Dubbelintegraler och volymberäkning

Transkript

1 ubbelintegraler och volymberäkning

2 Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x), a x b} lika med integralen b a f (x) dx. Låt = [a, b] [c, d] = {(x, y) : a x b, c y d} och låt f (x, y) i. Nu vill vi bestämma volymen av den tredimensionella mängden Ω = {(x, y, z) : z f (x, y), (x, y) }.

3 Fixerar vi ett x, så har mängden {(y, z) : z f (x, y), c y d} en area som är beroende av valet av x och som vi betecknar med A(x). På bilden ovan är A(x) arean av den (streckade) vertikala ytan som ligger längst bort från oss.

4 Om x är litet, så är volymen av den del av kroppen som ligger mellan x och x + x ungefär lika med A(x) x. etta leder till volymformeln V = Men A(x) = d c f (x, y) dy, så V = b a b A(x) dx. ( d f (x, y) dy a c ) dx. Eftersom det går att kasta om rollerna mellan x och y, får vi slutligen b ( d ) d ( b ) V = f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy a c c a Uttrycken ovan kallas för itererade enkelintegraler.

5 I envariabelfallet, om man inte antar att f, så får man area med tecken : man får arean med plustecken av den delen där f > och arean med minustecken av den delen där f <, dvs. av den delen som ligger under x-axeln. Motsvarande gäller i tvåvariabelfallet: man får minus volymen av den delen där f <, dvs. av den delen som ligger under xy-planet. Om man inte vill göra en koppling till volymen, så definerar man dubbelintegralen av f över rektangeln som ettdera av de itererade enkelintegralerna b a ( d c ) f (x, y) dy dx och d c ( b ubbelintegralen betecknas med symbolen a ) f (x, y) dx dy. f (x, y) dxdy.

6 Vanligtvis definierar man dubbelintegralen på ett annat sätt och sedan visar man att om f är kontinuerlig, så är b ( d ) f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx a c d ( b ) = f (x, y) dx dy. Exempel. Beräkna c a x 2 y dxdy, där = [, 1] [, 2]. 1 Vi integrerar m.a.p. x först. x 2 y dx = [ x 3 y/3 ] x=1 = y/3. x= 2 Så x 2 y dxdy = y/3 dy = [y 2 /6] 2 = 2/3.

7 Integrerar vi m.a.p. y först, får vi 1 ( 2 ) x 2 y dxdy = x 2 y dy dx = 1 [ x 2 y 2 /2 ] 1 y=2 dx = 2x 2 dx = [2x 3 /3] 1 y= = 2/3. Här spelar det ingen roll om man integrerar m.a.p. x eller y först men ibland kan det göra det. Exempel. Beräkna xe xy dxdy, där = [, 1] [, 2]. 2 Så xe xy dy = [xy = t, x dy = dt] = xe xy dxdy = 1 (e 2x 1) dx = 2x e t dt = e 2x 1. [ ] e2x x = e Att integrera m.a.p. x först är svårare eftersom det kräver en partialintegration (och även y-integralen blir sedan svårare att beräkna).

8 Om f (x, y) = g(x)h(y) och = [a, b] [c, d], så är f (x, y) dxdy = g(x)h(y) dxdy = d ( b ) g(x)h(y) dx dy = [bryt ut h(y)] = c a d ( b ) b d h(y) g(x) dx dy = g(x) dx h(y) dy. c Alltså får vi a g(x)h(y) dxdy = Exempel. Beräkna [,1] [2,4] a b Eftersom xe x+y = xe x e y, får vi 1 xe x+y dxdy = xe x dx [,1] [2,4] a g(x) dx xe x+y dxdy. 4 2 c d c e y dy. h(y) dy

9 ubbelintegraler över mer generella områden Låt vara en kompakt mängd och låt f vara definierad och kontinuerlig på. Man kan då välja = [a, b] [c, d] så att. efiniera nu f (x, y) = f (x, y) för alla (x, y) och f (x, y) = för övriga (x, y). efiniera sedan f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy förutsatt att uttrycket i högerledet är meningsfullt (f kallas då integrerbar över ). Observera att f oftast är diskontinuerlig på randen till - den är faktiskt kontinuerlig enbart i de randpunkter där f =. et visar sig dock att för en stor klass av områden är f integrerbar om den är kontinuerlig i och dubbelintegralen kan beräknas genom itererad integration.

