ( ) 5 e Svar a) Funktionen är definierad för alla f ( ) ( ) e, f ( ) ( ) e, f ( ) e Funktionen har minimum y min om y0 är en vänster vågrät asymptot Grafen: Sida av 0

14 Svar b) Funktionen är definierad för alla f ( ) 5 e, f ( ) 5( + ) e, f ( ) 5( ) e Funktionen har maimum y ma 0e om Funktionen har minimum y min om y0 är en vänster vågrät asymptot Grafen: Uppgift 7 Låt y f ( ) ln Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med alarna Bestäm eventuella asymptoter, stationära (kritiska) punkter (och deras karakter), infleionspunkter och rita grafen till funktionen Sida 4 av 0

15 Lösning a) Funktionens definitionsmängd: Funktionen är definierad för > 0 b) Skärningspunkter med alarna y-aeln: Funktionen skär inte y-aeln eftersom f (0) är inte definierad ( Vi kan däremot beräkna ff(), se frågan c nedan) 0+ -aeln: f ( ) 0 ln 0 ln 0 En skärningspunkt,, med -aeln ( Anmärkning: 0 kan inte accepteras som ett nollställe eftersom funktionen är inte definierad i 0) c) Vi undersöker funktionen vid definitionsområdets gränspunkter dvs då 00 och då + ff() [ "0 ( )" ss kk ooooooooooämmmm uuuuuuuuuuuuuu] Vi skriver om uttrycket och använder l Hospitals regel llllll [LL HHHHHHHHHHHHHHHH ] ( ) 0 Alltså f() går mot 0 då går mot 0 och därför har funktionen ingen lodrät asymptot ( Funktionen är inte definierad i 0 me grafen går mot punkten (0,0) ) ff() + + Därför har funktionen ingen vågrät asymptot Sneda asymptoter saknas eftersom Därmed har funktionen ingen sned asymptot d) Stationära punkter (kritiska punkter): ff() / llllll + + ff () + llllll ff () Sida 5 av 0

16 ff () 0 + llllll 0 ee En stationär punkt / e f ( / e) ln( ) Minimum f ( / e) e > 0 e e e Mutsvarande punkt på grafen SS (ee, ee ) ( ee, ee ) e) Infleionspunkter saknas eftersom ekvationen ff () 0 har ingen lösning f) Funktionens graf Uppgift 8Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära 0ln( + ) punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen f ( ) + Svar Funktionen är definierad för > är en vertikal (lodrät) asymptot, y0 är en höger vågrät asymptot 0ln( + ) 0( ln( + )) f ( ), f ( ) + ( + ) 0 Funktionen har maimum yma om e e Grafen: Sida 6 av 0

17 Uppgift 9Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen a) f ( ) b) + Svar: f ( ) c) 4 + f ( ) + a) f ( ) + Funktionen är definierad för alla En vågrät( horisontell) asymptot y0 f ( ) ger y / ma för 0 ( + ) Grafen: Sida 7 av 0

18 Notera att e funktionen f ( ) är jämn eftersom f ( ) f ( ) och därför är + funktionens graf symetrisk i y-aeln b) f ( ) Funktionen är definierad för alla En vågrät( horisontell) 4 + asymptot y0 4 f ( ) ger y 4 / min för och y ma ( + ) för Grafen: Notera att funktionen f ( ) är udda eftersom f ( ) f ( ) och därför är 4 + funktionens graf symetrisk i origo c) f ( ) + Funktionen är definierad om ( lös olikheten + 0) f ( ) + y min för Funktionen antar sitt största värde y ma i ändpunkterna ± Sida 8 av 0

19 Uppgift 0 Låt ff() + aaaaaaaaaaaa() 4 Bestäm funktionens definitionsmängd Bestäm eventuella asymptoter Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter Rita grafen till funktionen a) Funktionens definitionsmängd: Villkor Funktionen aaaaaaaaaaaa() är definierad om Villkor Funktionen är definierad om 0 dddddd ( samma krav som i V) Alltså DD ff [, ] ( Lägg märke till att funktionen är definierad i ändpunkterna - och ) b) Asymptoter: För funktionens värden i ändpunkterna har vi + ff() ff( ) ππ ff() ff(+) + ππ Alltså saknar funktionen lodräta (vertikala) asymptoter Vi kan inte betrakta gränsvärdena ± eftersom funktionen är definierad endast för Därför saknar funktionen sneda ( och vågräta) asymptoter Sida 9 av 0

20 c) Stationära punkter (kritiska punkter): ff () ( ) Funktionens värde i punkten / är ff () / ff( /) + aaaaaaaaaaaa( /) 4 /4 ππ Alltså har funktionen en stationär punkt SS (, ππ ) Enligt (*) har vi ff () < 0 om < / ( avtar funktionen ) och ff () > 0 om > / ( väer funktionen ) Därmed har funktionen minimum i punkten /, yy mmmmmm ππ Sida 0 av 0