MMA127 Differential och integralkalkyl II

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. 11 p: U p: p: 4. p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex Bestäm och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f (x, y) 4x + 6x + 1xy 4x y (5p) Det finns inga singulära punkter. Det vi kan hoppas att hitta är punkter med derivatorna noll. f x 1x + 1x + 1y 4 f y 1x 6y Nedre ekvationen är enklast; den ger y x. Detta insatt i övre ekvationen ger 1x + 1x + 1 x 4 1x + 6x 4 x x + x 1,5 ±,5 1,5 ±,5 1 De intressanta punkterna är alltså (, 4) och (1, ). För att klassificera punkterna behöver vi andraderivatorna: A f 4x + 1 x B f x y 1 1 C f y 6

2 MMA1 Tentamen Lösningsförslag Sida (av 8) Kontroll av diskriminanten: (, 4) : AC B ( 4 + 1) ( 6) 1 7 > extrem. C 6 < max (1, ) : AC B ( ) ( 6) 1 7 < sadel Funktionen har ett maximum i (, 4), (1, ) är en sadelpunkt. Rättningsnorm: Deriverat rätt: 1 p. Hittat nollställena: + p. Korrekta andraderivator: +1 p. Korrekt klassificering: +1 p.. (a) Ta fram allmänna lösningen till följande differentialekvation: y 8y + 16y (p) (b) Ta fram allmänna lösningen till följande differentialekvation: y 8y + 16y 6e 4x (Observera att vänsterledet är samma som i a-uppgiften!) (p) (c) Bestäm den lösning till ekvationen i b som uppfyller följande randvillkor: y(), y(1) 1e 4x. (Om du inte lyckades lösa b så gör samma sak för ekvationen i a istället.) (1p) Tryckfel i frågan, andra bivillkoret skulle vara y(1) 1e 4. (a) Karaktärisktisk ekvation: r 8r + 16 r 4 ± ± 4 Dubbelrot. Lösningen till ekvationen är y (Ax + B)e 4x Rättningsnorm: Rätt karaktäristisk ekvation: 1 p. Rätt lösning, baserat på ekvationens rötter: +1 p. (b) Lösningen sätts ihop av en homogenlösning och en partikulärlösning, och homogenlösningen har vi redan. Partikulärlösningen fordrar en ansats. Givet högerledet 6e 4x verkar y p Ce 4x bra, men detta är en av homogenlösningarna och kommer därför inte att fungera. (Det märker man om man sätter in den!) En bättre ansats är y p p(x) e 4x, där vi än så länge inte vet vad p(x) är. Detta ger: y p p(x) e 4x y p p (x) e 4x + p(x) 4e 4x ( p (x) + 4p(x) ) e 4x y p ( p (x) + 4p (x) ) e 4x + ( p (x) + 4p(x) ) 4e 4x

3 MMA1 Tentamen Lösningsförslag Sida (av 8) ( p (x) + 8p (x) + 16p(x) ) e 4x vilket insatt i ekvationen ger y p 8y p + 16y p ( p (x) + 8p (x) + 16p(x) ) e 4x 8 ( p (x) + 4p(x) ) e 4x + 16p(x) e 4x p (x) e 4x Vi borde ha fått högerledet 6e 4x, så p (x) 6. I så fall fungerar p (x) 6x, p(x) x. (Behövs inga + C, eftersom vi bara är ute efter en av de möjliga lösningarna.) Så y p x e 4x, vilket ger den allmänna lösningen y x e 4x + (Ax + B)e 4x (x + Ax + B)e 4x Rättningsnorm: Korrekt ananalys av en felaktig ansats: 1 p. Korrekt ansats, men ej lösning: 1 p. Lösning som gav det korrekta svaret: p. (c) Första bivillkoret ger y() ( + A + B)e 4 B Andra bivillkoret ger nu y(1) ( 1 + A 1 + )e 4 1 (5 + A)e 4 1e 4 A 5 så y (x + 5x + )e 4x. Rättningsnorm: Korrekt angreppssätt: 1 p.. (a) Förklara vad det innebär att en funktion f är deriverbar i punkten (x, y) (a, b). (1p) Att f x (a, b) och f y (a, b) båda är definierade. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? Trodde jag! Jag menade att f var en funktion R R, men flera har tolkat frågan som att y f (x), och att b f (a). Denna tolkning är inte orimlig, så jag får acceptera svar som är korrekta givet denna innebörd hos frågan. Dessutom har en del tolkat frågan som nämn någon konsekvens av att funktionen är deriverbar, vilket givet formuleringen inte heller är orimligt. Sådana svar ger därför också poäng, och jag ska formulera mig klarare i fortsättningen! (b) Förklara vad det innebär att en funktion f är differentierbar i punkten (x, y) (a, b). Att funktionen i en omgivning till (a, b) kan approximeras med en linjär funktion med ett fel som går mot noll snabbare än avståndet till (a, b). (Går att formulera på ett antal mer eller mindre formella sätt, det här var en mellanvariant.) Rättningsnorm: Vad som helst som med lite välvilja kan tolkas som att man fattar innebörden i begreppet ger poäng. (1p)

