Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.

Transkript

1 OPTIMERING PÅ ICKE-KOMPAKTA OMRÅDEN. Låt f,..., ) vara en reell funktion med en icke-kompakt definitionsmängd D. ( n Eistensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet. För att bestämma om funktionen har största och minsta värde ( dvs globalt maimum och globalt minimum) måste vi undersöka funktionen i hela definitionsområde och speciellt beteende i närheten av de randpunkter som inte tillhör D. Dessutom, om D är obegränsad mängd måste vi undersöka funktionen r går mot. Alltså vi måste undersöka. stationera och singulära punkter i det inre av D. randpunkter som tillhör D men också. funktionens beteende i närheten av den delen av randen som inte tillhör D och ( i fallet att D är obegränsad mängd) beteende av f,..., ) då ( n r r = L + = + n går mot. Uppgift. Bestäm största och minsta värde för funktionen f (, + a) 0 < + 4 b) 0 < + < 4. Lösning. Ytan som definieras av funktionen f (, + = k + = + roterar kring z aeln. k är cirklar ) som uppstår då z =, 0 < ( eller z = ) av 6

2 z 0 a) Stationära punkter saknas eftersom f = = 0 och f = = 0 saknar ( + ) ( + ) lösning [Lägg märke till att funktionen inte är definierad i punkten (0,0)]. Om (, (0,0) har vi f (, = =. + r Alltså saknar funktionen största värde. I alla punkter på cirkeln + = a, där 0 < a 4 har funktionen värdet. a På själva randen + = 4 har funktionen värdet värde. + = 4, som är funktionens minsta Alltså 4 f (, < för punkter (, i området 0 < + 4. [Funktionens värdemängd är intervallet [, ).] 4 Svar a: Funktionens minsta värdet är 4. Största värdet saknas. Svar b: Minsta värdet saknas. Största värdet saknas. Uppgift. Bestäm största och minsta värde för funktionen f (, = e i det obegränsade området D som definieras av a) < <, < <, b) 0, 0 c) > 0, > 0 d) 0, 0, Lösning + 4 av 6

3 a) Ytan som definieras av funktionen f (, = e är en rotationsta eftersom nivåkurvor k = e är faktiskt cirklar + = ln k, om ln k > 0 ( och en punkt om ln k = 0). [ Lägg märke till att ln k 0 för ln k 0 dvs om 0 < k ] Ytan uppstår om kurvan z = e roterar kring z aeln. Stationera punkter: f = e, f = e, f = 0 = 0, = 0. f = 0 Origo (0,0) är en stationär punkt (0,0) där f ( 0,0) =. Om r + = r = går mot har vi ( i polära koordinater) r f (, = e = e 0. Vi ser att funktionen r f (, = e = e antar alla värden i intervallet ( 0,] Funktionens värdemängd är V = (0,] och därmed gäller funktionens största värde i området f är medan minsta värdet saknas. Svar a) Funktionens största värde i området är, minsta värde saknas. av 6

4 b) Området definieras av 0, 0 ( punkter i första kvadranten ). Stationera punkter: f = e, f = e, f = 0 = 0, = 0. f = 0 Ingen stationär punkt i det inre eftersom (0,0) ligger på områdets rand. ( Ingen singulär punkt eftersom f och. Randpunkter som tillhör D f är definierade i det inre av D) D består av alla punkter i första kvadranten där randpunkter på halvalarna tillhör D. För randpunkter på halvaeln, =0, 0, har vi f (,0) = e. Största värde på den delen av randen är uppenbart = om =0. Dessutom f (,0) = e är avtagande och går mot 0 om går mot +. Liknande gäller för randpunkten på -halvaeln. Alltså antar funktionen på randen alla värden i intervallet (0,] där f ( 0,0) =.. I det här eempel alla randpunkter tillhör D dvs D är sluten (men inte begränsad). Kvarstår att undersöka funktionen f (, då enklast göra i polära koordinater r + = r = går mot som vi han r f (, = e = e 0 då r. Vi ser att funktionen r f (, = e = e antar alla värden i intervallet ( 0,] Slutsats: Funktionens värdemängd är V = (0,] och därmed gäller: f funktionens största värde i området är, minsta värdet saknas. Svar b) Funktionens största värde i området är, minsta värde saknas. c) f (, = e där D definieras av > 0, > 0. Skillnaden från a-delen är att punkter på halvalarna inte tillhör D. 4 av 6

5 Det är viktigt att (0,0) är randpunkt till D och att mot (0, 0). f (, = e går mot om (, går Alltså värdemängden är V = (0,). Funktionen har varken största eller minsta värde på D. Svar c) Största värde saknas, minsta värde saknas. 4 Svar d) Största värde är e, minsta värde saknas. f Uppgift. Bestäm största och minsta värde för funktionen f (, = + i området 0, 0, < + Lösning. Området D är triangeln med hörn i A(0,0), B(,0) och C(0,) där sträckan BC inte tillhör D. Utrcket + kan kontinuerligt utvidgas till det slutna området D 0, 0, +. Först undersöker vi största och minsta värde för funktionen f (, = + på det kompakta mängden D. Stationära punkter: f = = 0 =, = f = = 0 och f (,) = Randen: Funktionens värden i de tre hörnpunkter är f ( A) = f (0,0) = 0, f ( B) = f (,0) = f ( C) = f (0,) =. Längs AB gäller = 0, 0 och g ( ) = f (,0) =. 5 av 6

6 g ( ) = = 0 ; g (0) = f (,0) = = Längs AC gäller = 0, 0 och g ( = f (0, =. g ( = = 0 ; g (0) = f (0,) = = Längs BC gäller = +, 0 och g ( ) = f (, ( )) = + ( ) ( ) = 6 + g ( ) = 4 6 = 0 = ; g ( ) = Nu bildar vi en tabell med alla möjliga etrempunkter på D: punkt P (,) (,0) (0,) (0,0) (,0) (0,) (/,/) f(p) / Härav har vi att, på området D funktionen har största värdet som antas i randpunkterna B och C. Minsta värdet på D är - som antas i inre punkten (,). Vi återgår nu till det icke-kompakta området D (som är en delmängd av D) och använder ovanstående resultat. Eftersom punkten (,) ligger i D har vi att funktionens minsta värde på D är också. Punkterna B och C ligger inte i området D ( på grund av villkoret < + ). Funktionen antar alla värden i intervallet [-,) men inte värdet. Anmärkning: Ett annat sätt visa att funktionens värden för punkter i D ligger i intervallet [-,) är att analsera funktionens värden på sträckan + = k, 0, 0, för 0 k < I alla fall har vi f (, < om (, D. Funktionen har alltså inte största värde på D. Svar: Minsta värde på D är också, största värde på D saknas. 6 av 6