10 Sats. Låt f vara kontinuerlig i. (i) Om = {(x, y) : α(x) y β(x), a x b}, där α, β är kontinuerliga funktioner, så är f integrerbar över och ( b ) β(x) f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx. a α(x) (ii) Om = {(x, y) : φ(y) x ψ(y), c y d}, där φ, ψ är kontinuerliga funktioner, så är f integrerbar över och ( d ) ψ(y) f (x, y) dxdy = f (x, y) dx dy. c φ(y) Mängden i (i) kallas för ett område av intervalltyp i y-led och i (ii) ett område av intervalltyp i x-led.

11 Här är ett exempel på område av intervalltyp i y-led: När man integrerar m.a.p. y, så är x fixerat. Man går in i området vid den nedersta röda pilen och går ur området vid den översta, dvs. man integrerar över linjestycket α(x) y β(x). ärför blir den inre integralen lika med β(x) α(x) f (x, y) dy. Sedan får man ta alla linjestycken för alla olika x [a, b].

12 ( b ) β(x) etta ger f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx. a α(x) Ett exempel på område av intervalltyp i x-led: Vid integration m.a.p. x går man in i området då x = φ(y) och går ur då x = ψ(y). ärför blir den inre integralen lika med ψ(y) φ(y) f (x, y) dx den här gången.

13 Exempel. Beräkna dubbelintegralen I = är triangeln med hörn i (, ), (2, ) och (, 2). et underlättar om man ritar en figur: e x+y dxdy, där Vi integrerar m.a.p. y först. I = 2 [e x e y ] y=2 x y= dx = 2 2 ( 2 x (e x e 2 x e x ) dx = ) e x e y dy 2 dx = (e 2 e x ) dx

14 = [e 2 x e x ] 2 = e Vi kunde lika gärna ha integrerat m.a.p. x först. OBS! Ett vanligt förekommande allvarligt fel är att man skriver 2 ( 2 ) om integralen som e x+y dxdy = e x e y dy dx. å har man inte integrerat över området utan över det större området som är kvadraten [, 2] [, 2]. Ett annat vanligt förekommande fel: 2 2 x e x+y dxdy = e x dx e y dy = (e 2 1)(e 2 x 1). å har man inte fått integralens värde utan en funktion av x (integralens värde skall ju vara ett tal).

15 sin y Exempel. Beräkna dubbelintegralen I = dxdy, där y är triangeln med hörn i (, ), (, 2π) och (π, 2π). π ( 2π ) dy dx. sin y Integrerar vi m.a.p. y först, får vi I = 2x y Men (sin y)/y har ingen primitiv funktion som kan uttryckas i (ändligt många) elementära funktioner. Så vi fastnar.

16 Integrerar vi m.a.p. x först, får vi ( 2π ) y/2 sin y I = dx dy = y 1 2 2π sin y dy =. 2π [ x sin y ] x=y/2 dy = y x=

17 e områden som i praktiken förekommer är oftast antingen av intervalltyp eller kan delas in i sådana områden. Nedan följer ett exempel: Områdena 1-4 är av intervalltyp i y-led och integralen över (det blåa området) blir lika med summan av integralerna över 1-4.

