INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

Transkript

1 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS --3 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna dubbelintegralen y ddy, där är det (begränsade) område i y planet som avgränsas av parabeln y = och linjen y =.. Bestäm alla lösningar f(, y) till den partiella differentialekvationen genom att göra variabelbytet f f y = ( + y) u =, v = y +. Bestäm också en lösning som uppfyller f(, y) = y. 3. Bestäm största och minsta värde av funktionen f(, y) = y y i området = (, y) : + y,, 3 y }. Har funktionen några lokala etrempunkter i det inre av det givna området? Ange i så fall karaktären av dessa.. Låt K vara den (begränsade) kropp som avgränsas av ytorna z = + y, + y + z =, och som innehåller punkten (,, ). Beräkna ( + y )z ddydz. K 5. a) Låt f(, y) vara differentierbar. I vilken riktning från punkten (a, b) har f(, y) sin maimala tillväthastighet, och hur stor är denna? Bevisa dina påståenden. (.) V.g. vänd!

2 b) Myran Ida befinner sig i punkten (, ) på den kvadratiska plattan (, y) :, y }. Hon förnimmer en ytterst delikat doft av honung. oftstyrkan i punkten (, y) ges av funktionen (, y) = 3 y Ida vandrar åt det håll åt vilket doftstyrkan ökar snabbast. Hon rör sig med en fart som är proportionell mot tillväthastigheten av doftstyrkan (proportionalitetskonstanten är.). I vilken riktning och med vilken fart börjar Ida vandra? Finns det någon riktning utifrån punkten (, ) där tillväthastigheten av doftstyrkan är? Finns det någon punkt (a, b) i hela plattan och någon riktning v där tillväthastigheten av doftstyrkan är (eventuella punkter och riktningar behövs ej anges)? (.). Låt I = y d + dy + y, där är den positivt orienterade randen till kvadraten med hörnen (, ), (, ), (, ) och (, ). a) Beräkna I genom att parameterframställa. (.) b) Beräkna I genom att använda Greens formel. (.) c) Är fältet y F = ( + y, + y ) konservativt i R \ (, )}, dvs R utom origo? Motivera ordentligt! (.) GO JUL OCH GOTT NYTT ÅR!

3 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS --3. Vi hittar först skärningspunkterna. Vi löser följande system: y = y = Vi får = + = =, =. Området kan beskrivas som y,. et är lämpligt att börja med att integrera med avseende på y. ( ) ] yddy = ydy d = [ y d = = ( 5 + )d = = ( 5 + ) 8 + = 9 8. [ 5 + ] =. Enligt kedjeregeln blir f = f u u + f v v = f u + f v och f y = f u u y + f v v y = f v. Insatt i ekvationen får vi f f y = ( + y) f u + f v f v = v f u = v f = uv + g(v), där g är en godtycklig (C -)funktion i en variabel. Återgång till och y ger f(, y) = ( + y) + g( + y). Från villkoret f(, y) = y följer att f(, y) = g(y) = y, dvs. g(t) = t. en lösning vi söker är alltså f(, y) = ( + y) + ( + y). 3. Vi börjar med att rita upp området. Området är kompakt, funktionen f(, y) är kontinuerlig, därför finns både ett största och ett minsta värde. Vi letar först efter stationära punkter: f = y = f y = + = y - 3 β -3 α en andra ekvationen har lösningen =, som insatt i den första ger y =. Vi får den enda stationära punkten (, ), som ligger i. f(, ) = Vi parametriserar nu randen: α : y = 3, 3, och f(, 3) = = g (). Vi får att g () = =, = ±. Punkten 5 ligger inte i intervallet. Punkten 3 3 är av intresse. Funktionsvärdet blir 5 g ( ) =

