Lösningar till Matematisk analys

Transkript

1 Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära ändyta. Dvs rotationskroppens area är π fx + f x dx + π f π x + 9x 4 / dx + π π + 9x 4 /] + π π + π π Låt D beteckna det givna området x + y, x + y. Området D är kompakt både slutet och begränsat och eftersom den givna funktionen f är kontinuerlig överallt har f ett största och ett minsta värde i D, och vi bestämmer nu dessa värden. i Stationära punkter till f i D o det inre av D. Derivering ger f x, y x och f x, y y. Dvs f x, y, f x, y har enda lösningen x, y,, en punkt som ligger i D o. Punkten, är således den enda stationära punkten till f i D o. Tillhörande funktionsvärde är f,. ii f:s beteende på randen till D. Sambandet x +y ger x ± y eller y ± x. Eftersom fx, y x x +y väljer vi att använda att y ± x. Roten i sambandet y ± x kommer då att kvadreras bort när vi sätter in detta i fx, y. Cirkeln x + y skär vidare x-axeln i x ±. Vi bestämmer också x-koordinaterna för skärningspunkterna mellan linjen x+y och çirkeln x + y. Av x + y fås y x, som insatt i x + y ger x, varav fås x ± 6/. Randen till D består således av cirkeldelen y x, 6/ x, cirkeldelen y x, 6/ x samt linjestycket y x, 6/ x 6/. Rita figur. a Randdelen 6/ x, y x. Det gäller att fx, x x + x x, 6/ x. Vi behöver således studera ax + x x i 6/ x. Derivering ger a x 4x. Av a x fås x /, och x / ligger i intervallet 6/ x. Vi får följande schema för ax i intervallet 6/ x. x 6 a x + ax Det största funktionsvärdet här är således 7/, och eftersom + + > är 6 det minsta funktionsvärdet här.

2 b Randdelen 6/ x, y x. Det gäller att fx, x x + x x, 6/ x. Funktionsvärdena här är således en delmängd av funktionsvärdena i a. c Randdelen 6/ x 6/, y x. Det gäller att fx, x x, 6/ x 6/. Funktionen cx x är strängt växande från b 6/ 6 till b 6/ 6 i 6/ x 6/. iii f:s största och minsta värde i D Av räkningarna ovan framgår att f:s största värde i D är max, 7/, 6 7/ ty 6 < 9 < 7/, och att det minsta värdet är min, Beräkning av ekvationerna för de linjer som begänsar parallellogrammen D ger att D är parallellogramområdet x + y 6, x + y 6. Vi avbildar D bijektivt på en axelparallell rektangel genom att göra substitutionen { u x + y v x + y { x u v y u + v. Området D övergår då i den axelparallella rektangeln u 6, v 6. Substitutionens funktionaldeterminant x x dx, y du, v u v. D y u Formeln för variabelsubstitution i dubbelintegral och fortsatt räkning ger sedan att x + y dxdy u + v dudv 9 9 y v u 6 v 6 9 u 6 u + v dudv 9 v 6 ] v6 u + v du 9 u + + u + 6 ] 6 v 9 u + v dv du u + u + 6 du Alla tre differentialekvationerna har y + y som motsvarande homogena ekvation och vi börjar med att lösa denna differentialekvation. i Den allmänna reella lösningen till ekvationen y + y. Tillhörande karakteristisk ekvation r + har rötterna ±i. Den allmänna reella lösningen är således y h A cos x + B sin x, där A och B är godtyckliga reella konstanter. För att få lösningarna till de givna differentialekvationerna behöver vi också partikulärlösningar till dessa.

3 ii Partikulärlösning till var och en av de givna differentialekvationerna Betrakta differentialekvationen z + z e ix. Låt z vara en lösning till denna ekvation. Eftersom Re e ix cos x och Im e ix sin x är då respektive Rez, Imz och Rez + Imz en partikulärlösning till respektive Vi hittar en lösning till genom att där sätta z we ix. Efter förenkling och förkortning med e ix som är skilt från för alla reella tal x fås ekvationen En lösning till denna ekvation är som lätt ses En lösning till är således w + iw. w i x ix. z we ix ixeix ix cos x + i sin x x sin x i x cos x. För denna lösning z gäller och således är respektive en partikulärlösning y p till respektive Rez x sin x och Imz x cos x, x sin x, x cos x och x sin x x cos x iii Den allmänna reella lösningen till var och en av de givna ekvationerna. Den allmänna reella lösningen är y y h + y p. Enligt ovan är således respektive y A cos x + B sin x + x sin x, y A cos x + B sin x x cos x och y A cos x + B sin x + x sin x x cos x, där A och B är godtyckliga reella konstanter, den allmänna reella lösningen till respektive 5. Sätt fx, y, z xy z. Den givna ytan är då nivåytan fx, y, z till f. Enligt en egenskap hos gradienten är fa, b, c en normalvektor till givna ytan i punkten a, b, c på ytan. Tangentplanet till givna ytan i punkten a, b, x på ytan är således det plan som går genom

4 punkten a, b, c och har fa, b, c som en normalvektor. Tangentplanets ekvation kan således skrivas fa, b, c x a, y b, z c, eller vilket är samma sak f a, b, cx a + f a, b, cy b + f a, b, cz c. I fallet fx, y, z xy z, som gäller här, ger derivering att fx, y, z f x, y, z, f x, y, z, f x, y, z y z, xyz, xy z, och vi får tangentplanet b c x a + abc y b + ab c z c b c x + abc y + ab c z 6ab c. Vi noterar att eftersom a, b, c är en punkt på ytan xy z gäller alltid att ab c. Vi kan därför alltid dividera med 6ab c i båda led i sista ekvationen ovan och få att x 6a + y b + z c, vilket är den sökta formen för tangentplanets ekvation. 6. Enligt Taylors formel gäller för godtyckligt t R och godtyckligt heltal n att sin t k k k! tk + n cos θt tn+ n +! där θ, ] och θ beror av n och t. Sätt t x så fås för godtyckligt x R och godtyckligt heltal n att sin x k k k k! x4k + n x 4n+ n +! där θ, ] och θ beror av n och x. Integration av ger sedan att sin x k dx k! x4k dx + n x 4n+ dx. n +! Men 4 och 5 n n +! k k n +! k k! x4k dx k k! 4k x4k k ] k k! k x 4n+ dx n +! x 4n+ dx 4 x 4k dx k k! 4k n +! x 4n+ dx x 4n+ dx

5 n +! 4n + x4n+ ] n +! 4n +. I 5 har vi använt triangelolikheten för integraler samt att cos u för alla u R. Tillsammans visar, 4 och 5 att 6 sin x dx k k k! 4k + ε n där ε n n +! 4n +. Sätt I sin x dx, s n k k k! 4k och t n n +! 4n +. Av 6 följer att om heltalet n är så stort att t n < så ger s n värdet av I med absolutfel <. Vi har att Således ger t! 7 4 >, men t 5! <. s k k! 4k 4, k värdet av I med absolutfel <. 5