18 Variabelbyte i dubbelintegraler et finns en generell formel för variabelbyte i dubbelintegraler som dock är mer komplicerad än motsvarande formel för enkelintegraler. Här kommer vi att nöja oss med ett viktigt specialfall: byte till polära koordinater. e polära koordinaterna för en punkt (x, y) i planet är (r, θ), där r = x 2 + y 2 är avståndet till origo och θ är vinkeln mot positiva x-axeln. Sambandet mellan (x, y) och (r, θ) ges av likheterna x = r cos θ, y = r sin θ

19 Vid byte till polära koordinater svarar ett område i xy-planet mot ett område E i rθ-planet. Exempel. Låt = {(x, y) : 1 x 2 + y 2 4}. är området mellan cirklarna x 2 + y 2 = 1 och x 2 + y 2 = 4. Motsvarande område i rθ-planet blir E = {(r, θ) : 1 r 2, θ 2π}. Observera dock att θ 2π kan bytas mot t.ex. π θ π (det viktiga här är att man går runt exakt ett varv). Exempel. Om området ges av olikheterna x 2 + y 2 1, x y, så ges motsvarande område E i polära koordinater av olikheterna r 1, π/4 θ 3π/4, se nedan.

20 Nu vill vi härleda (eller snarare troliggöra) formeln för byte till polära koordinater och då tolkar vi dubbelintegralen som en volym så som vi gjorde förra gången. Låt f och låt vara området nedan till vänster. Här är a r b och α θ β. Så i rθ-planet får vi en rektangel E, se bilden till höger.

21 Här har vi en bild av en liten del av området ovan. en inre cirkelbågen har radien r, och eftersom vinkeln är θ, så är båglängden r θ. Är r och θ små, så är arean av ungefär lika med r θ r och volymen av den delen av kroppen som ligger ovanför blir ungefär f (x, y)r θ r = f (r cos θ, r sin θ)r r θ.

22 etta leder till formeln för volymen V = f (r cos θ, r sin θ)r drdθ. Så E f (x, y) dxdy = E f (r cos θ, r sin θ)r drdθ et är inte nödvändigt att området är sådant att E är en axelparallell rektangel, t.ex. räcker det med att E är av intervalltyp i r- eller θ-led. Exempel. Beräkna x 2 y dxdy, där området ges av olikheterna x 2 + y 2 2, y. x 2 + y 2 2 ger r 2 2, dvs. r 2, och y ger θ π. Alltså är E rektangeln r 2, θ π.

23 Så x 2 y dxdy = r 2 cos 2 θ r sin θ r drdθ = E 2 π r 4 cos 2 θ sin θ drdθ = r 4 dr cos 2 θ sin θ dθ. E Här har vi utnyttjat att E är en axelparallell rektangel och integranden är av typen g(r)h(θ). Båda enkelintegraler ovan är lätta att beräkna (i integralen m.a.p. θ substituerar man cos θ = t). I det här exemplet behöver man inte gå över till polära koordinater utan det går också bra att integrera direkt. ( 2 ) 2 x 2 Man får då x 2 y dxdy = x 2 y dy dx 2 (beräkna den här integralen som en övning). Att integrera m.a.p. x först går också men det blir något svårare.

24 Exempel. Beräkna e x2 +y 2 dxdy, där området begränsas av olikheterna x 2 + y 2 1, x y x. Vi noterar först att x y x medför x x, så x, och att integration m.a.p. x (eller y) inte är möjlig här eftersom vi inte kan integrera e x2 (den primitiva funktionen kan inte uttryckas med ändligt många elementära funktioner). Vi ser att området E begränsas av olikheterna r 1, π/4 θ π/4.

25 Så 1 e x2 +y 2 dxdy = E e r 2 r drdθ = π/4 π/4 1 dθ 1 re r 2 dr = π re r 2 dr = [r 2 = t, 2r dr = dt] = π 2 4 π(e 1). 4 Här har vi utnyttjat att re r 2 = g(θ)h(r), där g(θ) = 1 och h(r) = re r 2. e t dt = π 4 [et ] 1 =