4 β : =, 3 y, och f(, y) = y = g (y).funktionen g (y) är avtagande, dvs det finns inte några inre stationära punkter. : y =, 3, och f(, ) = = g 3 (). Funktionen g 3 () är väande, ty g 3 () = = 3(( 3 ) + 5 ) >, dvs det finns inte några inre 9 stationära punkter. I ändpunkterna får vi f(, ) = f(, 3) = f(3, 3) = 8 Efter jämförelse av de aktuella värdena får vi att det största värdet är 8 och det minsta värdet är. Vi har den stationära punkten (, ), som ligger i. För att undersöka karaktären behöver vi andraderivatorna f =, f yy = och f y =. en kvadratiska formen blir i vår punkt: Q(h, k) = f (a, b)h + f y(a, b)hk + f yy(a, b)k (, ) : Q(h, k) = h + hk+k = (h + hk) = ((h+ k 3 ) k) = (h+ k 9 3 ) k Formen är indefinit så vi har en sadelpunkt, alltså inga etrempunkter. 3.. Alternativ en övre begränsningsytan är z = ( + y ) och den undre z = + y. essa skär varandra då ( + y ) = + y + y =. Projektionen av kroppen på y-planet ges således av + y, vilken med variabelbytet = r cosϕ y = r sin ϕ övergår i E : r, ϕ π. Vi får också d(,y) = r, så d(r,ϕ) ( ) ( +y ) ( + y )zdzddy = ( + y ) zdz ddy = +y K [ ] = ( + y ) z ( +y ) ddy = +y = ( + y )( ( + y ) ( + y ))ddy = = E [ r = π r r ( r ) rdrdϕ = ] Alternativ Med rymdpolära koordinater: = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ, z = r cosθ = π 8 π ( ) = π 3 8. d(, y, z) d(r, θ, ϕ) = r sin θ dϕ (r 3 r 5 )dr =

5 K ( + y )zdzddy = = π π π dϕ [ sin = π π ] π r sin θ r cosθ r sin θdrdθdϕ = sin 3 θ cosθdθ [ r ] r 5 dr = = π = π a) Se läroboken sid b) Ida vandrar i gradientens riktning. Vi får att grad (, y) = (, y ) grad (, ) = (, ). Ida börjar vandra i riktningen (, ). Tillväthastigheten av doftstyrkan är grad (, ) = + ( ) =. Vi får att Ida börjar vandra med farten.. Vi vet att tillväthastigheten av doftstyrkan varierar mellan grad (, ) och grad (, ). etta innebär att det minsta värdet för tillväthastigheten är. Men >, därför finns det ingen riktning utifrån punkten (, ) där tillväthastigheten av doftstyrkan är. I punkten (a, b) varierar tillväthastigheten av doftstyrkan mellan a + b och a + b, vilket innebär att i hela plattan varierar tillväthastigheten mellan och. I och med < < då finns det en punkt (a, b) och en riktning v där tillväthastigheten av doftstyrkan är. a) Vi delar upp vår kurvan i fyra delar och parametriserar varje del. = :, t : y = t = t : y =, t : = 3 :, t : y = t = t : y =, t : Vi får yd + dy + y = dt + t + yd + dy + + y dt t + + yd + dy + + y dt + t + b) Vi använder Greens formel. Vi beräknar 3 dt + t = Q = P y = y ( + y ). y yd + dy y yd + dy = + y dt + t = [arctant] = π.

6 Eftersom P(, y) och Q(, y) inte är definierade i hela kvadraten får vi inte använda Greens formel direkt. Vi väljer σ som enhetscirkeln genomlupen medurs. y Så bildar och σ en positivt orienterad rand till. P(, y) och Q(, y) är definierade och C på en öppen omgivning till. Vi får därför yd + dy + y + yd + dy + y σ yd + dy + y = σ = yd + dy + y. Vi kan parametrisera σ enligt ((t), y(t)) = (cos(t), sin(t)), t : π, så yd + dy + y sin (t) + cos (t) = π cos (t) + sin (t) dt = π dt = π. c) Från a) har vi fått att yd+dy = π, där är en sluten kurva, vilket innebär att +y integralen inte är oberoende av vägen. ärför är fältet F inte konservativt i R \(, )}.