Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Transkript

1 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen. 3. Formulera och bevisa Riemanns omordningssats. 4. Ge exempel på en punktvis konvergent följd av kontinuerliga funktioner vars gränsfunktion ej är kontinuerlig. 5. Definiera begreppet likformig konvergens och visa att en likformigt konvergent följd av kontinuerliga funktioner har en kontinuerlig gränsfunktion. 6. Antag att {f n } n=1 är en följd av kontinuerliga funktioner som konvergerar likformigt mot f på [a, b]. Visa att b f a n b f då n. Hur a lyder motsvarande resultat för serier? 7. Antag att {f n } n=1 är en följd av kontinuerligt deriverbara funktioner som konvergerar punktvis mot f och vars derivator konvergerar likformigt mot g på [a, b]. Visa att f är deriverbar och f = g. Hur lyder motsvarande resultat för serier? 8. Formulera och bevisa Weierstrass majorantsats. 9. Definiera konvergensradien R för en potensserie a k x k och visa att serien konvergerar likformigt i x r om r < R, absolut om x < R och divergerar om x > R. Vad gäller om x = R? 10. Formulera och bevisa d Alemberts kriterium för konvergensradien av en potensserie. 11. Visa att en potensserie är obegränsat deriverbar i sin konvergenscirkel, att deriveringen får ske termvis och att de deriverade serierna har samma konvergensradie som den ursprungliga serien. 12. Definiera e z för komplexa z och visa formeln e z+w = e z e w. 13. Skissera en konstruktion av en funktion som är kontinuerlig på hela R men inte deriverbar någonstans. 1

2 Kontinuerliga funktioner 14. Definiera avståndet mellan två punkter i R n. 15. Härled Cauchy-Schwarz olikhet. 16. Härled triangelolikheten. 17. Vad menas med att en funktion f : D R p, där D R n, är kontinuerlig i en punkt a D? 18. Visa att sammansättningen av två kontinuerliga funktioner är kontinuerlig. 19. Låt M R n. Vad menas med en inre punkt, yttre punkt, randpunkt resp. isolerad punkt till M? För vilka punkter i R n är M en omgivning? 20. Vad menas med att en mängd M är (a) öppen, (b) sluten, (c) begränsad, (d) bågvis sammanhängande? (e) kompakt, 21. Visa att f : D R d, D R n, är kontinuerlig precis om f 1 (ω) är öppen relativt D för varje öppen mängd ω R d. Visa också motsvarande för slutna mängder. 22. Vilka är de bågvis sammanhängande delmängderna av R? Visa att en funktion som är kontinuerlig med bågvis sammanhängande definitionsmängd har bågvis sammanhängande värdemängd. 23. Vad är en kompakt mängd? Visa att en kompakt mängd måste vara sluten och begränsad. 24. Visa att en sluten delmängd av en kompakt mängd också är kompakt. 25. Visa att en kontinuerlig funktion med kompakt definitionsmängd har kompakt värdemängd. 26. Visa att en injektiv, kontinuerlig funktion med kompakt definitionsmängd har en kontinuerlig invers. 27. Formulera och bevisa Heine-Borels övertäckningssats. 2

3 28. Visa att en reellvärd kontinuerlig funktion med kompakt definitionsmängd har ett största och ett minsta värde. 29. Definiera partiella derivator. 30. Definiera begreppet stationär punkt och visa att om en partiellt deriverbar funktion som har ett lokalt extremvärde i en inre punkt a så är a stationär för f. 31. Definiera begreppet likformig kontinuitet och visa att en kontinuerlig funktion med kompakt definitionsmängd är likformigt kontinuerlig. 32. Formulera och bevisa Dinis sats om monotona följder av kontinuerliga funktioner. Integration 33. Formulera lämpliga krav på en volymfunktion som anger volymen med tecken för området mellan en kontinuerlig funktionsyta z = f(x, y) och xy-planet då (x, y) varierar i en axelparallell rektangel. 34. Visa att för en volymfunktion enligt föregående punkt gäller derivationssatsen. 35. Visa att för varje kontinuerlig funktionen finns högst en volymfunktion enligt punkt Visa att om funktionen f är kontinuerlig för a x b, c y d så är x d f(x, y) dy kontinuerlig på intervallet [a, b]. c 37. Visa att en itererad integral ger en volymfunktion enligt punkt Antag att följderna {ϕ j } 1 och {ψ j } 1 i C 0 (R n ) växer punktvis mot f respektive g och att f g. Visa att lim ϕ j lim ψ j. j j 39. Definiera klassen I + (R n ) och definiera integralen av en funktion i I + (R n ). 40. Visa formeln för upprepad integration av en funktion i I Visa att en icke-negativ funktion som är kontinuerlig i en öppen mängd Ω ligger i I + (Ω). 3

4 42. Visa satsen om integration av växande följder i I + och motsvarigheten för serier. 43. Visa formeln för integration med avseende på nivåmängder. 44. Formulera och bevisa radialformeln. 45. Beräkna R n e x 2 dx. 46. Härled ett uttryck för volymen av enhetsklotet i R n. Kurvor 47. Hur definieras tangentvektorn till en C 1 -kurva? 48. Vad menas med en rektifierbar kurva? 49. Visa att en C 1 -kurva är rektifierbar och ange en formel för dess längd. 50. Visa att en C 1 -kurva har båglängden plus en konstant som parameter precis om tangentvektorns längd är konstant lika med Hur definieras krökningen av en kurva? 52. Hur definieras torsionen av en kurva i R 3? 53. Härled Frenets formler. Differentialkalkyl 54. Ge exempel på en funktion som är partiellt deriverbar överallt men är diskontinuerlig i origo. 55. Definiera begreppet differentierbar och visa att en funktion som är differentierbar i en punkt är kontinuerlig i denna. 56. Visa att en funktion f som är differentierbar i en punkt a är partiellt deriverbar i denna och att grad f(a) = (f x 1 (a),..., f x n (a)). 57. Ange ekvationen för tangentplanet till ytan z = f(x, y) i punkten (a, b, f(a, b)) där f är en funktion som är differentierbar i punkten (a, b). 58. Visa att en funktion av klass C 1 är differentierbar. 59. Visa att om f är av klass C 2 så är 4 f x 1 x 2 = f x 2 x 1.

5 60. Definiera totalderivatan av en funktion f : Ω R d, där Ω R n. 61. Formulera och bevisa kedjeregeln. 62. Bevisa en formel för riktningsderivatan av en C 1 -funktion. 63. Sammanfatta de geometriska egenskaperna hos gradienten av en funktion av två eller tre variabler. 64. Härled Taylors formel av andra ordningen under lämpliga förutsättningar. 65. Låt a R n vara en stationär punkt till en C 2 -funktion f och låt Q vara den kvadratiska formen (andragradsdelen) i taylorutvecklingen av f kring punkten a. Redogör för sambandet mellan teckenkaraktären hos Q och karaktären av den stationära punkten. Invers funktion och variabelbyte 66. Formulera inversa funktionssatsen och bevisa den i specialfallet då bara en variabel ändras av avbildningen. 67. Genomför induktionssteget i beviset för inversa funktionssatsen. 68. Skissera beviset för satsen om variabelsubstitution i multipelintegraler. 69. Formulera och skissera beviset av någon version av satsen om implicit definierade funktioner. 70. Ange nödvändiga villkor för att en punkt skall vara en lokal extrempunkt under bivillkor. Bevisa nödvändigheten av dessa villkor. 5