4 MMA1 Tentamen Lösningsförslag Sida 4 (av 8) (c) Vi har ytan x + y z 1 Bestäm en ekvation för tangentplanet till ytan i punkten (x, y, z) (,, ). (p) Via funktionsuttryck Vi vet hur man hanterar en funktionsyta, så vi försöker skriva om den här ytan till en sådan: x + y z 1 z x + y + 1 z ± x + y + 1 Den punkt som vi ska undersöka har ett negativt z-värde, så det måste vara negativa roten som gäller. x f x (x, y) x z f (x, y) x + y y + 1 y f y (x, y) x + y + 1 I den givna punkten har vi f x (, ) /, f y (, ) /. Tangentplanet blir då z f (, ) + f x (, )(x ) + f y (, ) ( y ( ) ) (x ) + (y + ) x + y 1 Rättningsnorm: Korrekt löst ut z (med minustecken): 1 p. Deriverat korrekt: +1 p. Satt upp planets ekvation: +1 p. Via nivåyta Den givna ytan är en nivåyta till funktionen g(x, y, z) x + y z Funktionens gradient pekar i den riktning där värdena ökar fortast, vilket är vinkelrätt mot nivåytan. Den är alltså en normalvektor till nivåytan. g(x, y, z) g x (x, y, z), g y (x, y, z), g z (x, y, z) x, y, z I punkten blir det g(,, ) 4, 4, 6 Planets ekvation kan nu tas fram med punkt normal: 4, 4, 6 x, y +, z + 4(x ) 4(y + ) + 6(z + ) 4x 4y + 6z + (Om vi multiplicerar med 1/6 och flyttar över z ser vi att det är samma svar som i föregående beräkning. Rättningsnorm: Korrekt beräknad gradient: 1 p. Kommit vidare till ett plan: + p. Inte kommit rätt, men visat att man har ett hum om hur ett plans ekvation tas fram: +1 p.

5 MMA1 Tentamen Lösningsförslag Sida 5 (av 8) 4. Vi har integralen 1 y cos(1 + x ) dy y/ (a) Rita upp integrationsområdet. (b) Beräkna integralen. (1p) (4p) Det var en siffra fel i frågan, och det gjorde den betydligt svårare än vad som meningen var. Rättningen kommer därför att göras på ett mycket snällt sätt! (a) Området kan skrivas y/ x, y 1: Området är parallellepipeden nertill. (Andra gränsen för y skulle ha varit 4, så att området blev en snygg triangel.) Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (b) Att integrera uttrycket som det nu står är inte genomförbart, så för att komma någonstans alls måste man byta integrationsordning. För att uttrycka området först i y får vi dela det i en triangel och en rektangel: y x, x,5 tillsammans med y 1,,5 x. På första delområdet får vi: I 1,5 x,5,5 [ y y cos(1 + x ) dy cos(1 + x ) ( (x) ] x,5 x cos(1 + x ) ) cos(1 + x ) cos(1 + x )

6 MMA1 Tentamen Lösningsförslag Sida 6 (av 8) 1 + x t x dt x dt 1,15 1 [ sin t cos t dt ] 1,15 1 (sin 1,15 sin 1) På andra delområdet får vi I 1,5,5,5,5 [ y y cos(1 + x ) dy cos(1 + x ) ( 1 och här ger man sig. x,5 t 1,15 x t 1 ] 1 ) cos(1 + x ) cos(1 + x ) cos(1 + x ) Rättningsnorm: Insett att man ska byta integrationsgränser: 1 p. Korrekt uttryckt områdena: +1 p. Löst den inre integralen: +1 p. Fixat den första yttre integralen: +1 p. En uträkning som visar att man åtminstone kan principerna för dubbelintegraler ger 1 p. 5. För de som läste kursen hösten 8: Vi har kurvan r θ, π θ π. (Polära koordinater.) (a) Skissa kurvan (Du kan använda approximationen π ; det blir tillräckligt rätt.) (p) Gör upp en värdetabell. r blir samma för positiva och negativa θ, så det räcker med värden för ena halvan av varvet. π/8 (,5 ) är ganska lätt att

7 MMA1 Tentamen Lösningsförslag Sida 7 (av 8) sikta på vid ritning, så vi går med den steglängden: θ r π/8,14 π/4,56 π/8 1 π/,5 5π/8,5 π/4 5,6 7π/8 6,89 π 9 Radien ökar med vinkeln, så vi får en expanderande spiral. Andra halvan av kurvan är en likadan spiral, fast medurs. Tillsammans ger de ovanstående bild. Rättningsnorm: Någon form av vettig start: 1 p. Bild som ser ut som någon form av potatis: +1 p. Helt korrekt bild (hjärtformad): + p. (b) Beräkna arean av det område som omsluts av kurvan. För araberäkning i polära koordinater gäller formeln A b a r dθ vilket med aktuella värden insatta ger A π π (θ ) dθ π π θ 4 [ ] θ 5 pi dθ π5 5 π 1 ( π)5 1 (p) π5 5 ( 61,) (Någon form av approximation är bra att göra, så kan man rimlighetsgranska svaret i relation till figuren.) Rättningsnorm: Rätt formel: 1 p. Korrekt beräkning: +1 p. För övriga: Kurvan y x x och x-axeln begränsar tillsammans ett ändligt område. (a) Bestäm volymen av den kropp som erhålls om området roteras kring x-axeln. (p) Kurvan skär x-axeln vid x och x. Vid rotation runt x-axeln används skivmetoden: V π(x x) } {{ } radie tjocklek {}}{ π (x 4 6x + 9x )

8 MMA1 Tentamen Lösningsförslag Sida 8 (av 8) [ ] x 5 π 5 6x x 81π 1 Rättningsnorm: Korrekt formel: 1 p. Korrekt beräkning: +1 p. (b) Bestäm volymen av den kropp som erhålls om området roteras kring linjen x 1. (p) Vid rotation runt en vertikal axel används skalmetoden: V höjd π ( x ( 1) ) { }} {} {{ } radie ( (x x) ) }{{} tjocklek π π [ x4 4 + x + x ( x +x +x) ] 45π Radien är avståndet till rotationsaxeln, höjden är avståndet mellan överkant och underkant på området. Rättningsnorm: Helkorrekt formel: p. Formel som på något sätt virrat till någon detalj: 1 p. Korrekt beräkning: +1 p. Lycka till!