x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Transkript

1 Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning kommer att ske 7 januari klockan 5.5 i sal Ω. Matematisk analys LMA4 OBS: Tänk på att det huvudsakligen är beräkningar och motiveringar som ger poäng! Teori. Bevisa Fermats sats, det vill säga att om funktionen f har ett lokalt maximum eller lokalt minimum i c och om f (c) existerar, så är f (c) =. Se sidan 76 till 77 i Stewart. 6 p. Formulera och bevisa formeln för partiell integration. 6 p 6 p Se sidan 464 i Stewart. Problem. Beräkna följande gränsvärden x (a) +7x+ x x+4x p x + 7x + x ( + 7 x x x + 4x x x ( x + ) x x + 4) = 4 =. x (b) +x 6 x x x+ p x x + x 6 x x + (x )(x + )(x + x + ) x x x = (x )(x + )(x + x + ) x (x )(x + ) (x + )(x + x + ) x (x + ) = 5 4 =.

2 (c) x sin(x) tan(x)+cos(x) p x sin(x) tan(x) + cos(x) = 4. Beräkna följande integraler l Hospital x cos(x) sin(x) =. cos (x) (a) dx x +x 6 p.b.u. /5 dx = x + x 6 x /5 x + dx = 5 ln x x + + C. (b) x 5 e x dx 5. Lös diffekvationen x 5 e x dx = x {( }}{ x e x) dx p.i. = t [x e x ] t + x e x dx = =( ) t [e x ] t = ( ) =. (a) x y + xy = Detta är en första ordningens differentialekvation som kan skrivas om till formen y + f(x)y = g(x). x y + xy = = y + x y = x om x Finner att då f(x) = och därmed F (x) = ln x = ln x så har vi en x integrerande faktor e ln x = x. Finner då att ( xy) = x x = xy = x = x + C Löser ut y genom att dividera med x och får då att y = (/x) + C/ x där x.

3 (b) y + y 6y =, där y() = 6 och y () = 7. Detta är en linjär differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter. Vi tar därför fram den karakteristiska ekvationen r + r 6 = som vi ser har lösningarna r = och r =. Vi vet då att den generella lösningen för differentialekvationen ges av y = Ae x + Be x. Använder nu begynnelsevilkorna som ges att { 6 = y() = A + B 7 = y () = A B Detta linjära andragradssystem har lösningar A = 5 och B =. Lösningen till uppgiften är därför y = 5e x + e x. 6. Låt f(x) = x ln(x). (a) Finn intervall där funktionen är växande/avtagande samt eventuella lokala maxoch min-punkter. För detta tar vi fram derivatan f (x) = x ln x + x x = x ( ln x + ) Ser att derivatan blir noll endast då andra faktorn, dvs parantesen, blir noll. Finner att ln x + = = ln x = = x = e Eftersom f (x) < för < x < e är f(x) avtagande på intervallet (, e ) och växande på intevallet (e, ) eftersom f (x) > då x > e. (b) Finn intervall där funktionen är konkav/konvex och ange eventuella inflektionspunkter. Tar fram andraderivatan f (x) = 4 x ( ln x + ) + x ( x ) = 4 x ( 9 ln x + ) Denna blir noll endast om andra faktorn, dvs parantesen, blir noll, dvs då p p = 9 ln x + = ln x = = x = e För < x < e är f (x) > dvs f(x) konvex på intervallet (, e ) och konkav på intevallet (e, ) eftersom f (x) < då x > e.

4 7. Finn volymen av den största cylinder som kan rymmas i en sfär med radie R. 7 p Antag att cylindern har radie x < R. Pytagoras sats ger att halva cylinderns höjd ges av R x. Alltså blir cylinderns volym V c (x) = r πh = x π R x = π R x 4 x 6 Vi söker maximum för denna på det slutna intervallet [, R] och tar därför fram derivatan V c (x) = π R x 4 x 6 (4R x 6x 5 ) = π R x 4 x 6 (4R 6x )x Derivatan är noll då x = samt då 4R 6x d v s då x = R. Då två ändpunkterna x = och x = R kommer att ge volymen, dvs lokala minima medan x = R kommer att ge det lokala maximat V c ( R) = π R ( R)4 ( R)6 = π ( ) R 6 ( ) R 6 = 4πR. Vilket intressant nog är klotets volym multiplicerat med en faktor. Ännu lite kortare lösning blir det om man istället uttrycker x i h med hjälp av pytagoras sats eftersom man då får en kvadratrot som kvadreras i cylinderns volymfunktion. En tredje elegant väg är att sätta en vinkel i centrum och se att x = R cos α och h = R sin α så att volymfunktionen blir en funktion i α. 8. En cirkelskiva med centrum i (R, ) och med radien r, där R > r >, roteras ett varv kring y-axeln och genererar på så sätt en så kallad torus. Beräkna volymen av denna rotationskropp. 4

5 Den snabbaste lösningen ges av Pappus sats. Cirkeln har area r π a.e. Vi ser också av symmetriskäl att cirkeln har sin tyngdpunkt i centrum, dvs i punkten (R, ). Vägen som tyngdpunkten färdas runt y-axeln är πr l.e.. Pappus sats ger då att volymen är r π πr = π r R v.e.. En alternativ lösning är att använda skalmetoden och teckna volymen som R+r V = πx r (x R) dx R och sedan göra substitutionen t = x R, dx = dt, x = R + r = t = r, x = R r = t = som ger r V = 4π (t+r) r r t dt = 4π t r r t dt +4π R r r t dt = 8π R r t dt eftersom den första integranden är udda och den andra jämn. I den återstående integralen gör vi nu substitutionen t = r sin α, dt = r cos α dα, t = = α =, t = r = α = π. Detta ger π V = 8πR r cos α r cos α dα = 8πRr π = 4πRr [ sin α + α ] π cos α dα = 8πRr π = 4πRr π = π Rr (cos α+) dα = 7 p 5